問題
1 図で放物線mはy=x²で、nはy=ax+bである。
交点Aのx座標は-1, 交点Bのx座標は3である。
(1) 頂点Oを通り△AOBの面積を2等分する直線の式を求めよ。
(2) 直線nの切片をCとすると△AOCと△BOCの面積比を求めよ。

(1)まずAとBの座標を求めます。
　Aはx = -1なので放物線mの式y=x² に代入して
　y = 1となり　A(-1, 1)
　同じようにしてBはx = 3をmの式に代入して
　y = 9となり　B(3, 9)
　頂点Oを通り、△AOBの面積をニ等分する直線は、
　線分ABの中点を通ります。
　A(-1, 1)とB(3, 9)の中点は(1, 5)となります。
　(0, 0)と(1,5)を通る式は y = 5x です。

(2) 高さが同じ三角形では底辺の長さの比は面積比と等しくなります。
　　△AOCと△BOCはAC, BCを底辺としたときに頂点Oが共通なので
　　高さが同じになります。そのため底辺の比AC : BCが面積比と等しく
　　なります。
　　(1)で出した座標を使うとAC : BC = 1 : 3なので面積比は1:3です。
　

問題
2 図で放物線mはy=3x2, nはy=x2である。
点A, Bは放物線m上の点、点C,Dはn上の点で、
辺ABとCDはx軸に平行で、ADとBCはy軸に平行である。
四角形ABCDが正方形になるときのAの座標を求めなさい。

点Aのχ座標をpとします。AとDはχ座標が同じなので点Dのχ座標もpです。
点Aは放物線m上の点なのでy座標は3p²となります。
点Dは放物線n上の点なのでy座標はp²となります。
点Bは点Aとy座標が同じなのでχ座標は-pです。
A(p, 3p²), B(-p,3p²), D(p, p²)
四角形ABCDが正方形になるので辺ABの長さと辺ADの長さが等しくなります。
ABの長さはAのχ座標からBのχ座標を引いて　p-(-p)=2p,
ADの長さはAのy座標からDのy座標を引いて3p²-p²=2p²
これらが等しいので 2p²=2p
この２次方程式を解くとχ=1となります。よってAの座標(1,3)