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式の計算の利用

1.  x2+2x+a を因数分解すると、(x+3)(x+m) になるという。mとaの値を求めなさい

2. 次のことがらを証明しなさい。

(1)図のように1辺の長さがa,bの大小2つの正方形が並べてある。この2つの正方形の面積の差はc,dの積に等しい。

(2)2つの連続した奇数の積に1をたすと4の倍数になる。

(3)2つの連続する奇数の平方の差は8の倍数になる。

(4)3つの連続した偶数では最も大きい数の平方から残りの2つの数の積をひいた差は4の倍数になる。

1.

m=-1,  a=-3

2.

(1) この 2 つの正方形の面積の差は
  a2-b2…①
  c=a+b,  d=a-b なので
  c と d の積は
c×d = (a+b)(a−b) = a2−b2 …②
  ①、②よりa2-b2=c×d
  よってこの 2 つの正方形の面積の差は c, d の積に等しい

(2) mを整数として2つの連続した奇数を 2m-1, 2m+1 とする。
  それらの積に 1 をたすと、
(2m-1)(2m+1)+1 = 4m2−1+1 = 4m2
  m は整数なので m2も整数。
  よって4m2は4の倍数となる。

(3) mを整数として2つの連続した奇数を2m-1, 2m+1とする。
  平方の差は
  (2m+1)2-(2m-1)2=4m2+4m+1-(4m2-4m+1)=8m
  m は整数なので 8m は 8 の倍数となる。

(4) mを整数として、3つの連続した偶数を2m, 2m+2, 2m+4とする。
  もっとも大きい数の平方から残りの2数の積を引くと
(2m+4)2−2m(2m+2)= 4m2+16m+16−4m2−4m =12m+16 =4(3m+4)
  mは整数なので3m+4 も整数となり4(3m+4) は4の倍数となる。

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