LasstUpdate 2019/12/03
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円と接線 3解説

図で円Oが△ABCの各辺に接している。円Oの半径が4cmのとき△ABCの面積を求めよ。
ABC13cm14cm15cmO

各頂点から点Oに線を引くと、△ABCは、△AOB,△BOC,△AOCの3つに分割される。 ABC13cm14cm15cmO
円Oの半径は4cmで、
接点を通る半径は接線に垂直なので、
△AOB,△BOC,△AOCの半径はすべて4cmである。
よって
△AOBの面積 13×4÷2=26
△BOCの面積 15×4÷2=30
△AOCの面積 14×4÷2=28
すると△ABCの面積 26+30+28=84
ABC13cm14cm15cmO

角度1 ⑨解説

1. 図でm//nのときそれぞれのxの値を求めよ。
25° 140° 30° x

三角形の1つの外角はそれと隣り合わない2つの内角の和に等しい
a b x ∠x=∠a+∠bである。

BDを延長してACとの交点をEとする。
三角形の外角はそれと隣り合わない2つの内角の和に等しいので
△ABEで、 ∠BEC=∠A+∠B = x+25°
同じく△EDCで、∠BDC=∠DEC+∠C
よって 140 = 25+x +30
x= 140-25-30 = 85
25°140°30°xABCDE25°+x

円と接線 1③解説

1. 各図で、直線l,mはそれぞれ点P,Qで円Oに接している。xの値を求めよ。
OPQ56°xlm

接線は接点を通る半径と垂直に交わるので
∠APO=∠PQO=90°
四角形の内角の和は360°なので
四角形APOQで 56°+90°+90°+∠POQ = 360°
∠POQ = 124°
∠POQは弧PQに対する中心角で、
∠PBQは弧PQに対する円周角である。
等しい弧に対する円周角は中心角の12なので
∠PBQ = 124÷2=62°
OPQ56°xABlm

円周角1 ⑫解説

xの値を求めよ。ただし、点Oは円の中心である。
O20°30°x

ODに補助線を引く
∠CODは弧CDに対する中心角で、
∠CBDは弧CDに対する円周角である。
等しい弧に対する中心角は円周角の2倍なので
∠COD=40°
∠DOEは弧DEに対する中心角で
∠DAEは弧DEに対する円周角である。
等しい弧に対する中心角は円周角の2倍なので
∠DOE=60°
よって x =40°+60°=100°
O20°30°xABCDE

合同の証明2 1解説

1. 右の図でBDは∠ADCの二等分線で、
AD=BD、∠CAD=∠CBDである。
 このとき△AED≡△BCDとなることを証明しなさい。
ABCDE

着目する三角形は△AED(青)と△BCD(オレンジ)
図に仮定を書き込む。
BDが∠ADCの二等分線なので
∠ADEと∠BDCは等しい(黒点)
AD=BD(赤線)
∠CAD=∠CBD(緑線)
△AEDと△BCDを抜き出して並べる(図2)
ABCDE図1
ABCDDE図2

すると図を見てわかる通り1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しくなっているので、合同が証明できた。

2乗に比例する関数 総合問題2 2③解説

2. A,Bの座標が次のそれぞれの場合において、y=ax2のグラフが線分AB(両端を含む)と交わるようなaの値の範囲を求めよ。
③ A(-3, 2), B(1, 4)

放物線はaの値が小さいほど
開き方が大きくなる。
図の放物線ではk,l,m,nの順に
aの値が大きい。
図の放物線lはがA(-3,2)を通っているので
2=9a
a= 29
図の放物線kのように、
aの値が29より小さくなると、線分ABと交わらない。
逆にaが29より大きいmやnは線分ABと交わっている。
線分ABがy軸と交わっているため、
aの値をどれだけ大きくしても放物線は線分ABと交わる。
よって線分ABと交わるようなaの範囲は 29≦a である。
ABlmnk

