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角度3 解説

三角形の外角は
それと隣り合わない2つの内角の和に等しい。
m n m+n
補助線の引き方。
1.三角形をつくる(内角の和または外角の関係を使う)
2. 平行線をひく(錯角、または同位角を使う)

1. m//nのとき次のxの値を求めよ。
(1) m n x 100° 82° 70° (2) m n 65° 40° 76° x

(1)
100°の同位角
三角形の外角はそれと隣り合わ
ない2つの内角の和に等しいので
82°+70°=152°
x+100°=152°
x=52°
100° 82° 70° m n x 100° 152°
(2)
m,nに平行な線を補助線として引く。
76°の同位角 
三角形の外角はそれと隣り合わ
ない2つの内角の和に等しいので
 76°-40°=36° 
36°の対頂角 
65°の同位角
三角形の外角はそれと隣り合わ
ない2つの内角の和に等しいので
x+36°=65°
x=29°
m n 76° 76° 65° 40° x 36° 36° 65°


2. 次の図でxの値を求めよ。(ただし、同じ印をつけた角度は等しい)
x (1) 72° 80° 50° 160° 126° 92° x (2)

(1)
辺を延長して三角形をつくる 
直線は180°なので 180°-50°=130°
四角形の内角の和は360°なので
360°-72°-80°-130°=78° 
直線は180°なので 180°-160°=20°
三角形の外角はそれと隣り合わ
ない2つの内角の和に等しいので
x+20°=78°
x=58°
x 72° 80° 130° 50° 160° 78° 20°
(2)
○をa, ●をbとする。
三角形の内角の和は180°なので
a+b+126°=180°
a+b=54°
四角形の内角の和は360°なので
2a+2b+x+92°=360°
2a+2b+x=268°
2(a+b)+x=268°
ここにa+b=54°を代入
2×54°+x=268°
x=160°


3.次の図でxの値を求めよ。(ただし同じ印をつけた角度は等しい)
x 26°

同じ大きさの角度をそれぞれ同じ文字に置き換える。
図の●をaに、○をbにして、内角と外角の関係をつかって方程式を作る。
x 26° a a b b A B C D
x a a b b A B C 26° D ab B C
△ABCで∠Cの外角は2b, 隣り合わない内角はxと2a
つまり 2b=x+2a・・・①
△DBCで∠Cの外角はb, 隣り合わない内角は26とa
つまり b=26+a・・・②
②を①に代入すると
2(26+a)=x+2a
52+2a=x+2a
x=52


4. 印をつけた角度の合計は何度になるか求めよ。


図を3つの部分に分ける。
赤い部分と青い部分はともに四角形である。
四角形の内角の和は360°なので、赤い部分と青い部分で360°+360°=720°
残りの部分で角に文字をつける。
「三角形の外角はそれと隣り合わない2つの内角の和に等しい」
を利用すると b+d 
c+e 
三角形の内角の和は180°
よって720+180=900
b c d e a b+d c+e

図を3つの部分に分ける。
赤い部分と青い部分はともに三角形である。
三角形の内角の和は180°なので、赤い部分と青い部分で180°+180°=360°
残りの部分で角に文字をつけると
「三角形の外角はそれと隣り合わない2つの内角の和に等しい」
を利用すると a+c 
b+d 
よって180°
360°+180°=540°
a b c d e b+d a+c

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