LasstUpdate 2019/08/21
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1次関数総合問題Lv.1 4③解説

4. 次の1次関数のグラフをかけ。
③ y= 54x+ 34

この問題のように切片が分数のグラフは
(x,y)の組がともに整数になる点を見つけてそこを起点にグラフをかく。

y= 54x+ 34 にx=1を代入すると
y=54 + 34 = 84 = 2
よって点(1,2)を通ることがわかる。
傾きが54なので
xが4増加したときにyが5増加する。
つまり (1,2)からx=1に4加えてx=5,
y=2に5を加えてy=7の点(5,7)を通る。
(1,2)(5,7)(1,2)(5,7)xyO
この2点を結ぶ直線が、y= 54x+ 34のグラフである。 xyO

連立方程式(かっこ2) ①解説

-5(3x-4)=y+1 2x-5y-10=4(x-2y)

カッコを開いて整理して解く。

-5(3x-4)=y+1…(1) 2x-5y-10=4(x-2y)…(2)

(1)のかっこを開いて整理する。
-15x+20=y+1
-15x-y = 1-20
-15x-y=-19 …(1)'
(2)のカッコを開いて整理する。
2x-5y-10 =4x-8y
2x-5y-4x+8y = 10
-2x+3y = 10…(2)'
(1)'×3 + (2)'
-45x-3y=-57 +)-2x+3y=10 -47x=-47 x=1…(3)
(3)を(2)'に代入する。
-2+3y=10
3y=12
y=4

2次方程式 計算 (いろいろな問題)類題2 1⑤解説

1. 次の2次方程式を解きなさい。
⑤ (7x+3)2=(4x-5)2

展開して解の公式でも解けますが、計算が煩雑になりすぎるので因数分解して解く。
その場合も展開せずに置き換えを使って因数分解する。

(7x+3)2=(4x-5)2
(7x+3)2-(4x-5)2=0
7x+3=A, 4x-5=Bとおく
A2-B2=0
(A+B)(A-B)=0
(7x+3+4x-5)(7x+3-4x+5)=0
(11x-2)(3x+8)=0
x = 112, -83

連立方程式 総合問題1 4(3)解説

4.連立方程式をたてて求めよ。
(3)A君の家から学校へ行く途中に公園がある。A君が家から公園まで毎分80m、公園から学校まで毎分60mで歩くと16分かかる。 妹が家から公園まで毎分60m,公園から学校まで毎分40mで歩くと23分かかる。家から公園までと公園から学校までの道のりを求めよ。

家から公園までの道のりをxm, 公園から学校までの道のりをymとする。
A君家〜公園公園〜学校速さ(m/分)8060時間(時間)x80y60←合計16分道のり(m)xy 家〜公園公園〜学校速さ(m/分)6040時間(時間)x60y40←合計23分道のり(m)xy
A君はxmを毎分80mとymを毎分60mで進んで16分かかったので
x80 + y60 =16…①
妹はxmを毎分60mとymを毎分40mで進んで23分かかったので
x60 + y40 =23…②

①に240をかけて分母をはらう
3x+4y=3840…①'
②に120をかけて分母をはらう。
2x+3y=2760…②'
①'×2-②'×3
6x+8y=7680 -)6x+9y=8280 -y=-600 y=600…③
③を②'に代入
2x+1800=2760
2x= 960
x=480

文字式と数量1 4(2)解説

4. 次の数量を文字式で表わせ
(2)5で割ると、商がxであまりがyとなる整数

文字でわかりにくいときはまずは数字で考えてみる。
5で割って、あまりがなく商が6になる数は 5×6 = 30である。
この30に1を足すと 5で割ったときに1余る。
つまり、5で割って、商が6で、あまりが1になる数は 5×6+1 = 31である。
この式の商6をxに変えて、あまり1をyに変えると
6 + 1 → 5x+y
と表せる。

連立文章題(整数問題1) (5)解説

1.連立方程式をたてて求めよ。
(5) 2つの整数がある。2数の和を4で割ると割り切れて、商が6になる。2数の差を8倍すると16になる。この2つの整数を求めよ。

2数のうち大きい方をx, 小さい方をyとする。
2数の和を4で割ると割り切れて、商が6になるので、
(x+y)÷4 = 6 なので x+y = 24…①
2数の差を8倍すると16になるので、
8(x-y)=16…②
①+②÷8
x+y=24 +)x-y=2 2x=26 x=13…③
③を①に代入
13+y=24
y=11

連立文章題(整数問題2) (3)解説

連立方程式をたてて求めよ。
(3) 2けたの自然数がある。一の位の数は十の位の数の2倍より1大きく、一の位の数と十の位の数を入れ替えてできる数はもとの数より36大きい。この2けたの自然数を求めよ。

十の位の数をx, 一の位の数をyとすると2けたの自然数は10x+yと表せる。
一の位の数yは十の位の数xの2倍より1大きいので y=2x+1…①
また、もとの数の一の位の数と十の位の数を入れ替えて出来る数は 10y+xである。
これがもとの数より36大きくなるので 10y+x = 10x+y+36…②

