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相似4の5 解説

問題
右の図で△ABCはAB=AC=1の二等辺三角形で∠BAC=108°である。
また、∠BACを2:1に分ける直線と辺BC との交点をDとする。
辺BCの長さを求めなさい。

soji4_5_1.jpg(1729 byte)

△ABCは二等辺三角形で∠BAC=108°なので
∠ABC=∠ACB=36°となります。
∠BACが108°でそれを2:1に分けているので
∠BAD=72°、∠DAC=36°
図に書き入れると右のようになります。
    さらに∠ADB=72°なので△ABD も
AB=DBの二等辺三角形です。

△ABCと△DCAは2組の角がそれぞれ等しくなっているので
相似になります。
上で示したようにAB=DB=1なので
求めるBCをχ とするとDC = DA =χ - 1になります。

 対応する辺の比は等しいので
 1 : (χ-1) = χ : 1
 χ(χ-1) = 1
 χ2 - χ - 1 = 0

この2次方程式を解くと
χ = 2bun1.gif(245 byte)±2bunR5.gif(291 byte)   
 χ > 0 なので   χ = 2bun1.gif(245 byte)2bunR5.gif(291 byte)
  

soji4_5_2.jpg(2593 byte)
soji4_5_3.jpg(4395 byte)


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