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空間図形(発展) 1解説

図は一辺12㎝の立方体である。AP=3㎝、BQ=7㎝とする。
D,P,Qを通る平面でこの立方体を切ったときの切り口をDPQSとする。
A B C D E F G H P Q S
(1) CSの長さを求めよ。
(2) 切断してできる立体のうち頂点Bを含む方の立体の体積を求めよ。

(1)
J 立体を平面で切断した場合、対面に現れる直線は平行になる。
この場合 PQ//DS, PD//QSである。
図のようにPからABに平行に線を引いて△PJQをつくると
△PJQは△DCSと全く同じ三角形(合同)になる。よってAP=BJ,JQ=CS
AP=3cm,BQ=7cmなのでCSは、7-3=4
答4cm

(2)
A B C D P Q S 図2 切断してできる立体のうちBを含むほうは図2のようになる。
このままでは体積を出すことができないのでさらに切断する。

図3 図3のように点D, B, Qを含む平面で切断する。
すると2つの四角錐ができる。
1つはDを頂点として台形APQBが底面となっている。
台形APQBはAP=3, BQ=7, AB=12なので
 面積 (3+7)×12÷2 =60
四角錐の高さAD=12なので
 体積 60×12÷3=240
もう1つはDを頂点として台形BQSCが底面となっている。
台形BQSCはCS=4, BQ=7, BC=12なので
 面積 (4+7)×12÷2=66
四角錐の高さDC=12なので
 体積 66×12÷3=264
これら2つの体積を足すと 240+264=504
答504cm3

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