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面積比 解説

BD:DC=a:bなら
面積比△ABD:△ADC=a:b
A B C D

(1) 次の問いに答えよ。
① BC:CD=2:3のとき、面積比△ABC:△ACDを求めよ。
A B C D
② MはBCの中点である。面積比△ABM:△ABCを求めよ。
A B C M

BC:CD=2:3なので△ABC:△ACD=2:3MがBCの中点なのでBM:MC=1:1 よって△ABM:△AMC=1:1
△ABC =△ABM+△AMCなので
△ABM:△ABC=1:2

(2) AD:DB=AE:EC=1:1, DF:FC=EF:FB=1:2である。
①面積比△DFE:△DFBを求めよ。
② 面積比△ADE:△DBEを求めよ。
③面積比△DFE:△ABCを求めよ。
A B C D E F #20759b

 EF:FB=1:2なので
△DFE:△DFB=1:2
 AD:DB=1:1なので
△ADE:△DBE=1:1
 △DEF=1とすると△DFB=2、
 △DBE=3なるので△ADE=3
 △ABE=6になるので△CBE=6
すると△ABC=12
よって△DFE:△ABC=1:12

(3) 次の問いに答えよ。
① DがBCの中点、EがADの中点のとき面積比△AEC:△ABCを求めよ。
A B C D E
② BD:DC=4:3, AE:ED=2:3のとき、面積比△EDC:△ABCを求めよ。
A B C D E

AE:ED=1:1なので△AEC:△DEC=1:1
BD:DC=1:1なので△ABD:△ADC=1:1
△AEC=1とすると△DEC=1なので△ADC=2
すると△ABD=2となるので
△ABC=4
よって△AEC:△ABC=1:4
AE:ED=2:3なので△AEC:△DEC=2:3
BD:DC=4:3なので△ABD:△ADC=4:3
△EDC=3とすると△AEC=2なので△ADC=5
△ABD=xとすると△ABD:△ADC=4:3より
x:5=4:3
3x=20
x=203
よって△ABC=5+203=353
△EDC:△ABC=3:353=9:35

(4) AF:FC=2:1, BE:EC=3:2である。
① 面積比△ABG:△CBGを求めよ。
② 面積比△ABG:△ACGを求めよ。
③ AD:DBを求めよ。
④ AG:GEを求めよ。
A B C D E F G

A B C D E F G H I
図のようにBからAEの延長上に垂線をおろし交点をI, CからAEに垂線をおろし交点をHとする。

面積比△ABE:△AECは底辺をBE,ECとしたとき高さが共通なので
線分比BE:ECと等しくなる。
つまり面積比△ABE:△AEC=3:2
△ABEと△AECで、共通の辺AEを底辺と考えてみると
底辺が等しいので高さの比が面積の比と等しくなる。
つまりBI:CH=3:2
△AGBと△AGCの面積比を考えると、共通の辺AGを底辺として
高さの比BI:CHが面積比と等しいので△ABG:△ACG=3:2となる。・・・②の答
結果として△ABG:△ACGの面積比はBE:ECの線分比と等しくなる。

面積△ABG:△CBGも同様にすることができるので、△ABG:△CBG=AF:FC=2:1・・・①の答
この結果から△ABGを6とすると
△ABG:△ACG=6:4
△ABG:△CBG=6:3
よって△ACG:△CBG=4:3なのでAD:DB=4:3・・・③の答

AG:GEの線分比は△ABG:△GBEの面積比と等しい。
△GBE:△GCE=3:2より△CBG:△GBE=5:3
△ABG:△CBG=2:1
よって△ABG:△CBG:△GBE=10:5:3となるので
△ABG:△GBE=10:3
よってAG:GE=10:3・・・④の答

(5)
ABCDでAE:EB=2:1, BF:FC=3:2, EG:GD=2:5である。
①面積比△AEG: ABCDを求めよ。
②AG:GFを求めよ。
A B C D E F G


BDに補助線をひく
EG:GD=2:5より △AEG:△AGD=2:5
△AED=7とすると
AE:EB=2:1より △AED:△EBD=2:1なので
7:△EBD=2:1
△EBD=3.5
よって△ABD=10.5となる。
△ABDはABCDの12なので
ABCD=21
よって△AEG:ABCD=2:21


BG、ACに補助線を引く。
①で出した比を使うと、△ABC=10.5
BF:FC=3:2 つまりBC:BF=5:3
よって△ABC:△ABF=5:3 なので
10.5:△ABF=5:3
△ABF=6.3
また、△AEG=2でAE:EB=2:1より
△EBG=1つまり△ABG=3
△GBF=△ABF-△ABG=6.3-3=3.3
よって△ABG:△GBF=3:3.3=10:11
よってAG:GF=10:11

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まとめ

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