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相似の証明1

相似の問題

相似の証明や相似比を用いて辺の長さなどを出す場合、図形の向きをそろえて考える。
A B C D E ∠ADE=∠ACB A B C A D E

相似な図形の性質

相似な図形では
対応する角がそれぞれ等しい。
対応する部分の長さの比がすべて等しい。

三角形の相似条件

①3組の辺の比がすべて等しい。
②2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。
③2組の角がそれぞれ等しい。

相似の証明

例題1) 図で∠BAC=∠ADCとなっている。△ABC∽△DACを証明せよ。
A B C D

A B D C A C 向きをそろえて、等しい角に印をつける。 【証明】
△ABCと△DACにおいて
∠BAC=∠ADC(仮定)
∠ACB=∠DCA(共通)
よって2組の角がそれぞれ等しいので
△ABC∽△DAC

例題2) AB=5cm, AC=10cm, AD=4cm, AE=2cmである。△ABC∽△AEDを証明せよ。
A B C D E 2cm 4cm 5cm 10cm
A B C 5cm 10cm A D E 2cm 4cm
【証明】
△ABCと△AEDにおいて
∠BAC=∠EAD(共通)…①
AB:AE=5:2(仮定)…②
AC:AD=10:4=5:2…③(仮定)
②,③よりAB:AE=AC:AD…④
①と④より
2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABC∽△AED

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