問題
右の図で△ABCはAB=AC=1の二等辺三角形で∠BAC=108°である。
また、∠BACを2:1に分ける直線と辺BC との交点をDとする。
辺BCの長さを求めなさい。
△ABCは二等辺三角形で∠BAC=108°なので
∠ABC=∠ACB=36°となります。
∠BACが108°でそれを2:1に分けているので
∠BAD=72°、∠DAC=36°
図に書き入れると右のようになります。
さらに∠ADB=72°なので△ABD も
AB=DBの二等辺三角形です。
△ABCと△DCAは2組の角がそれぞれ等しくなっているので
相似になります。
上で示したようにAB=DB=1なので
求めるBCをχ とするとDC = DA =χ - 1になります。
対応する辺の比は等しいので
1 : (χ-1) = χ : 1
χ(χ-1) = 1
χ2 - χ - 1 = 0
この2次方程式を解くと
χ = ±
χ > 0 なので
χ = +