円周角2③ 解説

1. それぞれのxの値を求めよ。
x52°24°

BEに補助線を引く。
∠AFBと∠AEBはともに弧ABに対する円周角なので等しくなる。
∠AEB=24°
すると∠BEC=52-24=28
∠BECと∠BDCはともの弧BCに対する円周角なので等しくなる。
よって x=28
x52°24°ABCDEF

相似の証明2 1解説

1.
∠ABC=90°の直角三角形の頂点A, Cから直線mにそれぞれ垂線を
おろし、交点をD, Eとする。このとき△ADB∽△BECを証明しなさい。
ABCDEm

ABCDEm 点D,B,Eは直線m上の点なので
∠ABD(黄色)、∠ABC(直角)、∠CBE(緑色)の3つの角の和が直線になり180°である。
∠ABD+∠ABC+∠CBE=180°
このうち∠ABC=90°なので代入すると
∠ABD+90°+∠CBE=180°
∠ABD(黄色)+∠CBE(緑色) = 90°…①

次に△ADBで内角の和を考える。
△ADBの内角は ∠ABD(黄色)、∠ADB(直角)、∠DAB(赤色)の3つである。
三角形の内角の和は180°なので
∠ABD+∠ADB+∠DAB=180°
∠ADB=90°とわかっているので代入すると
∠ABD+90°+∠DAB=180°
∠ABD(黄色)+∠DAB(赤色)=90°…②

①と②の式をくらべると
黄色+緑色=90°
黄色+赤色=90° となる。
つまり、緑色の∠CBEと赤色の∠DABの大きさが等しいとわかる。
∠CBE = ∠DAB…③

△ADBと△BECでは ∠ADBと∠BECがともに直角だと仮定からわかるので
∠ADB=∠BEC=90°…④
③、④の式から「2組の角がそれぞれ等しい」という相似条件が成り立つ。

2乗に比例する関数 変域1 2(1)解説

2(1)
関数y=4x2で、xの変域が1≦x≦sのときのyの変域がt≦y≦36だった。s,tの値をそれぞれ求めよ。

y=4x2のグラフを 1≦x≦sの範囲で描く。

すると xの最小値のときにyが最小値になり、
xの最大値のときyが最大値になることがわかる。
よって x=1, y=tを y=4x2に代入すると
t=4
x=s, y=36をy=4x2に代入すると
36=4s2
s2 = 9
s=±3
1<sよりs=3
Oxy

2乗に比例する関数 総合問題4 5解説

5.
図1のような台形ABCDがある。点Pは頂点Dを出発して
毎秒2cmでD→A→B→Cと進み、Cで止まる。点QはPと同時
に頂点Aを出発し、 毎秒1cmでA→B→Cと進む。出発から
x秒後の点D, P, Qを頂点とする三角形の面積をycm2とする。
図2はxとyの関係をグラフにしたものである。
8cm14cmacmPQDABC図1
(1)aの値を求めよ。

(2)次のそれぞれの変域のときのyをxの式で表わせ。
① 0≦x≦4

② 4≦x≦8

③ 8≦x≦15

④ 15≦x≦22

xyO481522図2
(3)点A, P, Qを頂点とする三角形の面積が8cm2となるのは出発から何秒後か。すべて求めよ。

(1)
点Pは毎秒2cmで 8cm+acm+14cmを進むので
全体でかかる時間は 11 + a2
点Qは毎秒1cmでacm+14cmを進むので
全体でかかる時間は 14 + a 秒
a > 0なので QのほうがあとにCに到着する
よって 14+a =22
a=8

