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1・2年の復習Lv4_3 6③解説

図のように AB=4cm, BC=12cm, AD=10cm、 ∠ABC=∠DEF=90°の三角柱 ABC-DEF がある。MはACの中点、NはBCの中点で、MN=2cmである。 このとき A,B,N,M,D,Eを頂点とする立体の体積を求めよ。ABCDEFMN

ABCDEFMN106442 立体ABNMDEをB,D,Nを通る平面で切断する。
すると台形MNBAを底面とする四角錐と、
三角錐DBENの2つの立体に分かれる。

ABDMN24610 四角錐DABNMについて
底面の台形ABNMの面積を求める。
 上底MN=2cm, 下底AB=4cm, 高さBN=6cmより
台形の面積= (2+4)×6÷2=18
四角錐の高さ
辺ADは面ABCと垂直に交わるのでAD=10cmが
四角錐の高さとなる。
四角錐の体積 = 18×10÷3 = 60cm3


BDEN6104 三角錐DBENについて
辺DEが面BEFCと垂直に交わるので
△BENを底面として、高さDE=4cmである。
(△BDEを底面,高さBN=6cmでもよい。)
△BENの面積=6×10÷2=30
三角錐DBENの体積 = 30×4÷3 =40cm3


よって立体ABNMDEの体積 = 60+40=100cm3

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