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因数分解1

因数分解とは展開の逆をすることです。

展開   (ア) a( x + y) = ax + ay
因数分解 (イ) ax + ay = a(x + y)

展開の基本は分配法則です。 a(x+y)を展開するときはaをxとyの両方にかけてax+ayとします。ax + ay を因数分解するときには各項にaがかけられていることに着目します。 「aが共通」ということは(ア)の展開のように「aがカッコの外にあって分配法則で各項にかけた」ということです。

カッコの外からaを分配法則して、ax + ayになるように□と△を決めるのが因数分解です。
このように因数分解は展開の逆なので、常に展開を頭に思い浮かべて考えましょう。

例   2x2-18x を因数分解する
2x2 → 2x×x,  -18x → 2x×(-9)のように 両方の項にそれぞれ2xがかけられている。そこから、2x(△+□)とすると △にx, □に-9が当てはまる。
よって 2x2-18x=2x(x-9)となる

このような因数分解を「共通因数をくくりだす」といいます。

【例題】 因数分解しなさい。
① 3a+3c ② ax+5a ③ 2y+14



これからが本格的な因数分解です

展開   (ウ) (x+a)(x+b)= x2+ax+bx+ab
因数分解 (エ) x2+ax+bx+ab= (x+a)(x+b)

(ウ)の展開は下のようにxとaをそれぞれ後ろのカッコの中に分配法則でかけていきます。

(エ)の因数分解を考えるときはまず x2 + ax + bx +abのx2に着目します
x2があるということから展開する前の形が (x + □)(x + △) ということがわかります。
次にabに着目します。すると□と△の積がabになることがわかります。
そこで(x+□)(x+△)で□にa, △にbを入れると(x+a)(x+b)となります。

aとbの代わりに数字の入った因数分解を考えます。

展開   (オ) (x+3)(x+5)= x2+8x+15
因数分解 (カ) x2+8x+15= (x+3)(x+5)

(オ)の展開では3×5=15、3x+5x=8xとなります。
(カ)は展開の逆なので、積が15,和が8となる2数を探して因数分解とします。2数を探すときにまず積から考えます。正の数で積が15になるの組み合わせは1×15, 3×5です。このうち和が8になるのは3と5です。

例  x2+10x+24 を因数分解する
  x2+10x+24 = (x+□)(x+△)
とすると□と△にはかけて24、たして10になる数が入る。 かけて24になるのは1×24, 2×12, 3×8, 4×6 このうちたして10になるのは4+6 よって x2+10x+24 = (x+4)(x+6) となる

【例題】 因数分解しなさい
① x2+5x+6 ② x2+8x+12 ③ x2+4x+3

因数分解したときは必ず答を展開して確かめる習慣をつけましょう。因数分解は展開の逆なので展開がしっかりできていないと因数分解はうまくできません。
公式に当てはめる方法もありますが基本的な考えができていないうちは公式に頼らないことが上達のコツです。

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