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放物線と図形2 解説

1.
図のように放物線nと直線mが点A,Bで交わっている。
点Aの座標が(6,18),直線mとx軸との交点をCとする。
△BOC:△BOAの面積比が1:8となるときのCの座標を求めよ。
ただしCのx座標は負である。
AB C xymn O

1.
A(6,18)が放物線上にあるので この点を代入して放物線の式を出す。
18=a×62
a=12
放物線の式はy=12x2 である。

頂点をOとすると△BOCと△BOAの底辺が一直線上に
あるので、高さが共通となる。
そのため△BOC:△BOA=1:ならBC:BA=1:8となる。


直線mだけ抜き出した図で考える。
図のようにBC:BA=1:8なら、
x座標どうしでCからBまでとBからAまでも1:8となる。
y座標どうしでも同様である。
Cのy座標は0, Aのy座標は18なので
y座標どうしでCからAまで18である。
それを1:8にわけると2と16となる。
つまり、Bのy座標は2だとわかる。
これを放物線の式に代入すると2=12x2
x=±2
Cのx座標が負なので、Bのx座標も負である。
よってx=-2
A(6,18)とB(-2,2)から直線mの式を求めると
y=2x+6
y=0を代入すると 0=2x+6
x=-3
よってC(-3,0)
A B C 1 8 1 8 18 2 16

2. 図のように放物線m( y=16x2 )と直線l(y=x+203 )が
点A、Bで交わっている。
また放物線上の原点Oから点Aまでの間に点Pをとる。
x y A B C O l m P
(1) △AOBと△APBの面積が等しくなるような点Pの座標を求めよ。
(2)直線lとy軸との交点をCとする。△CBOと△ACOの面積比を求めよ。

(1) △AOBを等積変形して△APBにする。
底辺ABが共通なので、
ABと平行で点Oを通る直線上に点Pがあれば
△AOBと△APBの面積は等しくなる。
点Pは放物線上の点なので
ABと平行で点Oを通る直線と、放物線mと
の交点がPとなる。
直線ABつまり直線lの傾きは1,
原点を通る傾き1の直線はy=x
y=xとy=16x2の交点は
x=16 x2
x2-6x=0
x(x-6)=0
x=0, 6
x=0のとき原点なのでPのx座標は6
よってP(6,6)
x y A B C O P m l
(2) 点Aと点Bのx座標を出す。
16x2=x+203
x2=6x+40
x2-6x-40=0
(x-10)(x+4)=0
x=-4, 10
これがそれぞれAとBのx座標である。
△CBOと△ACOでCOが共通なので
COを底辺としたときの高さの比が面積比と等しくなる。
Bのx座標が-4なので、
Bからy軸におろした垂線の長さは4
Aのx座標が10なので
Aからy軸におろした垂線の長さは10
よって4:10=2:5
x y A B C O m l

3.
図で放物線nはy=14x2のグラフで、直線mはy=2x+5のグラフである。
直線mと放物線nの交点をA,Bとする。
また点Pの座標は(7,0)である。
(1) △ABPの面積を求めよ。
(2) 点Pを通り△ABPの面積を二等分する直線の式を求めよ。
A B O P m n x y

3.
まず、放物線と直線の交点A,Bを求める。
14x2=2x+5 x2=8x+20
x2-8x-20=0
(x-10)(x+2)=0
x=-2, 10
よってA(10, 25), B(-2, 1)

(1) △ABPを等積変形して
頂点Qがy軸上にあるような△ABQをつくる。
Pを通りmに平行な直線は
 傾き2で, (7,0)を通るので
y=2x+b
0=14+b
b=-14
よってy=2x-14
この直線とy軸との交点がQなのでQ(0,-14)である。
直線mの切片をCとすると
C(0,5)なのでCQ=19
CQを底辺として△BCQの高さは2
よって△BCQ=19×2÷2=19
CQを底辺として△ACQの高さは10
よって△ACQ=19×10÷2=95
よって△ABQ=19+95=114
△ABP=△ABQなので △ABP=114
C O Q A(10,25) B(-2,1) P(7,0) x y
(2) 点Pを通り△ABPの面積を二等分する直線は点PとABの中点を通る
線分ABの中点はA(10,25), B(-2,1)なので 中点(4, 13)となる。
P(7,0)と中点(4, 13)を通る直線の式を求めると
y=-133x+913

