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特別な直角三角形 解説

特別な直角三角形の3辺の比
45° 45° 1 1 2 60° 30° 1 2 3

△ABCの面積を求めよ。  105° 30° 6cm A B C

頂点Aから辺BCに垂線をおろし交点をDとする。
△ADCは直角二等辺三角形になるので、
AD=DCで、AD:AC=1:2である。
よって AD:6=1:2
AD=DC=32
△ABDは60°、30°、90°の直角三角形なので
AD:BD=1:3
よって32:BD=1:3
BD=36
すると高さが32で、
底辺が36+32である。
よって面積は 
32×(36+32)÷2 =93+9
6cm 6cm 30° 60° 45° 45° 3√2cm 3√2cm 3√6cm A B C D

△ABCの面積を求めよ。 A B C 6cm 15° 15°

辺CAの延長線上に頂点Bから垂線をおろし
交点をDとする。
すると△ABDは30°、60°、90°の直角三角形になり、
AB:BD=2:1となる。
AB=AC=6cmなのでBD=3cm
底辺AC=6cm, 高さBD=3cm
よって面積は 6×3÷2=9
A B C 6cm 15° 15° 3cm 60° 30° D

図の△ABCについて答えよ。
(1) 辺ABの長さを求めよ。
(2)△ABCの面積を求めよ。
2cm 75° 75° A B C

(1)
辺AC上に点Dをとり、∠CBD=30°となるようにする。
すると△BCDは二等辺三角形になるのでBD=BC=2cmとなる。
さらに点Dから辺ABに垂線をおろし交点をEとする。
すると△EBDは直角二等辺三角形になり、
△AEDは30°60°90°の直角三角形となる。
BD:EB=2:1なので 2:EB=2:1
EB=2
ED:AE=1:3なので
2:AE=1:3
AE=6
よってAB=2+6
2cm A B C D E 30° 30° 45° 45° 75° 75° 60° 2cm √2cm √2cm √6cm
(2)
点Cから辺ABに垂線をおろし交点をPとする。
△ACPは30°60°90°の直角三角形になるので
AC:CP=2:1
(1)よりAC=AB=2+6
よってCP=2+62
底辺がABで高さがCPなので
面積は(2+62+62÷2 =2+3
2cm A B C P √2+√6 √2+√6 √2+√6 2

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