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>>例題と解説



扇形の弧、面積の出し方。


扇形とは・・・ 2つの半径と弧で囲まれた図形→つまり円の一部です。
そこでまず、円と扇形の関係を考えてみましょう。
図1図2
en.gif(2232 byte) ougi.gif(1102 byte)
図1は半径12cmの円を三等分した図形です。三等分したので、全く同じ扇形が3つできています。
図2はそのうちの1つを取り出したものです。
ここで図1の円と、図2の扇形の面積を比べてみましょう。
図2の扇形が3つ集まって図1の円ができているので図2の扇形の面積は図1の円の面積の3分の1だと分かります。
次に弧の長さについても比べてみましょう。同じように図2の扇形の弧の長さは図1の円の3分の1になります。
最後に中心角ですが、これも同じように3分の1となっています。
つまり、図2の扇形は面積、弧、中心角すべて円の3分の1になります。
扇形の面積
図1の円の面積を出すと 12×12×π=144π
図2の扇形はこれの3分の1なので 144π×3bun1.gif(191 byte)=48π
弧の長さ
図1の円の円周を出すと 12×2×π=24π
図2の扇形はこれの3分の1なので 24π×3bun1.gif(191 byte)=8π
中心角
円の中心角は360°
図2の扇形はこれの3分の1なので 360×3bun1.gif(191 byte)=120

このように扇形が円の3分の1とわかればその分数を使って面積・弧・中心角を出すことができます。
大事なことは 扇形が、円の「何分の何」なのか ということです。
  
例題1
中心角40°、半径6cmの扇形の面積と弧の長さを求めよ。

半径6cmの円と扇形を比べて見ましょう
扇形
中心角36040
面積36π
円周・弧12π
この例題では中心角が分かっているのでそれを比べます。40÷360=9bun1.gif(201 byte)となるので、この扇形は円の9分の1であることが分かります。
よって面積は36π×9bun1.gif(201 byte)=4π
弧の長さは12π×9bun1.gif(201 byte)=3bun4.gif(202 byte)πとなります。

例題1では中心角をくらべて9分の1とわかりましたが、中心角が分からずに弧の長さだけが分かる場合は
円周と弧の長さを比べて「何分の何」になるのかを出して計算しましょう。
   
例題2
半径10cm, 弧の長さ6πcmの扇形の面積を求めよ。

例題1と同じように表にまとめてみます。
扇形
中心角360
面積100π
円周・弧20π

円周と弧を比べると6π÷20π=10bun3.gif(233 byte)となるので、この扇形は円の10bun3.gif(233 byte)であることがわかります。
よって面積は100π×10bun3.gif(233 byte)=30πとなります。

次の例題は半径が分からない扇形の半径を出す問題です。少し難しいですが例題2がしっかり理解できていれば大丈夫です。
 
例題3
弧の長さ4πcm, 面積24πcm2の扇形の半径を求めよ。

ここで例題2で面積を出した式を復習してみます。
100π× = 30π
20π
↑100πは円の面積、6πは扇形の弧の長さ、20πは円周、30πは扇形の面積です。
例題3では半径が分からないので半径をχとすると
円の面積はπχ2、扇形の弧の長さ4π, 円周が2πχ, 扇形の面積が24πなのでこれをそのまま当てはめてみましょう。
πχ2× = 24π
2πχ
この方程式を解くとχ=12となります。


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