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2乗に比例する関数5(変化の割合、変域、交点) 1(5)(6)解説

変域とは・・・グラフの範囲のこと。
グラフを描いたときの横の範囲がxの変域、縦の範囲がyの変域になる。

図1 2jikan3-1.gif(3431 byte) 図2 2jikan3-2.gif(3100 byte)

図1のようにxの変域が負から正までのときはグラフが原点を通るので、a>0ならyの最小値が0, a<0ならyの最大値が0になる。

1次関数の変域
x y O xの変域 yの変域

直線と放物線のyの変域が一致するとは
「放物線のyの最大値、最小値と直線のyの最大値、最小値が同じになる」ことである

(5)
xの変域が-1≦x≦2のとき放物線y=ax2と直線y=-4x+bのyの変域が一致する。
  aとbの値をそれぞれ求めよ。ただしa>0とする。

x y O -1 2 4a xの変域が-1≦x≦2でa>0
yの最小値は0, 最大値はx=2のとき、y=4a
つまりyの変域は0≦y≦2a
この変域にあうように傾きがマイナスの直線を書き入れると
つまり直線は(2,0)と(-1,4a)を通ることがわかる。
y=-4x+bに(2,0)を代入すると
0=-8+b
b=8
y=-4x+8に(-1, 4a)を代入すると
4a=4+8
4a=12
a=3

(6)
放物線y=ax2とm<0の直線y=mx+9について、-4≦x≦12でのyの変域が一致する。
  aとmの値をそれぞれ求めよ。

x y O 144a -4 12 放物線のaの正負は示されていないが、直線の切片が正なので、
a>0とわかる。
-4≦x≦12の範囲でa>0のグラフを描くと、
yの最小値は0, 最大値はx=12のとき y=144aである。
つまりyの変域は0≦y≦144a
この変域にあうように傾き負の直線を描き入れると
つまり、直線は(12, 0)と(-4, 144a)を通るとわかる。
y=mx+9に(12,0)を代入すると 
0=12m+9
m=-34
y=-34x+9に(-4, 144a)を代入すると
144a=-34×(-4)+9
144a=3+9
a=112

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