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2乗に比例する関数(変域) (5)(6)(7)解説

変域とは・・・グラフの範囲のこと。
グラフを描いたときの横の範囲がxの変域、縦の範囲がyの変域になる。

図1 2jikan3-1.gif(3431 byte) 図2 2jikan3-2.gif(3100 byte)

図1のようにxの変域が負から正までのときはグラフが原点を通るので、a>0ならyの最小値が0, a<0ならyの最大値が0になる。

(5)
y=ax2 においてxの変域が-6≦x≦mのときのyの変域が1≦y≦9でした。   aとmの値をそれぞれ求めよ。

x y O 9 1 yの変域 -6 m yの変域が1≦y≦9である。 
yの変域が正の数なのでa>0である。
xの最小値が負なのでグラフはこうなる
xの変域を図示すると
すると放物線は点(-6,9)を通るので9=a×62
よってa=14
また、放物線は(m,1)も通るので
y=14x2に代入して 1=14m2
m=±2
ところがm>0なのでm=-2


1次関数の変域
x y O xの変域 yの変域

(6)
放物線y=ax2 とm<0の直線y=mx+6について、-3≦x≦6でのyの変域が一致する。   aとmの値をそれぞれ求めよ。

直線と放物線のyの変域が一致するとは
「放物線のyの最大値、最小値と直線のyの最大値、最小値が同じになる」ことである
6 -3 6 x y O xの変域 36a yの変域 xの変域が-3≦x≦6、直線の切片が6である。
aはプラスか、マイナスかわからない。
aがプラスならyの最小値が0,
aがマイナスならyの最大値が0である。
直線の切片が6だから最大値が0にはならないので
a>0とわかる。
図から放物線でx=6のときがyの最大値となる。
また最小値は0である。
x=6をy=ax2に代入するとy=36a,
つまりyの変域は0≦y≦36a
この変域にあうように直線を書くと
直線は(6,0)と(-3,36a)を通ることがわかる。
y=mx+6に(6,0)を代入するとm=-1,
y=-x+6に(-3, 36a)を代入するとa=14


(7)
a<0の放物線y=ax2 とy=-92x+b について -6≦x≦2でのyの変域が一致する。
  aとbの値をそれぞれ求めよ。

x y O -6 2 36a xの変域が-6≦x≦2で放物線はa<0
yの最大値は0, 最小値はx=-6のとき、y=36a
つまりyの変域は36a≦y≦0
この変域にあうように傾きがマイナスの直線をかくと
直線は(-6, 0)と(2,36a)を通る。
y=-92x+bに(-6,0)を代入すると
b=-27
y=-92x-27に(2,36a)を代入するとa=-1

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