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相似と線分比4(発展)解説

(1)  △ABCでAD=DE=EB, AF=FG=GH=HCである。
次の線分比を求めよ。
① BJ:JH
② EI:IK:KG
③ BI:IL:LF
A B C D E F G H I J K L

①   AD=DE=EB, AF=FG=GHよりDF//EG//BH
よって
△CHJ∽△CGK CH:CG=1:2より相似比1:2
△CHJ∽△CFD CH:CF=1:3より相似比1:3
よってJH:KG:DF=1:2:3
△ADF∽△AEG AF:AG=1:2より相似比1:2
△ADF∽△ABH AF:AH=1:3より相似比1:3
DF=3とするとEG=6, BH=9
BJ=9-1=8 よってBJ:JH=8:1
1 2 3 6 9 1.5 2.5
②  △BIE∽△BFD BE:BD=1:2より相似比1:2
DF=3とすると EI=1.5, IK= 6-1.5-2=2.5
EI:IK:KG=1.5:2.5:2=3:5:4

③  △DFL∽△KIL DF:IK=3:2.5より相似比6:5
よってFL:LI=6:5 またBI=IFなので
BI=IL+LF=5+6=11
よってBI:IL:LF=11:5:6

(2)   △ABCの辺BC上のBD:DC=2:1となる点をD、
ADの中点をE、直線BEとACの交点をF、
BE上のBG:GE=2:1となる点をGとする。
Dを通りBEに平行な直線とACの交点をIとするとき、
次の線分比を求めよ。
AF:FI:IC
BG:GE:EF
BH:HD
AG:GH
A B C D E F G H I

①  DI//BFで、BD:DC=2:1なので FI:IC=2:1
DI//BFで、AE:ED=1:1なので AF:FI=1:1
FI=2とするとAF=2 よってAF:FI:IC=2:2:1

②  △AEF∽△ADIの相似比が1:2なのでEF:DI=1:2
△CID∽△CFBの相似比が1:3なのでDI:BF=1:3
DI=2とするとBF=6
するとBE=6-1=5
BG:GE=2:1なのでBGはBEの3分の2, GEはBEの3分の1
つまりBE=5とすると BG=103 , GE=53
よってBG:GE:EF=103:53:1=10:5:3

③  Eを通りAHに平行な直線を引き、
BCとの交点をPとする(補助線)
AH//EPで、AE:ED=1:1なのでHP:PD=1:1
AH//EPでBG:GE=2:1なのでBH:HP=2:1
よってBH:HP:PD=2:1:1
よってBH:HD=2:2=1:1
P
④  △BHG∽△BPEの相似比は2:3なのでGH:EP=2:3
△DEP∽△DAHの相似比は1:2なのでEP=3とするとHA=6
AG=6-2=4
よってAG:GH=4:2=2:1

(3) ∠ABCと∠ACBの二等分線の交点をDとする。
Dを通り辺BCに平行な直線と辺AB、ACとの交
点をそれぞれE,Fとする。
AB=15cm, AC=13cm, BC=21cmのとき
EFの長さを求めよ。
A B C D E F 15cm 13cm 21cm

BDは∠ABCの二等分線なので∠EBD=∠DBC
また、EF//BCなので∠DBC=∠EDB(平行線の錯角)
よって∠EBD=∠EDB 2角が等しいので
△EBDは二等辺三角形となりEB=ED
同様に△FDCも二等辺三角形なのでFC=FD
AB=AE+EB=15 であるが、EB=EDなのでAE+ED=15
AC=AF+FC=13であるが、FC=FDなのでAF+FD=13
すると△AEFの周の長さは15+13=28となる。

△ABCの周の長さは15+13+21=49
またEF//BCより△AEF∽△ABC,
周の長さの比 28:49=4:7これが相似比となる。
よってEF=xとすると EF:BC=4:7=x:21
7x=84
x=12

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