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円周角 補助線を引く問題

円周角の定理
1つの弧に対する円周角の大きさは一定であり、
その弧に対する中心角の半分である。

2つの半径OA, OBと弦ABによって
できる三角形は必ず二等辺三角形になる。
A B O

中心Oに向かって補助線をひき、二等辺三角形や中心角をつくる。

A,B,C,Dが円周上の点のとき、∠xの値を求めよ。
36° 32° x A B C O O A B C D 58° x A B C D O 30° 130° x

①  32° 36° AOに補助線を引く。
すると二等辺三角形の△AOC,△AOBができる。
二等辺三角形なので底角が等しい。
すると∠BAC=68°となる。
xは∠BACの中心角なので∠x=68°×2=136°

116° 224°   DO, BOに補助線を引く。
∠BODはBCDに対する中心角で、同じ弧に対する
円周角は∠BAD=58°なので58°×2=116°
360°-116°=244°がBADに対する中心角。
これと同じ弧に対する円周角が∠x=244°÷2=122°

AOに補助線を引く
△AODはAO=DOの二等辺三角形なので
∠ODA=∠OAD=30°
△AODの残りの角180°-30°-30°=120°
するとCDAに対する中心角が120°+130°=250°となる。
これと等しいCDAに対する円周角が∠xなので
∠x=250÷2=125°
30° 120°

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