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グラフと図形(発展) 1 解説

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1. 図の直線は y=3x, 双曲線は y = a x である。点A,Bは直線と双曲線の交点であり、点Aのx座標は2である。

x
y

(1) a の値を求めよ。 (2) 点 B の座標を求めよ。 (3) 双曲線上にあり、x 座標、y 座標ともに整数となる点はいくつあるか。

(1)点Aのx座標が2なのでこれを直線の式に代入すると y=3×2=6
点A(2, 6)となる。 これを双曲線の式に代入すると 
6=a2
a=12
(2)点Aと点Bは原点について対称になるのでB(-2, -6)
(3) 双曲線の式 y=12x
これに整数xを順に代入して整数になるyを見つける
まずは正の数から
x=1のとき y=12, x=2のときy=6, x=3のときy=4, x=4のときy=3,
x=5のときはyは整数にならない。x=6のときy=2,・・・・・x=12のときy=1,
これ以降はyがちいさくなるばかりなのでここまで。
つまりx>0のときは(1,12), (2,6), (3,4), (4,3), (6,2), (12,1) の6個
同じことを負の数でもおこなうと
(-1,-12), (-2,-6), (-3,-4), (-4,-3), (-6,-2), (-12,-1) の6個
正負をあわせて12個

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