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因数分解3  2番 解説

2. 因数分解しなさい

①4a2bc−12ab2c+8abc2 ②2x2−5x−3 ③49x2−16y2z2 ④6x2+7x−3 ⑤8x2y+10xy+3y ⑥x3−x ⑦x3−9x2+20x ⑧3ax2−18ax+27a ⑨(x+2)2−5(x+2) ⑩(x+3)2+(x+3)−12 ⑪(2a+b)2−(a−2b)2 ⑫x2+6xy+9y2−25 ⑬x2+10x+25−y2 ⑭x2−2xy+y2−9


共通因数 4abcをくくり出す。
4a2bc−12ab2c+8abc2 = 4abc(a−3b+2c)

x2の係数が2なので(2x+?)(x+?)
定数項は−3なので?には3と1でどちらかがマイナス、または1と3でどちらかマイナスがはいる
順に代入して展開してみると
(2x−3)(x+1)=2x2−x−3
(2x+3)(x−1)=2x2+x−3
(2x−1)(x+3)=2x2+5x−3
(2x+1)(x−3)=2x2−5x−3
よって2x2−5x−3 = (2x+1)(x−3)

49x2=(7x)2, 16y2x2=(4yz)2なので
A2−B2=(A+B)(A−B) 和と差の積を考える

49x2−16y2x2
 =(7x)2−(4yz)2
 =(7x+4yz)(7x−4yz)

x2の係数が6なのでまず(2x+?)(3x+?)を考える。定数項が−3なので?に1と3でどちらかがマイナス、またはその逆が入る。
順に代入して展開してみると
(2x+3)(3x−1)=6x2+7x−3

よって 6x2+7x−3 = (2x+3)(3x−1)

共通因数yをくくりだしてから、さらにカッコの中を因数分解する。
8x2y+10xy+3y
 = y(8x2+10x+3)
 = y(2x+1)(4x+3)

共通因数xをくくりだしてから、さらにカッコの中を因数分解する。
x3−x
 = x(x2−1)
 = x(x+1)(x−1)

共通因数xをくくりだしてから、さらにカッコの中を因数分解する。
x3−9x2+20x
 = x(x2−9x+20)
 = x(x−5)(x−4)

共通因数3aをくくりだしてから、さらにカッコの中を因数分解する。
3ax2−18ax+27a
 = 3a(x2−6x+9)
 =3a(x−3)2

x+2=Aとおきかえて因数分解する
(x+2)2−5(x+2)
 = A2−5A
 =A(A−5)
 =(x+2)(x+2−5)
 =(x+2)(x−3)

x+3=Aとおきかえて因数分解する
(x+3)2+(x+3)−12
 =A2+A−12
 =(A−3)(A+4)
 =(x+3−3)(x+3+4)
 =x(x+7)

2a+b=A, a−2b=Bとおきかえて因数分解する。
(2a+b)2−(a−2b)2
 =A2−B2
 =(A+B)(A−B)
 =(2a+b+a−2b)(2a+b−a+2b)
 =(3a−b)(a+3b)

x2+6xy+9y2 この部分だけでを因数分解すると(x+3y)2となるので
x+3y=Aに置き換えてさらに和と差の積の因数分解をする

x2+6xy+9y2−25
 =(x+3y)2−25
 =A2−52
 =(A+5)(A−5)
 =(x+3y+5)(x+3y−5)

x2+10x+25 この部分だけで因数分解して (x+5)2となるので
x+5=Aとおきかえて和と差の積の因数分解をする。

x2+10x+25−y2
 =(x+5)2−y2
 =A2−y2
 =(A+y)(A−y)
 =(x+5+y)(x+5−y)

x2−2xy+y2 この部分だけで因数分解して(x−y)2となるので
x−y=Aとおきかえて和と差の積の因数分解をする。

x2−2xy+y2−9
 =(x−y)2−9
 =A2−32
 =(A+3)(A−3)
 =(x−y+3)(x−y−3)

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