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三平方の定理7 解説

図はAB=6cmBC=8cmの長方形である。
∠BACの二等分線が辺BCと交わる点をEとするとき
AEの長さを求めよ。
A B C D E

△ADCで三平方の定理を使うと
AC2=62+82よってAC=10cm
AEは∠BACの二等分線なので
AB:AC=BE:ECつまり
BE:EC=3:5
BC=8cmなので
BE=3cmとなる。
△ABEで三平方の定理を使うと
AE2=62+32 よってAE=35

長方形ABCDでAB=21cm, AD=27cmである。
EB=9cmとして、頂点CをEに重なるように折り返したときの折り目をHIとする。
HIの長さを求めよ。
A B C D E F G H I

△EBHで三平方の定理を使う。
そのときにBH=x、EH=27-xとなる。
(27-x )2 = x2 + 92 これを解くと
x=12となる。
△EBHと△GAEは相似なので
対応する辺の比を比べると
EB:GA = BH:AE
9 : GA = 12 : 12 となり合同で
GA=9, GE=15
また△GAEと△GFIも相似になる。
FG = 21-GE = 6
GA : GF = GE:GI
9 : 6 = 15 : GI より GI = 10
同様にしてFI = 8
折り返した辺なのでFI = ID=8
Iから垂線を下ろし交点をPとすると
PC=8、HC=15、よりHP=7
IP = 21
△IPHで三平方の定理を使うと
HI2 = 72 + 212 よって
HI = 710

図で四角形ABCDは1辺15㎝の正方形である。
辺BC上にBE=8㎝となる点Eをとり、
∠DAEの二等分線と辺CDとの交点をFとする。
線分DFの長さを求めよ。
A B C D E F 15cm 8cm

AFとBCを延長し交点をPとする。
平行線の錯角は等しいので
∠DAP = ∠APE
角の二等分線で∠EAP=∠DAPなので
∠APE = ∠EAPとなり△EAPは二等辺。
△ABEで三平方の定理を使うと
AE2 = 152 + 82 よってAE = 17
△EAPが二等辺三角形なのでEP=17
EC=7よりCP=10
△AFDと△PFCが相似でありその相似比はAD:PC=3:2となる。
DF:CF 3:2となるので
DF=9

図はOを中心とする半径2cmの半円で線分ABは直径である。
点Cは円周上の点でCB=2cmである。
また、AC=AEである。
このとき下の問に答えよ。
(1) ACの長さを求めよ。
(2) ∠OECは何度か
(3) OEの長さを求めよ。
(4) CEの長さを求めよ。
A B C E O

∠ACBは直径の円周角なので90°
△ACBで三平方の定理を使うと
AC2 = 42 - 22 よってAC=23
CB=2で半径2cmなのでOC=OB=CB
となり△OBCは正三角形。∠COB=60°
よって∠CAB=30°、△CAEは二等辺三角形
なので∠ACE=∠AEC=75°
OE = AE - AOなので 23 - 2

△OCEで∠OEC=75°、∠COE=60°、
∠OCE=45°、EからOCに垂線を引いて
その交点をPとする。・・・図2
図2 P
△OEPは90°、60°、30°の直角三角形で
辺の比が2:1:3になるのでPE=3 - 3
△PCEは直角二等辺三角形なので
辺の比が1:1:2 になる。
PE : CE = 1: 2
よってCE = 32 - 6

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