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LasstUpdate 2021/05/05

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2次方程式応用4(割合) (4)

(4)
あ ある銀行に預金すると1年でx%の利息がつく。そのままにしておくと次の1年後には利息も含めたすべての預金に対して x%の利息がつく。この銀行に10000円預けたら2年後に10404円になっていた。x の値を求めよ。

1年でx%の利息がつくので
10000円預けたときの1年後の利息=10000×x100=100x
よって
1年後の預金=10000+100x

2年後はこの(10000+100x)にx%の利息がつくので
2年後の利息=(10000+100x)×x100=100x+x2
よって
2年後の預金=10000+100x+100x+x2 =10000+200x+x2
これが10404円なので
10000+200x+x2=10404
これを解くと
10000+200x+x2=10404
x2+200x-404=0
(x-2)(x+202)=0
x=2, -202
x>0より x=2

特別な直角三角形_練習2 ⑤⑥

xの値を求めよ。

135° 4 4 x 5

4 14 x 150°


135°44x5ABCD AからBCの延長上に垂線をひき,
その交点をDとする。

ACD42245°45° ∠ACB=135°なので,∠ACD=45°となり,
△ACDは直角二等辺三角形になる。
AC=4, CD:AD:AC=1:1:2より
CD=AD=22となる。


135°44x5ABCD22 直角三角形ABDでAB=45, AD=22より
(45)2 = (22)2 + BD2
BD2 = 80-8
BD2=72
BD=±62
BD>0より BD=62
BD= x+22に代入すると
62= x+22
x=42



414x150°ABCD AからBCの延長上に垂線をひき,
その交点をDとする。

ACD30°60°4223 ∠ACB=150°なので,∠ACD=30°となり,
△ACDは各角が30°,60°,90°の直角三角形になる。
AC=4, AC:AD:CD=2:1:3より
AD=2, CD=23となる。


414x150°ABCD223 直角三角形ABDでAB=14, AD=2より
142=22+BD2
BD2=196-4
BD2=192
BD=±83
BD>0よりBD=83
BD=x+23に代入すると
83=x+23
x=63

1・2年の復習Lv2_2 6②

6②
図の直線lとABは平行である。線分ABを弦として、直線lに接する円を作図せよ。ABl

求める円の中心をO,円Oと直線lの接点をPとする。
ABが円Oの弦なので,ABの垂直二等分線は円の中心Oを通る。
また,中心Oから接線lに引いた垂線の交点が接点Pになるが,
AB//lなので,ABの垂直二等分線とOからlに引いた垂線は一致する。
よって,ABの垂直二等分線と直線lの交点が接点Pとなる。
すると,A,B,Pの3点が円Oの円周上の点なので,ABの垂直二等分線と
PBの垂直二等分線の交点が点Oとなる。

【作図の手順】
① ABの垂直二等分線を引く。 ② ①と直線lとの交点をPとする。
③ PBの垂直二等分線を引く。 ④ ③と①の交点がOとなる。
⑤ Oを中心として半径OP(またはOA,OB)の円をかく。
ABlOP

連立文章題(速さ3) (2)

1周3㎞の円の道がある。A君とB君が同時に反対方向に走ると10分で出会い、同じ方向に走ると30分でA君がB君に1周差をつける。A君とB君の速さを求めなさい。

A君B君スタート地点反対方向1周3km(3000m) 反対方向に回ると,
2人の走った道のりの合計が 3000mになる。

スタート地点同じ方向1周3km(3000m) 同じ方向に回ると
2人の走った道のりの差が3000mになる。

A君の速さを毎分xm, B君の速さを毎分ymとすると
道のり = 速さ×時間 なので
反対方向に走って出会うまでの10分で
A君は 10xm, B君は 10ym の道のりを走る。
2人の道のりの合計が 3000mなので
10x+10y = 3000 …①

同じ方向に走って1周差がつく30分で
A君は 30xm, B君は 30ym の道のりを走る。
2人の道のりの差が3000mなので
30x - 30y = 3000…②

①②の式を連立方程式として解く。
①÷10 + ②÷30
x+y=300+)x-y=100 2x =400 x =200…③
③を①に代入
10×200+10y=3000
10y = 1000
y = 100
よって
A君 毎分200m, B君 毎分100m

1・2年の復習Lv3_3 6①

6 ① 印をつけた角度の合計は何度になるか求めよ。

三角形の外角は
それと隣り合わない2つの内角の和に等しい。
m n m+n


eagdcfba+ed+gc+f a+e+d+g 「三角形の外角はそれと隣り
合わない2つの内角の和に等しい」
を利用すると
a+e d+g c+f d+g+a+e a+b+c+d+e+f+g
が1つの三角形の内角の和
となるので
印のついた角の和は180°


