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総合問題1 7解説

図1は1辺の長さが6cmの正四面体である。
(1)この正四面体の体積を求めよ。
(2)図2のようにDP=2cmとなる点Pを
辺AD上にとり、面PBCでこの正四面体
を切断する。
①切断面△PBCの面積を求めよ。
②点Aから面PBCにおろした垂線の
長さを求めよ。
A B C D 図1 図2 P

(1)
BCの中点をEとして面AEDで正四面体を2等分する。
切断面の△AEDはAD=6, AE=DE=33の二等辺三角形である。
この△AEDは底辺をADとすると高さが32なので
面積は92
立体C-AEDは△AEDを底面とした三角錐で高さは3cm
すると体積は3×92÷3=92
これが正四面体の半分なので正四面体の体積は182
E
6 3√3 3√3 3√2 A D E

(2)
① 図のように点Pから辺CDに垂線をおろし、CDとの交点をQとする。
直角三角形PDQは∠PDQ=60°なのでPD=2, QD=1, PQ=3である。
直角三角形PCQで三平方の定理によりPC=27
すると△PBCはBC=6, PC=PB=27の二等辺三角形となる。
△PBCは底辺を BCとすると三平方の定理より高さが19である。
よって面積は319となる。

(1)から正四面体の体積は182
面積比 △APC:△ACD=2:3なので
体積比 B-APC:B-ACD=2:3
よって三角錐B-APCの体積は122
また①より△PBCの面積は319
Aから面PBCにおろした垂線とは△PBCを底面にしたときの三角錐の高さになる。
よって求める垂線をhとすると 319×h÷3=122
これを解いて h=121938
C D P A 1 2 5 Q
B C P 6 2√7 2√7 √19

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