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関数と図形(面積を二等分する直線) 解説

頂点を通る直線で三角形の面積を二等分する
P Q R
頂点とその対辺の中点を通る直線は三角形の面積を二等分する。
中点を求める ≫ 2点から直線の式を出す ≫

1. 図でA(8,8),B(12,0)である。

x y A B O

(1)点Oを通り△AOBの面積を二等分する直線の式を求めよ。

(2)点Bを通り△AOBの面積を二等分する直線の式を求めよ。

(3)辺OA上の点Q(6、6)を通り△AOBの面積を二等分する直線の式を求めよ。

(1)
点Oを通って△AOBの面積を二等分する直線は、対辺であるABの中点を通る。
ABの中点は(10, 4)
よって求める直線は(0,0)と(10, 4)の2点を通る直線である。
よって y=25x
(2)
点Bを通って△AOBの面積を二等分する直線は、Bの対辺であるAOの中点を通る。
AOの中点は(4,4)なので、求める直線は(4,4)と(12,0)を通る。
よって y=−12x+6
(3)
頂点を通らない直線のばあい、面積を求めて考える。
Q K △AOBの面積は12×8÷2=48
図のように辺OB上に点Kをとり、△QOKの面積が24に
なるようにすれば直線QKが△AOBを二等分できる。
Q(6,6)なので、△QOKの高さは6、底辺の長さをaとすると
6×a÷2=24
a=8 よってK(8,0)となる。
Q(6,6)とK(8,0)の2点を通る直線は y=−3x+24

2. 図でA(1,6),B(9,2),C(3,8)である。点Cを通り△ABCの面積を二等分する直線の式を求めよ。

A B C O x y

点Cを通って△ABCの面積を二等分する直線は、対辺であるABの中点を通る。
A(1,6) B(9,2)なのでABの中点は(5, 4)
2点(3, 8)と(5, 4)を通る直線の式は
y=-2x+14

平行四辺形の面積を二等分する直線は、対角線の交点(中点)を通る。

3. 図でA(1,9),B(5,4),C(11,3)である。四角形ABCDは平行四辺形である。

x y A B C D O

(1) Dの座標を求めよ。

(2) 点(4,2)を通りABCDの面積を二等分する直線の式を求めよ。

(3) 傾き-1でABCDの面積を二等分する直線の式を求めよ。

(1) 平行四辺形の対辺は平行で、長さが等しい。
B(5,4)からA(1,9)までの移動はx方向に-4, y方向に+5である。
C(11,3)からDも同じ移動なので 11-4=7, 3+5=8
よってD(7,8)

(2) 平行四辺形の面積を2等分する直線は対角線の中点を通る。
A(1, 9), C(11, 3)なので、対角線ACの中点は(6,6)
(4, 2)と(6,6)を通る直線の式は
y=2x-6

(3) 傾き-1で、(6,6)を通る直線の式は
y=-x+12

4. 図で点A(6,6),B(20,0),C(18,6)である。

x y O A B C

(1) 台形AOBCの面積を求めよ。

(2) 点Aを通り台形AOBCの面積を二等分する直線の式を求めよ。

(3) 線分AC上の点Q(16,6)を通り台形AOBCの面積を二等分する直線の式を求めよ。

(4) 傾き1で台形AOBCの面積を二等分する直線の式を求めよ。

(5) 傾き2で台形AOBCの面積を二等分する直線の式を求めよ。

(6) 切片14で台形AOBCの面積を二等分する直線の式を求めよ。

(1) x y O A B C(6,6) (18,6) (20,0) 12 20 6 上底AC=12, 下底OB=20, 高さ6より  
面積 (12+20)×6÷2=96

(2) x y O B C (18,6) (20,0) A (6,6) d P 直線がx軸と交わる点をPとして、OPの長さをdとする。
△AOPの面積が48になれば良いので
d×6÷2=48
d=16
直線はA(6,6)とP(16,0)を通る。
よってy=-35x+485

(3) x y O B C (18,6) (20,0) A (6,6) Q (16,6) P d 10 直線がx軸と交わる点をPとして、OPの長さをdとする。
台形AOPQの面積が48になれば良いので
(10+d)×6÷2=48
d=6
直線はQ(16, 6)とP(6,0)を通る。
よってy =35x-185

(4) x y O B C (18,6) (20,0) A (6,6) P Q d d 直線がx軸と交わる点をP、AQの交わる点をQとして、OPの長さをdとする。
直線OAも傾きが1なので求める直線は OAと平行になり、AQの長さもdとなる。
平行四辺形AOPQの面積が48になれば良いので,
d×6=48
d=8
直線は傾き1で、P(8,0)を通る。 よってy=x-8

(5) x y O B C (18,6) (20,0) A (6,6) P Q (d,0) (d+3,6) d d-3 直線がx軸と交わる点をP、AQの交わる点をQとして、
OPの長さをdとする。
Pの座標は(d,0)となるので、傾き2の直線の式y=2x+b に代入すると0=2d+b
b=-2d
y=2x-2dにy=6を代入すると 6=2x-2d
x=d+3  つまりQ(d+3, 6)となる。
AQ=d-3, OP=d、高さ6の台形AOPQの面積が48なので
(d-3+d)×6÷2=48
d=192
傾き2でP(192,0)を通る直線は  y=2x-19

(6) y x O A(6,6) C(18,6) B(20,0) (0,14) P(d,0) Q 直線がx軸と交わる点をP、AQの交わる点をQとして、OPの長さをdとする。
Pの座標は(d,0)となるので、切片14の直線の式y=ax+14 に代入すると 0=ad+14
a=-14d
y=-14dx+14 の式にy=6を代入すると
6=-14dx+14
x=47d
つまり Q(47d, 6 )
A(6,6)なので AQ=47d-6
台形AOPQの面積が48なので (47d-6+d)×6÷2=48
これを解くと d=14
切片14でP(14,0)を 通る直線はy=-x+14となる。

分野別 目次

1年

正負の数

文字式

方程式

関数

平面図形

空間図形

資料の整理

まとめ

まとめ

2年

式の計算

連立方程式

1次関数

角度

三角形

四角形

確率

3年

多項式

平方根

2次方程式

関数

相似

三平方の定理

まとめ

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