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1次関数応用(動点) 解説

1. 点Pは長方形ABCDの頂点Aを出発して毎秒2cmでA→B→C→Dと進む。出発してからx秒後の△APDの面積をycm2とする。

x秒間でPは何cm進むか。 毎秒2cmというのは
1秒で2cmなので
2秒で2×2=4cm
3秒で2×3=6cm



10秒で2×10=20cm


x秒で2×x=2xcm

図1のように点Pが辺AB上にいるとき 2x 2x A B C D 10cm 8cm P 図1 10cm 10cm
xの変域を求めよ。 AをスタートしてからBに到着するまで8÷2=4秒
よって点Pが辺AB上にいるのは0秒から4秒まで
 0≦x≦4
△APDでADを底辺として考えるとき
ア) 底辺の長さを求めよ。 図のように底辺AB=10cm
イ) 高さをxの式で表せ。 高さはAPである。
APはスタートからPが進んだ道のりなので2x

△APDの面積yをxの式で表せ。 三角形の面積=底辺×高さ÷2 なので
10×2x÷2=10x
y=10x


図2のように点Pが辺BC上にいるとき 図2 P 10cm 10cm 8cm
xの変域を求めよ。 AをスタートしてからBに到着するまで8÷2=4秒
AをスタートしてからCに到着するまで18÷2=9秒
よって点Pが辺BC上にいるのは4秒から9秒までなので
 4≦x≦9

△APDでADを底辺として考えるとき
ア) 底辺の長さを求めよ。 図のように底辺AD=10cm
イ) 高さを求めよ。 高さはPから辺ADにおろした垂線の長さなので8cm

△APDの面積yを求めよ。 三角形の面積=底辺×高さ÷2 なので
10×8÷2=40
y=40


図3のように点Pが辺CD上にいるとき 図3 P 10cm 10cm 26-2x
xの変域を求めよ。 AをスタートしてからCに到着するまで18÷2=9秒
AをスタートしてからDに到着するまで26÷2=13秒
よって点Pが辺CD上にいるのは9秒から13秒まで
 9≦x≦13

出発からx秒間でPが進んだ道のりをxの式で表せ。 (1)で出したとおり2x
PDの長さをxの式で表せ。 図に示した赤い部分の長さはPが出発から進んだ道のり2xcm
図の青い部分の長さは8+10+8=26cm
PDは青い部分から赤い部分を引けば出るので
 26-2x

△APDの面積yをxの式で表せ。 図のように底辺AD=10cm、 高さはPD=26-2xである。
三角形の面積=底辺×高さ÷2 なので
10×(26-2x)÷2=130-10x
y=-10x+130

x=4のときのyの値を求めよ。 x=4を y=10xに代入すると y=40

x=9のときのyの値を求めよ。 x=9を y=-10x+130に代入すると y=40

グラフをかけ x=0のときy=0なので(0,0)
(5),(6)より(4, 40), (9,40)
x=13のときy=0なので(13, 0)
これらの点を直線で結ぶ。
0 20 40 5 10 x y (秒) (cm ) 2 (0,0) (4,40) (9,40) (13,0)

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