4.  図の放物線nはy=14x2 のグラフである。
放物線nと直線mの交点をA,Bとする。
Aのx座標が-8,Bのx座標が6である。
(1) 放物線上の原点Oから点Bの間に点Pを取り、
△APBの面積が70になるようにする。
このときの点Pの座標を求めよ。

(2) 四角形AOBQが平行四辺形になるように点Qを取る。
① 点Qの座標を求めよ。
②傾き2でAOBQの面積を2等分するような直線の式を求めよ。
x y m n A B O P

4.
  まず先に、A, Bの座標、直線mの式を求める。
Aのx座標x=-8をnの式に代入 y=14×(-8)2 =16
A(-8, 16)
Bのx座標x=6をnの式に代入 y=14×62 =9
B(6, 9)
(-8, 16)と(6, 9)を通る直線がmなので
y=-12x+12

(1) Pを出す前に、y軸上に点Rをとり 面積70となるような△ABRをつくる。
その△ABRを等積変形して点Pを出す。
直線mの切片をC(0, 12)とする。
△ABRをCRで2つに分けてCR=dとする。
△ACRはCRを底辺として高さが8なので面積は d×8÷2=4d
△BCRはCRを底辺として高さが6なので面積は d×6÷2=3d
よって△ABR=3d+4d = 7d
面積70なので 
7d=70
d=10
点RはC(0,12)より10下のy軸上なのでR(0,2)
x y m n A B O R C (-8, 16) (6, 9) (0, 12) d  
  △ABRを等積変形するためにRを通りmに平行な直線を引く。
mに平行なので傾き-12 Rを通るので切片2
y=-12x+2 この直線と放物線nの交点で
x>0のほうが点Pである。
14x2 =-12x+2
x2 = -2x+8
x2 +2x -8=0
(x-2)(x+4)=0    
x=2, -4    x>0よりx=2
y=14×22 =1
P(2, 1)
x y m n A B O R C (-8, 16) (6, 9) (0, 12) d P
(2) ① 平行四辺形は向かい合う辺の長さが等しく平行である。
辺OBと辺AQについて
Oから右に6, 上に9行くとBとなるので
Aから右に6, 上に9行くとQになる。
つまり-8+6=-2, 16+9=25
Q(-2, 25)
② 平行四辺形の面積を2等分する直線は
平行四辺形の対角線の中点を通る。
ABの中点を出すと(-1, 252)である。
この中点を通り、傾き2の直線の式は
y=2x+292となる。
x y m n A B (-8, 16) (6, 9) O(0,0) R

5. 図の放物線nはy=x2,放物線mはy=14x2のグラフである。
点Aは放物線n上、点B,Dは放物線m上にあり、すべてx座標は正である。
また、点AとBのx座標は同じである。
四角形ABCDが正方形になるときの点Aの座標を求めよ。
O A B C D m n x y

点Aが放物線y=x2上にあるなら
Aのx座標をpとして A(p,p2)

ABCDが正方形ならAB=AD

A x座標をpとする(ただしp>0)。 放物線n上にあるので A(p, p2)
B はx座標がAと同じで、放物線m上なので B(p, 14p2)
Dはy座標がAと同じになるので y=p2 放物線m上なのでこれを代入すると
p2=14x2
x2=4p2
x=±2p x>0よりx=2p
辺AB = p2-14p2=34p2
辺AD = 2p-p=p
ABCDが正方形になるのでAB=AD
つまり 34p2=p
3p2-4p=0
p(3p-4)=0
p=34
よってA(34, 169)

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