おうぎ形(半径と弧、または面積から中心角を出す) 5

5. 次の問いに答えよ。
(1) 半径152㎝、面積10π㎝2のおうぎ形の弧の長さを求めよ。
(2) 半径5cm,面積2πcm2のおうぎ形の弧の長さを求めよ。
(3) 半径7cm,面積42πcm2のおうぎ形の弧の長さを求めよ。

おうぎ形の面積  = 半径 × 半径 × π × 中心角360°

おうぎ形の弧の長さ = 直径 × π × 中心角360°

(1)
まず,中心角を求める。
面積をもとめる式を使い,中心角をa°として方程式をつくる。
面積 = 半径 × 半径 × π × 中心角360°
この式に 面積=10π, 半径=152, 中心角=a° を代入すると
10π = 152 × 152 × π × a360
10 = 532a
a = 64
中心角が64°とわかったのでこの中心角を使って弧の長さをもとめる。
弧の長さ = 直径 × π × 中心角360° より
弧の長さ =15×π×64360
=83π (cm)


(2)
面積 = 半径 × 半径 × π × 中心角360°
この式に面積=2π, 半径=5, 中心角=a°を代入すると
2π=5×5×π×a360
2=572a
a=1445
中心角1445°として弧の長さを求める。
弧の長さ = 直径 × π × 中心角360° より
中心角360°=1445×1360=1441800なので
弧の長さ =10×π×1441800
=45π (cm)


(3)
面積 = 半径 × 半径 × π × 中心角360°
この式に面積=42π, 半径=7, 中心角=a°を代入すると
42π=7×7×π×a360
42=49360a
a=21607
中心角21607°として弧の長さを求める。
弧の長さ = 直径 × π × 中心角360°より
中心角360°=21607×1360=67なので
弧の長さ = 14 ×π× 67
=12π (cm)

二等辺三角形2 2

2. 右の図で△ABCはAB=ACの二等辺三角形で、BD=CEである。また、CDとBEの交点をFとするとき△FBCは二等辺三角形になることを証明しなさい。
A B C D E F

【二等辺三角形になるための条件】
・2辺が等しい(定義)
・2角が等しい

△FBCが二等辺三角形になることを証明するために、∠FBC=∠FCBを示す。
そのために△DBCと△ECBの合同を証明する。

仮定より DB=CE
BCが共通
ABCDEFBCDEBC

もう1つの仮定
△ABCがAB=ACの二等辺三角形なので
∠ABC=∠ACBである。
これは△DBCと△ECBでは
∠DBC=∠ECBとなる。
ABCDEFBCDEBC

すると「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」
という条件を満たすので△DBC≡△ECBである。
BCDEBC

【証明】
△DBC と△ECB において
∠DBC=∠ECB(二等辺三角形 ABC の底角)
BC=CB (共通)
BD=CE(仮定)
よって二辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△DBC≡△ECB
対応する角は等しいので∠FCB=∠FBC
よって二角が等しいので△FBC は二等辺三角形となる。

平行四辺形折り返し1 2

2. 長方形ABCDを、対角線ACを折り目として折り返す。
Dが移る点をE, ABとECの交点をFとする。
AF=CFとなることを証明せよ。
ABCDEF

対角線ACを折り目にして折り返した図である。
図の△ACDが折り返されて△ACEとなっている。
∠ACDを折り返したのが∠ACEなので,当然∠ACD=∠ACEである。
ABCDEF
また,ABとCDは平行なので,
平行線の錯角は等しいので∠CAF=∠ACD
ABCDEF
すると ∠ACE(∠ACF)と∠ACDと∠CAFは,
みんな同じ大きさの角なので
∠ACF=∠CAF より
2角が等しいので△AFCは
∠ACFと∠CAFを底角とする二等辺三角形になる。
よってAF=CFである。
ABCDEF 【証明】

△AFCにおいて
∠FAC=∠DCA(平行線の錯角)
∠FCA=∠DCA(折り返した角)
よって∠FAC=∠FCA
2角が等しいので△FACは二等辺三角形である。
よってAF=CF

円と接線 2①

2. 図で円Oが△ABCの各辺に接しており、点P,Q,Rが接点のとき、問いに答えよ。
AC=12, BP=6, PC=7,
ABの値を求めよ。
PQRABCO

仮定を図に描き込む
AC=12, BP=6, PC=7
PQRABCO1267
さらに
円外の1点から,その円に引いた接線の長さは等しいので
BR=BP=6, CP=CQ=7 となる。
PQRABCO126767
AQ=AC-CQ= 12-7 = 5で AQ=AR=5である。
PQRABCO12676755
よって AB = AR+BR = 5+6 = 11

正負の数 総合問題 標準5 2

2.次の計算をせよ。
(43)2×(185)÷(23)3×(-53)2 (-285)÷(-149)×(+56)2÷(-1516)×(-12)4 (-43)3÷(-1445)×(+32)2÷(-215)÷(-107)2 (-112)÷(+74)÷(-1835)×(-2522)÷(+23)2×(-65)2

