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放物線と直線の変域が一致するとき1 (1)(3)解説

直線と放物線のyの変域が一致するとは
「放物線のyの最大値、最小値と直線のyの最大値、最小値が同じになる」ことである

(1)
a>0の放物線y=ax2と直線y=3x+bについて-8≦x≦-4でyの変域が一致する。 aとbの値をそれぞれ求めよ。

O x y -8 -4 (-8, 64a) (-4, b-12) (-4, 16a) (-8, b-24) a>0の放物線は下に凸の形になる。 
xの変域が-8≦x≦-4である。 
その部分の放物線が図のようになるので
変域は図のような長方形になる。 
傾きがプラスの直線がこの変域と一致するためには
長方形の左下と右上の頂点を通る。 
放物線に代入すると左上の点は(-8, 64a)
右下の点は(-4, 16a)である。
直線の式に代入すると右上は(-4, b-12)
左下は(-8, b-24)となる。

左上と右上のy座標は同じなので 64a=b-12
左下と右下のy座標も同じなので 16a=b-24
この式を連立方程式としてとくと
a=14 , b=28

(3)
a>0の放物線y=ax2と直線y=-2x+bについて-1≦x≦2でyの変域が一致する。
aとbの値をそれぞれ求めよ。

x y O (2,0) (-1,6) (2,6) a>0の放物線を描く。
xの変域が-1≦x≦2なので
変域内の放物線がこの形になる。 
yの最小値が0で、変域がこの長方形になる。
傾きがマイナスの直線でこの変域になるには
左上と右下の頂点を通る。
右下の点は(2,0)なので 
これをy=-2x+bに代入するとb=4
y=-2x+4にx=-1を代入するとy=6
つまり左上の点が(-1,6)
よって右上の点が(2,6)
(2,6)をy=ax2に代入すると a=32

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