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相似6

OはABCDの対角線ACとBDとの交点である。
∠BACの二等分線を引きBDとの交点をF、
 BC との交点を E とする。 
また、AB=12cm, BC=15cm, AC=18cm である。
(1) BEの長さを求めよ。
(2) 線分比BF:FOを求めよ。

定理:ADが∠BACの二等分線のとき、AB:AC=BD:DC

(1)
△ABCで上記の定理を使うとAB:AC=BE:EC
AB=12, AC=18、BE=xとするとEC=15-xなので
12:18=x:(15-x)
これを解くとx=6
(2)
△FBEと△FDAが相似、BE=6, AD=15なので相似比2:5
BF:FD=2:5よりBF:BD=2:7
OはBDの中点なのでBF:BO=4:7
よってBF:FO=4:3

図の△ABC、△ADE はともに正三角形である。
 AB=6cm, BD=1cm のときAD の長さを求めよ。

△ABDと△AEFと△DCFは相似な三角形になる
証明
∠ABD=∠AEF=60°
∠BAD=60°-∠DAF
∠EAF=60°-∠DAF
よって∠BAD=∠EAF
2組の角がそれぞれ等しいので△ABD∽△AEF
∠DCF=∠AEF=60°
∠DFC=∠AFE(対頂角)
2組の角がそれぞれ等しいので△DCF∽△AEF

AB=6, BD=1, AD=x
DC=5
△ABD∽△DCFより 6:5=1:FC
FC=56
AE=x, AF=6-56 =316
△ABD∽△AEFより 6:x=x:316
x2=31
x=±31
x>0より x=31
6 5 1 x A B C D E F

図で AD=DE=EB, AF=FG=GC となっている。
四角形DEGFの面積が24cm2のとき
△ADFの面積、四角形EBCGの面積を
それぞれ求めよ。

相似な図形の面積比
相似比がa:bのとき面積比はa2:b2になる。

1 2 3 1 2 3 A B C D F E G AD=DE=EB, AF=FG=GCなので
△ADFと△AEGと△ABCが相似な三角形である。
△ADF∽△AEGの相似比は1:2
よって面積比は1:4
△AEG∽△ABCの相似比は2:3
よって面積比は4:9
A B C D E F G A A 1 2 3 四角形DEGFは△AEG-△ADFなので4-1=3
四角形EBCGは△ABC-△AEGなので9-4=5
よって△ADF:四角形DEGF:四角形EBCG=1:3:5
四角形DEGF=24とすると
△ADF=xとすると1:3=x:24
x=8
四角形EBCG=yとすると 3:5=24:y
y=40
A B C D F E G

△ABC の∠BAC の二等分線と辺 BC の交点を E、
 ∠ABC の二等分線と辺 AC の交点を D とする。
 AB=8cm, BE=7cm, EC=21cm のとき
 AD の長さを求めよ。

定理:ADが∠BACの二等分線のとき、AB:AC=BD:DC

上記の定理よりAB:AC=BE:EC
AC=xとすると8:x=7:21
これを解くとx=24なのでAC=24cm
またAB:BC=AD:DCなのでAD=yとすると
AB:BC=y:(24-y)
8:28=y:(24-y)
これを解くとy= 16 3

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