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合同の証明2 4解説

4. 右の図でAB//CF, GD//BF,AG=CFのとき
 △ADG≡△CEFとなることを証明しなさい。
A B C D E F G

合同を証明するためには
等しい辺、または等しい角の理由を見つける必要がある。
△ADGと△CEFの合同を証明するには
AD=CE, DG=EF, AG=CF, ∠ADG=∠CEF, ∠DGA=∠EFC, ∠DAG=∠ECFの6つの等式のうち
等しくなる理由の説明できるものを少なくとも3つを見つけなければならない。


このとき、理由として利用できるのが問題文の中で「仮定」されている事柄と、「図形の性質」である。
「右の図で○○○のとき△△△を証明しなさい。」という問題なら○○○の部分が仮定である。
また図形の性質とは 「平行線の錯角は等しい」、「対頂角は等しい」、「三角形の内角の和は180°」などである。


仮定を図に書き込み、上記の6つの等式を順に見て理由が説明できるかを考える。
1)AD=CE 等しくなる理由は見当たらない。
2)DG=EF 等しくなる理由は見当たらない。 
3)AG=CF 問題文の仮定に同じ等式がある。 理由・・・仮定 
4) ∠ADG=∠CEF 直接の理由はない
5) ∠DGA=∠EFC 直接の理由はない
6) ∠DAG=∠ECF AB//CFの錯角になっている 理由・・・平行線の錯角

ひと通り等式をみると2つの等式に理由が見つかったが、
この時点でもう一度仮定を振り返ってみると
GD//BFが使われていないことがわかる。
平行線は錯角や同位角が等しいことから∠DGA=∠EBAとなることがわかる。
また、図で∠EFCと∠EBAをみると AB//CFの錯角になっている。
つまり∠EFC=∠EBAなので∠DGA=∠EBA=∠EFCである。
よって5)の等式にも理由が見つかった。
図を見てわかる通り1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しくなっているので、合同が証明された。

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