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面積比 解説

図の平行四辺形ABCDでEはABの中点、
BF:FC=5:3である。
このとき△AEGと四角形EBFGの面積比を求めよ。
A B C D E F G

まず、AG:GFの線分比を求める。
DE,CBをそれぞれ延長して交点をPとする

この補助線により相似の組が2つできる。
ひとつは△AED∽△BEP・・・(1)
もうひとつは△AGD∽△FGP・・・(2)
1 1 1 1 A B C D E F G P 8 8 5 3 8 8 5 3
(1)のほうはAE:BE=1:1なので相似比が1:1だと分かる。
相似比が1:1なのでAD=PBとなる。 BF:FC=5:3なのでこの比にあわせるとAD=PB=8である。
図で分かる通り△AGDと△FGPの相似比は8:13となる。 よってAG:GF=8:13となる。
次にEFに補助線を引く
ここで△AEGと△GEFを見ると
底辺をそれぞれAG, GFとしたときの
高さが共通である。
8 13 1 1 A B C D E F G 21
高さが等しいときには底辺の比が面積比と等しいのでAG:GF=8:13より、面積比は8:13である。
次に△AEFと△EBFを比べる。底辺をそれぞれAE、EBとしたとき高さが共通なので
面積比はAE:EBの比と同じく1:1となる。よって△AEG:△GEF:△EBF=8:13:21となる。
求める比は△AEGと四角形EBFGなので図から8:34、約分して4:17である。

図でAD:DB=3:2, AE:EC=3:2 である。
△DEF の面積は△ABC の面積の何倍か。
A B C D E F

△ADEと△ABCで、
AD:DB=AE:EC=3:2なのでAD:AB=AE:AC=3:5
また、∠A共通なので
△ADE∽△ABC(2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい)
するとDE//BCとなるので△DEF∽△CBF,
DE:BC=3:5なので相似比3:5
A B C D E F 9 25 15 15 36 △DEFと△CBFの面積比は相似比の2乗なので9:25
△DEFと△CEFは高さが共通で
底辺の比がDF:FC=3:5(△DEF∽△CBFより) よって面積比は3:5,△DEF=9とすると△CEF=15
同様に△DEFと△DBFの面積比も3:5なので△BDF=15
△ADEと△CDEは高さが共通で底辺の比がAE:EC=3:2なので 面積比も3:2, △CDE=24とすると△ADE=36となる
△DEF=9, △ABC=36+9+15+15+25=100
9÷100=9100
△DEFは△ABCの面積の9100

図でAD:DB=1:3, BE:EC=3:2 である。
(1) AF:FE を求めよ。
(2) △AFD と四角形DBEF の面積比を求めよ。
A B C D E F

(1)
  Aを通り、BCに平行な直線とCDの延長線の交点をPとする。
この補助線によって相似が2組できる。
1つ目は△PAD∽△CBD(AD:DB=1:3より相似比1:3)
2つ目は△PAF∽△CEF
BE:EC=3:2なのでBC=5, PA=xとすると
△PAD∽△CBDの相似比1:3を使って
1:3=x:5
x=53
PA:EC=53:2=5:6
△PAF∽△CEFの相似比が5:6となるので
AF:FE=5:6
1 3 1 3 x 3 2 5 P
(2)
  DEに補助線を引く。
△ADFと△EDFについて
高さが共通で、底辺AF:FE=5:6なので面積比は5:6
次に△ADEと△BDEについて
高さが共通で底辺AD:DB=3:1
よって面積比は3:1, △ADE=11とすると△BDE=33
△ADF=5,四角形DBEF=33+9=39
よって△ADFと四角形DBEFの面積比は5:39
5 6 1 3 33



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