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面積比2 解説

BD:DC=a:bなら
面積比△ABD:△ADC=a:b
A B C D
BD:DC=a:bなら
面積比△ABE:△ACE=a:b
A B C D E

1. 図のABCDでEはABの中点、BF:FC=5:3である。このとき△AEGと四角形EBFGの面積比を求めよ。
A B C D E F G

対角線BD,ACをひき交点をOとする。またACとEDの交点をH, BDとAFの交点をIとする。
更にICに直線を引く。
H I O BF:FC=5:3なので△IBF:△IFC=5:3
AO:OC=1:1なので、△IBC=8とすると△ABI=8
△ABI:△IBF=8:5 よってAI:IF=8:5
つぎにFDに線を引いて
△ABI=△DIFなので△ABI:△IBF=△DIF:△IBF=8:5
よってDI:IB=8:5

対角線BDとBG,FDに補助線をひいた図を考える
I DI:IB=8:5なので△AGD:AGB=8:5
AE:EB=1:1なので△AEG:△EBG=52:52
 つまり△AEG:△AGD=52:8 =5:16
また、AE:EB=1:1なので△AGD=8なら△DBG=8,
つまり△ABD=8+8+5=21
△ABD=△AFD=21, △AGD=8なので△GDF=21-8=13
△AGD:△GDF=8:13 よってAG:GF=8:13

EFに補助線を引く
8 13 21 AG:GF=8:13より△AGE:△FGE=8:13
AE:EB=1:1なので△AEF=21なら△EBF=21
よって△AEG:四角形GEBF=8:34=4:17


2. 図でAD:DB=3:2,AE:EC=3:2である。△DEFの面積は△ABCの面積の何倍か。
A B C D E F

AFに補助線を引く
AE:EC=3:2なので△AFE:△CFE=3:2
AD:DB=3:2なので 
△AFC=5とすると△BFC=103
△EFC:△BFC=2:103=3:5
よってEF:FB=3:5

3 5 20 40 3 EF:FB=3:5なので △DFE:△DFB=3:5
AD:DB=3:2なので △BDE=8とすると△ADE=12、△ABE=20
AE:EC=3:2なので △ABE=20とすると△EBC=403
すると△ABC=20+403=1003
よって△DEF:△ABC=3:1003=9:100
よって△DEFは△ABCの9100倍となる。


3. 図でAD:DB=1:3,BE:EC=3:2である。
(1)AF:FEを求めよ。
(2)△AFDと四角形DBEFの面積比を求めよ。
A B C D E F

(1)AC, BFに補助線を引く
BE:EC=3:2 より△BEF:△CEF=3:2
AD:DB=1:3 なので△FBC=5のとき△AFC=53
△AFC:△CEF=53:2 =5:6
よってAF:FE=5:6

(2) DFに補助線を引く
5 6 33 AF:FE=5:6より△AFD:△EFD=5:6
AD:DB=3:1なので△ADE=11とすると△BDE=33
よって△ADE:四角形DBEF=5:39


4. 図でAP:BP=2:1, BQ:QC=3:1, AR:RC=1:4 である。
(1)△ABC:△APRの面積比を求めよ。
(2)△ABC:△BPQの面積比を求めよ。
(3)△ABC:△PQRの面積比を求めよ。
A B P Q R C

(1) BRに補助線を引く
A B P R C AP:PB=2:1より△APR:△BPR=2:1
AR:RC=1:4なので△ABR=3とすると△CBR=12, つまり△ABC=15
よって△ABC:△APR=15:2

(2) PCに補助線をひく
A B P Q C BQ:QC=3:1より △PBQ:△PQC=3:1
AP:PB=2:1なので△CPB=4とすると△APC=8, つまり△ABC=12
よって△ABC:△BPQ=12:3=4:1

(3)まず△ABC:△RQCを出す。
A B Q R C AR:RC=1:4より△QAR:△QRC=1:4
BQ:QC=3:1なので△AQC=5のとき△ABQ=15, つまり△ABC=20
よって△ABC:△RQC=20:4=5:1
△ABC:△APR=15:2
△ABC:△BPQ=4:1
△ABC:△RQC=5:1
ここで△ABC=60とすると △APR=8, △BPQ=15, △RQC=12
△PQR=60-8-15-12=25
よって△ABC:△PQR=60:25 = 12:5


5. 図のABCDでEはABの中点、BF:FC=2:1のとき
四角形GEBHとABCDの面積比を求めよ。
A B C D E F G H

AC, HCに補助線を引く。対角線の交点をOとする。
O BF:FC=2:1より△HBF:△HFC=2:1
AO:OC=1:1なので △BHC=3とすると△BHA=3
△BHA:△HBF=3:2 なのでAH:HF=3:2
つぎにFDに補助線を引くと
△ABH=△DFH=3となるので
△DFH:△HBF=3:2 よってDH:HB=3:2

BGに補助線を引く。
2 3 5 5 5 3 3 DH:HB=3:2より △GHD:△GHB=3:2
AE:EB=1:1なので △GBD=5とすると△GAD=5
DH:HB=3:2なので △AGD=5とすると△ABG=103
AE:EB=1:1なので △GAE=△GEB=53
△ABD=103+5+5=403
△ABDはABCDの半分なのでABCD=803
四角形GEBH=△GEB+△GBH=53+2=113
よって四角形GEBH:ABCD=11:80

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