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2次方程式の応用3 解説

直線上に点があり、座標がわかっていない場合、
x座標に文字をおいて、y座標は直線の式にそれを代入して文字式で表す。

例) y=3x+2上の点Q
x座標をqとすると y座標は3q+2となる。

(1)
図で直線mはy=-x+12のグラフである。
Pは直線m上の点でPからx軸にひいた垂線をPQ,
y軸に引いた垂線をPRとする。
四角形PROQの面積が20になるときのPの座標を求めなさい。

Pはy=-x+12のグラフ上の点なので
x座標をpとするとy座標は-p+12
よってPRの長さがp, PQの長さが-p+12となる。
長方形の面積 = 縦×横なので
20 = p(-p+12)
20 = -p2+12p
p2 -12p +20=0
(p-2)(p-10)=0
p=2, 10
よってP(2, 10) または(10,2)

(2)
図で点P は直線y=2x+12上のx>0の部分にある点で、
点Aは(10,0)である。AP=BPとなるように点Bをx軸上にとり、
二等辺三角形PBAを作る。
△PBAの面積が120になるときのPの座標を求めなさい。

点Pはy=2x+12のグラフ上にあるので
x座標をpとすると y座標は2p+12となる。 P(p, 2p+12)
△PBAは二等辺三角形なので辺ABの中点Mは
x座標がPと同じである。 M(p,0)
A(10,0)なのでMPの長さは10-p
つまり辺ABの長さは2(10-p)
△PBAの高さはPのy座標なので 2p+12
三角形の面積=底辺×高さ÷2なので
120=2(10-p)×(2p+12)÷2
120=(10-p)(2p+12)
120=-2p2+8p+120
2p2-8p=0
p(p-4)=0
p=0, 4 p>0より p=4
よってP(4,20)
A B O x y y=2x+12 (10,0) P(p,2p+12) M (p, 0) 10-p

(3)
点Pはy=2x+4のグラフ上の点でx>0である。
Pからx軸におろした垂線の交点をQとする。Rは切片である。
△PQRの面積が15になるときのPの座標を求めなさい。

点Pはy=2x+4のグラフ上の点なので、
Pのx座標をpとするとy座標は2p+4となる。
△PQRの辺PQを底辺とすると、
底辺の長さ2p+4, 高さpとなるので
面積は p(2p+4)÷2=15
p(p+2)=15
p2+2p-15=0
(p-3)(p+5)=0
p=3, -5
p>0なので p=3
よって P(3, 10)
x y O P R Q (p, 2p+4) 2p+4 p

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