②を整理すると
-9x+9y=36
-x+y=4…②'
②'に①を代入すると
-x+2x+1=4
x = 3…③
③を①に代入すると
y=6+1=7
10x+y = 10×3+7=37
よって求める2けたの自然数は37

文字式と数量1 3(2)解説

3. 次の数量を文字式で表わせ
(2)4教科の平均点がx点で、最後の1教科の点数が82点のときの5教科の平均点

平均点 = 合計点
合計点 = 平均点×数

4教科の合計点は 4x点
最後の1教科が82点なので 5教科の合計点は (4x+82)点
よって5教科の平均点は (4x+82)÷5 =(4x+82)5

平方根のおよその値 2⑤解説

2. 3=1.73, 30=5.48 のとき次の値を求めよ。
⑤ 65


分母を有理化してから代入する
65 = 305 = 5.485 =1.096

連立方程式(A=B=C)4 ⑤ 解説

次の連立方程式を解きなさい。
13x+12y=2x+49y-12=32x+54y-113

A=B=Cの形の連立方程式は
{ A = B A = C 、または { A = B B = C 、または { B = C A = C の形にして計算する
計算しやすい組み合わせにするとよい。


13x+12y = 2x+49y-12 …(1)
2x+49y-12 = 32x+54y-113 …(2)
(1)の両辺に18をかけて整理すると
6x+9y = 36x+8y-216
6x-36x +9y-8y =-216
-30x +y = -216…(1)'
(2)の両辺に36をかけて整理すると
72x+16y-432=54x+45y-132
72x-54x+16y-45y = -132+432
18x-29y = 300…(2)'
(1)'×3+(2)'×5
-90x+3y=-648 +)+90x-145y=1500 -142y=+852 y=-6…(3)
(3)を(1)'に代入する
-30x-6 = -216
-30x =-210
x = 7

平方根の計算5 2①解説

2.次の数の大小を不等号を使って表しなさい。
5 4, 0.4, 0.6

ルートの大小 
a, bがともに正の数のとき
a < b なら a < b

それぞれの数をすべてルートの中にいれると
5 4 = 516,  0.4, 0.6 = 0.36
516 = 0.3125なので
ルートの中を小さい順に並べると 516, 0.36, 0.4となる。
つまり5 4 < 0.6 < 0.4

1年復習1 5 解説

5. 図は底面が台形の四角柱である。ただしAD=3cm, BC=5cm, CD=4cm, CG=6cm, ∠ADC=∠DCB=90°である。
(1) この四角柱の体積を求めよ。
(2) 辺ABとねじれの位置にある
  辺をすべて求めよ。
(3) 図2で∠BGHは何度か。
A B C D E F G H 図1 A B C D E F G H 図2

(1) 底辺の台形は 上底AD=3cm, 下底BC=5cm、高さDC=4cmなので
面積 = (3+5)×4÷2=16
四角中の高さCG=6cmなので
体積 = 16×6=96
(2) ねじれは 同一平面上にないので、同一平面上にある辺を除いていく。
図の赤で示した辺がABと同一平面なので、残った辺CG, DH, EH, HG, FGがねじれの位置である。
ABCDEFGH図1
(3) 平面Pと直線lが交わっていて、その交点をOとする。

・点Oを通る平面P上の直線m,nと直線lが垂直なら、
直線lと平面Pは垂直である。

・平面Pと直線lが垂直なら、
交点Oを通る平面P上の全ての直線と直線lは垂直になる。
l m n O P

四角柱なので∠CGH=90°、
また∠DCB=90°なので∠HGF=90°である。
すると面BFGCと直線HGが垂直となる。
よって面BFGC上にある直線BGと直線HGは垂直である。
つまり∠BGH=90°
A B C D E F G H 図2

方程式の文章題(割合・平均) (5) 解説

方程式をたてて答えなさい。
(5)36人のクラスがある。女子の平均点が79点で、男子の平均点は70点でした。クラスの平均点が75点でした。 男子の人数と女子の人数を求めなさい。

平均 = 合計点人数 より
合計点 = 平均×人数

男子の人数をx人とすると、クラス全体で36人なので女子は (36-x)人である。
合計点 = 平均×人数なので
男子の合計点は70x点, 女子の合計は79(36-x)点、クラス全体では75×36=2700
男子女子全体平均点707975人数x36-x36合計点70x79(36-x)75×36
男子の合計点+ 女子の合計点 = クラス全体の合計点なので
70x + 79(36-x) = 2700
70x + 2844 -79x = 2700
-9x = 2700-2844
-9x = -144
x = 16
よって男子16人、女子20人

中学数学の要点をわかりやすく説明

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折り返しの問題 練習の解説
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3年問題
円周角5 円周角6
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3年問題
円周角4
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解説
3年相似と線分比1 2(2)
2年 等積変形の5 式による説明1 (5)

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