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関数と図形 解説

1. 次の問に答えなさい。
(1)点A(-2, 1)と点B(6, 5)の中点の座標を求めよ。
(2)点A(-2, 1)と点B(4, 10)がある。線分AB上に点PをとりAP:PB=2:1にしたい。点Pの座標を求めよ。
(3)3点、O(0, 0), A(6, 0), B(2, 8)がある。△OABの面積を求めよ。
(4)3点、A(-5, 2), B(-5, -4), C(7, 8)がある。△ABCの面積を求めよ。
(5)2点、A(5,5)、 B(8, 1)がある。y=2x+bが線分ABと交点を持つようなbの値の範囲を求めよ。

(1)
x座標どうしで-2と6の真ん中の点は2,
y座標で1と5の真ん中は3
よって中点の座標は(2,3)
A B x y O -2 6 1 5 2 3
(2)
x座標-2から4を3等分する。4に近い方は2
y座標1から10を3等分する。10に近い方は7
よってPの座標は(2,7)
-2 4 1 10 O x y A B 2 7
(3)
底辺 OA=6、
高さ Bから辺OAに下ろした垂線 8
面積 6×8÷2=24
A B O x y 6 8
(4)
底辺  AB=6,
高さ  Cから辺BAの延長上に下ろした垂線 12
よって面積 6×12÷2=36
A B C x y O 6 12
(5)
y=2x+bはbの値によって変化する。
この直線が線分ABと交点を持つとき
点A(5,5)を通る時がbの最大値、
点B(8,1)を通る時がbの最小値となる。
(5,5)を代入すると
5=10+b
b=-5
(8,1)を代入すると
1=16+b
b=-15
よって-15≦b≦-5
A B x y O

2.  図で直線lはy=-2x+4, mはy=2x-6、nはy=tである。
lとnの交点をA, mとnの交点をBとする。
線分ABの長さが7になるときのtの値を求めよ。
ただしt>0とする。
lmnxyOAB

点Aはy座標がtで、y=-2x+4のグラフ上にある。
グラフの式にy=tを代入すると t=-2x+4
x=4-t2
点Bはy座標がtでy=2x-6のグラフ上にある。
グラフの式にy=tを代入すると
t=2x-6
x=t+62
Bのx座標からAのx座標を引いた差が線分ABの長さなので
t+62- 4-t2=7
t+6-(4-t)=14
2t+2=14
2t=12
t=6

3. lはy=-2x+10, mはy=xのグラフである。
直線m上に点A、直線l上に点D、x軸上に点Bと点Cをとる。
四角形ABCDが正方形になるときの点Dの座標を求めよ。  ABCDOxylm

Dのy座標をtとする。
Dは直線l上の点なのでy=tをグラフの式に代入すると
t=-2x+10
x=10-t2
またAのy座標はDとおなじなのでtとなる。
Aはm上の点なのでy=tをグラフの式に代入すると
t=x
Dのx座標からAのx座標を引いた差が辺ADの長さなので AD=10-t2-t
正方形なのでAD=ABとなる。
辺ABはAのy座標に等しいのでAB=t
よって10-t2-t=t
10-t-2t=2t
-5t=-10
t=2
よってD(4,2)

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