(2)
0≦x≦4での△DPQは底辺がPD=2x, 高さがAQ=xなので
面積 y= 2x×x÷2 =x2
8cm14cm8cmPQDABCxcm2xcm
出発から4秒でPがAに到着するので
4≦x≦8ではP,Qともに辺AB上にある。
よって△DPQは
底辺がPQ=x-(2x-8)=-x+8,高さがAD=8なので
面積 y=(-x+8)×8÷2 =-4x+32
8cm14cm8cmDABCPQ
出発から8秒でP,Q同時に点Bに到着するので、
8≦x≦15ではP,Qともに辺BC上にあり、Pのほうが先を進む。
△DQPは、高さがAB=8
底辺はQP=2x-(x+8)=x-8
よって面積 y=(x-8)×8÷2 = 4x-32
8cm14cm8cmDABCPQ
出発から15秒で点PがCに到着するので
15≦x≦22ではPがCと一致していて、
QだけがBC上を動く。
よって△DQPは高さがAB=8、
底辺が QP=22-x
よって面積 y=(22-x)×8÷2=88-4x
8cm14cm8cmDABP(C)Q

円周と面積 3⑤解説

3. 次の図の影をつけた部分の周の長さと面積を求めよ。
10cm 10cm 2cm 2cm

図形は3つの半円が組み合わさってできている。
最大は半径6cm, 次が半径5cm, 最小が半径1cmである。
10cm10cm2cm2cm
面積を求める。
面積は半径6の半円と半径1の半円の和から半径5の半円の面積を引く
12×6×6×π+12×1×1×π-12×5×5×π=18π+12π-252π=6π

周の長さを求める
図の曲線部分の和が周の長さなので
12×12π+12×10π+12×2π=12π

2次方程式応用(図形の問題) (5)解説

正方形の紙の4すみから1辺4cmの正方形を切り取り、直方体の容器を作る。直方体の容積が100cm3のとき、もとの正方形の紙の1辺の長さを求めよ。

もとの正方形の紙の1辺をxcmとする。
4x4x-8
組み立てて直方体の容器にすると
底面は1辺 (x-8)cmの正方形で
高さが4cmの直方体になる。
x-8x-84
個の容器の容積は (x-8)×(x-8)×4
これが100 cm3なので
4(x-8)2=100
4(x2-16x+64)=100
x2-16x+64=25
x2-16x+39=0
(x-3)(x-13)=0
x = 13 , 3
x > 8 より x=13

比例式 2 解説

2. 次の比例式でxの値を求めなさい。
(1)2:3=x:12(2) 10:x = 4:18(3)x:7=5:14 (4) 5:9=20:x(5)2:5=8:(x-2)(6) (x+5):9=4:3(7)x:(x-6) = 4:3(8) x:3=(x+2):5

比例式は 中と中、外と外の積を方程式にする。
a:b = m:n なら an = bm


2:3=x:12
24=3x
-3x=-24 両辺を-3で割る
x=8

10:x=4:18
180=4x
-4x=-180 両辺を-4で割る
x=45

x:7=5:14
14x=35 両辺を14で割る
x=52

5:9=20:x
5x=180 両辺を5で割る
x=36

2:5=8:(x-2)
2x-4=40 移項して同類項をまとめる
2x=4+40
2x=44 両辺を2で割る
x=22

(x+5):9=4:3
3x+15=36 移項して同類項をまとめる
3x=-15+36
3x=21 両辺を3で割る
x=7

x:(x-6)=4:3
3x=4x-24 移項して同類項をまとめる
3x-4x=-24
-x=-24 両辺を-1で割る
x=24

x:3=(x+2):5
5x=3x+6 移項して同類項をまとめる
5x-3x=6
2x=6 両辺を2で割る
x=3

文字式の表し方 3④解説

3次の式を×、÷の記号を使った計算に直しなさい。
a+2xy

割り算に直す前にかけ算を考えてみる。
その後、割り算と逆数のかけ算が同じであることを利用して割り算に直す

a+2xy=(a+2)×1xy

ここで1xy  だけ考えてみると
1xy=1x×1y
すると
(a+2)×1xy
=(a+2)×1x×1y
=(a+2)÷x÷y

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