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復習問題 2解説

2 図のように放物線mと傾き2の直線lが点Aと点Bで交わっている。
点Aのx座標は-2, 点Bのx座標は6である。直線lとy軸との
交点をCとする。
(1)△AOCと△BOCの面積比を求めよ。
(2)原点Oを通り、△AOBの面積を二等分する直線の式を求めよ。
(3)点Cを通り、△AOBの面積を二等分する直線の式を求めよ。
(4)x軸上のx>0の部分に点Pをとる。△ABPの面積が40になるときの
Pの座標を求めよ。
A B C -2 6 x y l m O

まず、放物線mの式と直線lの式、そして点A,点Bの座標を出す。
放物線mの式をy=ax2とする。
x=-2を代入するとy=4a, A(-2, 4a),また x=6を代入するとy=36a, B(6, 36a)
ABの変化の割合が2なので 変化の割合 = yの増加量xの増加量にあてはめると
2=36a-4a6-(-2)
2=32a8
2=4a
a=12
放物線mはy=12x2となる。
するとA(-2, 2), B(6, 18)
となる。
直線lの式をy=2x+bとしてA(-2,2)を代入すると 2=-4+b
b=6 よって直線lはy=2x+6

(1)
線分COの長さが6でこれが△AOC, △BOCの両方の底辺である。
点Aはx=-2なのでAからy軸におろした垂線の長さが2
よって△AOC=6×2÷2=6
点Bはx=6なのでBからy軸におろした垂線の長さが6
よって△BOC=18
A B -2 6 x y l m O C
(2)
原点Oを通り、△AOBの面積を二等分する直線は
線分ABの中点を通る。
A(-2, 2), B(6, 18)よりABの中点は(2, 10)
よって直線はy=5x
A B -2 6 x y l m O C
(3)
(1)より△AOC=6, △BOC=18なので
△AOB=24となる。
Cを通り△AOBの面積を2等分する直線と
OBとの交点をDとする
2等分した面積が12, △AOC=6なので
△COD=6である。 CO=6なので
底辺×高さ÷2=面積に代入して
6×h÷2=6
h=2・・・高さhはDからy軸におろした垂線である。
つまり点Dのx座標は2となる。
B(6, 18)よりOBの式y=3xなので
x=2を代入してy=6
D(2,6), C(0, 6)より
直線の式はy=6
A B -2 6 x y l m O C D
(4)
点Pを通り、直線lに平行な直線nをひき
この直線nとy軸との交点をQとする。
すると△APB=△AQB(等積変形)となる。
△AQBをQCで切断して2つに分けると
QCを底辺とする△AQCと△BQCができる。
QCの長さをkとすると
△AQCの高さは2なので面積はk×2÷2=k
△BQCの高さは6なので面積はk×6÷2=3k
よって△AQB=4k
4k=40
k=10
QC=10, C(0,6)よりQ(0, -4)
よって直線nの式はy=2x-4
Pは直線nとx軸との交点なので
0=2x-4
x=2
P(2,0)
A B -2 6 x y l m O P Q n C

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