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相似5 解説

1.  AD=12cm, BC=16cm, CD=8cm, AD//BC, ∠BCD=90°の台形がある。ADと平行な線分EFがこの台形の面積を2等分するとき、EFの長さを求めよ。

A B C D E F

解説
A B C D E F G H DC に平行で A を通る線を引く。
その線と EF,BC との交点をそれぞれ G,H とする。
すると AD=GF=HC=12cm, BH=4cm となる。
EFをxとすると EG=x-12となる。
△AEG∽△ABH なので EG:BH=AG:AH
よって(x-12):4=AG:8
AG=2(x-12)となる。
ここで面積を考える。 台形ABCDの面積は(12+16)×8÷2=112
台形AEFDはその2分の1なので (12+x)×2(x-12)÷2=56
これを計算すると
x2-144=56
x2 =200
x=±102
0<x より x=102


2.   AB=1の長方形ABCDがある。辺AD,BC上に点M, Nを取りAD=3MD, BC=3NCとなるようにする。長方形ABCDと長方形DMNCが相似になるときADの長さを求めなさい。

ABCDMN

解説
A B C D C D M N 1 x 1 1 3 x ADを xとするとMD=13xとなる。
対応する辺をくらべると
1:13x = x:1となる。
よって 13x2 = 1
x2=3
x=±3
0<xより x=3



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