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立体と動点 解説

(1) 図はAB=6cm, BC=6cm, AE=12cmの直方体である。点PはAを出発して毎秒1cmでAk=4cmのkまで進む。 点QはPと同時にBを出発して毎秒3cmでFまで進む。また、点RはPD//QRとなるように辺CG上を動く。 A B C D E F G H P Q R k
① 点P,Qが出発してから2秒後のCRの長さを求めよ。
② 点P,Qが出発してから3秒後までの間に、面DPQRが動いてできた立体の体積を求めよ。



解説

PD//QRなのでCR=BQ-APよってCR=6-2=4cm

面DPQRが動いてできた立体とはABCDPQRを頂点とする立体です。
これを面BDQで切断して2つの四角錐にわけます。つまりD-APQBとD-CBQRです。
3秒後なのでAP=3, BQ=9, CR=6です。
D-APQBの体積
底面は台形、上底AP=3, 下底BQ=9, 台形の高さAB=6 なので
台形の面積=(3+9)×6÷2=36
四角錐の高さDA=6 なので
四角錐の体積36×6÷3=72
台形D-CBQRの体積
底面の台形 上底CR=6, 下底BQ=9, 台形の高さBC=6 なので
台形の面積=(6+9)×6÷2=45
四角錐の高さDC=6なので 四角錐の体積45×6÷3=90
90+72=162cm3



(2) 図は底面が∠ACB=90°の直角三角形で、AC=8cm, AB=10cm, BC=6cm, AD=12cmの三角柱である。 点Pは頂点Fを出発し、毎秒1cmでF→C→A→Dと進む。 A B C D E F P
① 三角錐P-DEFの体積が28cm3になるのはPが出発してから何秒後か。すべて求めよ。
② △PEFの面積が最大になるのは点PがFを出発してから何秒後か。



解説

三角錐P-DEFの底面積 8×6÷2=24
錐の体積=底面積×高さ÷3なので高さをhとすると 28=24×h÷3
これを解いてh= 7 2
高さが 7 2 になるのはPが辺FC上にいる時つまり出発から 7 2 秒後
もうひとつは辺AD上にいる時、到着から 7 2 秒前、FからDまで全部で32秒かかるので32- 7 2 = 57 2 秒後

△PEFはEF=6cmで決まっているのでEFを底辺とした時の高さが最大になれば面積も最大になります。
つまり点Pが辺EFから最も遠いところにあれば面積は最大です。
今回の図では面ADFCと辺EFが垂直なので、△PEFは常に∠PFE=90°、つまり常にPFが高さになります。
PFが最大になるのは四角形ADFCの対角線AFと一致した時、つまりPがAにくる時なので、12+8=20秒後



(3) 図はAD=8cm, AB=16cm, AE=12cmの直方体である。点PはAを出発して毎秒1cmでDまで進む。QはPと同時にAを出発して毎秒2cmでBまで進む。 A B C D E F G H P Q
① P,Qが出発してから3秒後の三角錐PAQEの体積を求めよ。
② P,Qが出発してから4秒後、△PQEの面積が56cm2になる。このとき、頂点Aから面PQEにおろした垂線の長さを求めよ。
③ 線分PEと線分QEの中点をそれぞれM,Nとする。P,Qが出発して2秒後から5秒後までの3秒間に 線分M,Nが通ってできる部分の面積を求めよ。


解説

3秒後AP=3, AQ=6なので、体積は 3×6÷2×12÷3=36

4秒後AP=4, AQ=8なので、体積は4×8÷2×12÷3=64
頂点Aから面PQEにおろした垂線とは△PQEを底面にした時の三角錐の高さのことです。
求める三角錐の高さをhとして、錐の体積=底面積×高さ÷3にあてはめると 64=56×h÷3
これを解くとh= 24 7 cm

2秒後のQをQ', 5秒後をQ''とする
またAEの中点をN0、2秒後、5秒後のNをそれぞれN', N''として
面AEFBだけを見ます。
A B E F N'' Q' Q'' N 0 N'
Nは常にQEの中点なので図の△AEQ''で中点連結定理が成り立ち、
N0N''はAQ''と平行で、長さはAQ''の半分で5cm
同様にN0N'はAQ'の半分なので2cmです。

つぎに2秒後のPをP', 5秒後をP''とする
また、2秒後、5秒後のMをそれぞれM', M''として 面DAEHを見ると
A D E H P' P'' N M' M'' 0 こちらも同じように中点連結定理が使えるので
N0M'=1cm,N0M''=2.5cmです。

さらにここで、上から見た図を考えます。見るのは△N0M''N''です。
N N'' M'' M' N' 0 求める面積は図の色を付けた部分M'N'N''M''です。
外側の直角三角形M''N0N''から
内側の直角三角形M'N0N''を引くと出せます。
5 2 ×5÷2-1×2÷2= 21 4

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