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比例反比例の応用 解説

比例・反比例の式を出してから、代入する。
比例、反比例のどちらなのかわからない場合は表などをかいてみる。
xが2倍、3倍になるときyも2倍、3倍となるのが比例。
xが2倍、3倍になるときyが1213となるのが反比例

1.  ある水そうに水がたまっている。毎分 2リットル ずつくみ出すと 30 分で空になる。
(1) 毎分 xリットル ずつくみ出すと y 分で空になるとして y を x の式で表せ。
(2) 毎分 3リットル ずつくみ出すと何分で空になるか。

1分間に2lずつくみ出す。30分間でくみ出す量は2×30=60
つまり、水そうにはじめに入っていた水の量は60lである。
60lの水を、毎分1lずつくみ出すと60分で空になる。
毎分2lで30分、毎分3lで20分、毎分4lで15分
これを表にすると
x123456y603020151210
xが2倍、3倍になるとyは1213 になっているので反比例だとわかる。
反比例の式 y=axにx=1, y=60を代入すると
60=a1
a=60
よってy=60x・・・(1)の答
また、表よりx=3のときy=20なので
(2)20分

2. 図は縦8cm,横10cmの長方形
 である。点Pは頂点Aを出発して
 毎秒1cmでBまで進む。
 PがAを出発してからx秒後の
 三角形APDの面積をycm2とする。
(1) x の変域を求めよ。
(2) y を x の式で表せ。
(3) x と y の関係をグラフにあらわせ。
A B C D P 10cm 8cm 50 40 30 20 10 0 5 10 x y

(1)
AB=8cmなので毎秒1cmでAからBまで8秒かかる。
よってxの変域は 0≦x≦8

(2)
毎秒1cmでPが進んでいるので
x秒後のAPの長さはxcmである。
三角形APDでAPを底辺とすると高さAD=10cmなので
面積y=x×10÷2
よってy=5x
A B C D P 10cm 8cm x 10cm x 10cm
(3)
y=5xのグラフをx=0からx=8の範囲で描く。
順に(0,0),(1,5),(2,10),(3,15),(4,20),(5,25),(6,30),(7,35),(8,40)の点をとり線で結ぶ。
50 40 30 20 10 0 5 10 x y

3. 次の問に答えなさい。
(1) くぎがたくさんあり、その重さをはかったら 240g あった。
  同じ種類のくぎ 10 本の重さは 15g でした。この 240g のくぎは何本あるでしょうか。
(2) 300 枚の紙のたばの厚さが 24mm だった。同じ種類の紙で別のたばがあり厚さが 50mm だった。
  この紙のたばの枚数を求めよ。
(3) 図のような形をした鉄板があり、重さが7.2gあった。
  同じ種類で1辺10cmの正方形の鉄板の重さをはかると、
  4.0gだった。図の鉄板の面積を求めなさい。

(4) 5 人で折り鶴を 1000 羽、折ることにした。ところが一人当たりの折る数が多すぎるので、
  一人当たりの折る数を 5 人のときの 14 にしたい。何人で折ればよいか。
(5) 作業員 2 人でやると 6 日間かかる仕事がある。この仕事を 1 日で終わらせるには
  作業員が何人必要か。ただし作業員 1 人がする仕事の量はみんな等しいとする。

(1)
くぎ10本で15gということはくぎ20本で30g, 30本で45gとなる。
本数をx, 重さyとして表にしてみると
x10203040y15304560
xが2倍、3倍になるとyも2倍、3倍になっているので比例である。
y=axにx=10, y=15を代入すると
15=10a
a=32
比例の式はy=32x
これにy=240を代入すると
240=32x
x=160
答160本
(2)
300枚で24mmなので、600枚なら48mm, 900枚なら72mmとなる。
枚数x, 厚さyとして表にすると
x3006009001200y24487296
xが2倍、3倍になるとyも2倍、3倍になっているので比例である。
y=axにx=300, y=24を代入すると
24=300a
a=225
比例の式は y=225x
y=50を代入すると
50=225x
x=625
答625枚
(3)
1辺10cmの正方形の面積は100cm2
面積100cm2で重さが4g、面積200cm2なら8g, 面積300cm2なら12gとなる
面積x, 重さyとして表にすると
x100200300400y481216xが2倍、3倍になるとyも2倍、3倍になっているので比例である。
y=axにx=100, y=4を代入すると
4=100a
a=125
比例の式はy=125x
これにy=7.2を代入すると
7.2=125x
x=180
答180cm2
(4)
折り鶴を1000羽、一人でおるなら1000羽、2人なら1人500羽、4人なら1人250羽、5人なら1人200羽
人数をx, 一人分の数をyとして表にすると
x1245y1000500250200xが2倍、4倍になるとyは1214 になっているので反比例である。
反比例の式 y=axにx=1, y=1000を代入すると
1000=a1
a=1000
反比例の式は y=1000x
1人分の数が、5人の時の4分の1、つまり200÷4=50
y=50を式に代入すると50=1000x
x=20
答20人
(5)
2人でやると6日かかるので、1人でやれば12日、3人なら4日
人数をx, かかる日数をyとして表にすると
x1234y12643
xが2倍、3倍になるとyは1213 になっているので反比例である。
反比例の式 y=axにx=2, y=6を代入すると
6=a2
a=12
反比例の式はy=12x
これにy=1を代入すると
1=12x
x=12
答12人

必ずしも表にする必要はないが、難しい問題にあたったときは何か工夫する必要がある。
方程式文章題や関数の応用などでは表をつくるのがひとつの方法である。

分野別 目次

1年

正負の数

文字式

方程式

関数

平面図形

空間図形

資料の整理

まとめ

まとめ

2年

式の計算

連立方程式

1次関数

角度

三角形

四角形

確率

3年

多項式

平方根

2次方程式

関数

相似

三平方の定理

まとめ

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