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体積4(発展) 解説

図のような底面が直角三角形(∠ABC=90°)の三角柱がある。
AB=3㎝、BC=4㎝、CA=5㎝、AD=10㎝である。
この三角柱の辺BE上にBP=6㎝となる点Pをとり、
点A,P,Fを通る平面でこの立体を2つに分けてできる
それぞれの立体の体積を求めよ。
A B C D E F P

3cm 4cm 10cm 4cm 2つにわけたときの下の部分は台形ADEPを底面とする四角錐である。
台形の面積は (10+4)×3÷2=21である。
四角錐の高さはEF=4cmなので四角錐の体積は21×4÷3=28となる。

A B C D E F P 3cm 4cm 10cm 6cm 2つにわけたときの上の部分は台形BPFCを底面とする四角錐である。
台形の面積は (10+6)×4÷2=32である
四角錐の高さはAB=3cmなので四角錐の体積は32×3÷3=32となる。

図の直方体は AB=10cm, BC=4cm, BF=6cm である。
BQ=5cm, AP=1cmとなる点P,Qをとり、D,P,Qを通る平面で
この直方体を2つに分ける。
2つに分けたそれぞれの立体の体積を求めよ。
A B C D E F G H P Q R

2つに分けた上側の立体をさらに面BQDで切断する。
A B C D P Q R 手前は台形BQRCを底面とする四角錐になる。
台形BQRCの面積は・・・(5+4)×4÷2=18
四角錐の体積は・・・18×10÷3=60
向こう側は台形ABQPを底面とする四角錐になる。
台形ABQPの面積は・・・(1+5)×10÷2=30
四角錐の体積は・・・30×4÷3=40
よって上側の立体の体積は60+40=100
全体から引くと下側も体積が出せる。 240-100=140

図は∠BAC=90°の直角三角形を底面とする三角柱で、AB=12cm,
AC=10cm, AD=15cmとなっている。また、点M,Nは辺AB,BCのそれ
ぞれの中点でMN=5cmである。M,N,F,Dを通る平面で三角柱を2つに
分けたときにできるそれぞれの立体の体積を求めよ。
A B C D E F M N

2つに分けた立体のうち向こう側(頂点Aを含む方)を出す。
この立体に三角錐をつけたして△AMDを底面とする三角柱にする。
つけたした部分の三角錐はPCNFである。

A D M C F N P 三角柱AMDCPFから三角錐PCNFを引くと、求める立体の体積になる。
△AMDの面積・・・6×15÷2=45
三角柱AMDCPFの体積・・・45×10=450
三角錐PCNFの体積・・・45×5÷3=75
よって求める体積・・・450-75=375
また、手前側の立体は全体から375を引けば出るので
900-375=525となる。

図は底面が正方形の正四角錐で、底面の正方形は1辺6cm,
四角錐の高さは8cmである。OCの中点がP、DCの中点がF、
CE=2cmである。このとき三角錐 P-AEF の体積を求めよ。
A B C D E F P O

PがOCの中点なので三角錐P-AEFの高さは正四角錐の半分となり、4cmである。
底面の△AEFは正方形から△ABE,△ADF, △CFEを引けば出せる。
△AEFの面積・・・36-12-9-3=12
12×4÷3=16

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