1.累乗を計算
2.割り算を逆数のかけ算に直す
3.分子どうし,分母どうしかけ算
4.約分できるとき,約分する

(43)2×(185)÷(23)3×(-53)2
= 169×185÷827×259
= 169×185×278×259
= 16×18×27×259×5×8×9
= 60
(-285)÷(-149)×(+56)2÷(-1516)×(-12)4
= (-285)÷(-149)×(+2536)÷(-1516)×(116)
= -285×914×2536×1615×116
= -28×9×25×16×15×14×36×15×16
= -16
(-43)3÷(-1445)×(+32)2÷(-215)÷(-107)2
= (-6427)÷(-1445)×(94)÷(-215)÷(10049)
= -6427×4514×94×521×49100
= -64×45×9×5×4927×14×4×21×100
= -2
(-112)÷(+74)÷(-1835)×(-2522)÷(+23)2×(-65)2
= (-112)÷(+74)÷(-1835)×(-2522)÷(+49)×(3625)
= -112×47×3518×2522×94×3625
= -11×4×35×25×9×362×7×18×22×4×25
= -452

三角形証明(発展2) 2

2. △ABCは直角二等辺三角形である。頂点Bを通る直線にA,Cから垂線をおろしその交点をそれぞれD,Eとする。このときBD=CEとなることを証明しなさい。
A B C D E

仮定を図に描き込む。
BDとCEを1辺とする三角形は△ABDと△BCE
この2つの三角形は仮定から直角三角形で,
斜辺が等しいとわかる。
△ABD≡△BCEを証明するため残りの条件をみつける。
ABCDE
点Bの周辺に注目すると
∠ABC=90°なので
∠ABD+∠CBE=90°
式を変形すると
∠ABD = 90° - ∠CBE …①
ABCDE
△BCEに注目すると
内角の和は180°なので
∠BCE+90°+∠CBE=180°
式を変形すると
∠BCE = 90° - ∠CBE …②
ABCDE
①,②の式はともに右辺が 90°-∠CBE で等しくなっているので
∠ABD = ∠BCE となる。
この条件を加えると
直角三角形で斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので
△ABD≡△BCEが証明できる。
ABCDE 【証明】
△ABDと△BCEにおいて
∠ABD=∠ABC-∠CBE
∠ABC=90°(直角二等辺三角形)より
∠ABD=90°-∠CBE・・・①
∠BCE=180°-∠CEB-∠CBE (三角形の内角の和は180°)
∠CEB=90°(垂線)より
∠BCE=90°-∠CBE・・・②
①、②より∠ABD=∠BCE・・・③
∠ADB=∠BEC=90°(垂線)・・・④
AB=CB(直角二等辺三角形)・・・⑤
③、④、⑤より直角三角形で斜辺と一つの鋭角がそれぞれ等しいので△ABD≡△BCE
合同な三角形の対応する辺は等しいのでBD=CE

三角形証明(発展1) 3

3. 次の図で△ABCは∠ABC=90°の直角二等辺三角形である。AとCから直線mにおろした垂線の交点をそれぞれD,Eとする。AD=BEを証明せよ。
m A B C D E

AD=BEを証明するために,△ADB≡△BECを証明する
仮定を図にかきいれる
∠ABC=90°,AB=CB,∠ADB=90°,∠BEC=90°
mABCD E
点Bの部分に注目すると,
直線は180°なので
∠DBA+90°+∠EBC=180° である。
これを変形すると
∠EBC = 90° - ∠DBA …①となる。
mABCD E
△ADBの内角の和に注目すると
∠DBA+90°+∠DAB =180°である。
これを変形すると
∠DAB = 90° - ∠DBA …②となる。
mABCD E
①,②の式はともに右辺が 90° - ∠DBA で等しくなっているので
∠DAB = ∠EBC だとわかる。
この条件を図に加えてみると
直角三角形で斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しくなっているので
合同が証明できる。
mABCD E
【証明】
△ADBと△BECにおいて
∠DAB=180°-∠ADB-∠DBA (三角形の内角の和は180°)・・・①
∠EBC=180°-∠ABC-∠DBA (直線の角は180°)・・・②
∠ADB=∠ABC=90°(仮定)・・・③
①、②、③より∠DAB=∠EBC・・・④
AB=BC (仮定)・・・⑤
∠ADB=∠BEC =90°(仮定)・・・⑥
④、⑤、⑥より直角三角形で斜辺と一つの鋭角がそれぞれ等しいので△ADB≡△BEC
合同な三角形の対応する辺は等しいのでAD=BE

円周角3 ⑧

xの値を求めよ。ただし、点Oは円の中心である。

Ox102°80°

等しい弧に対する中心角は円周角の2倍である。

三角形の外角は隣り合わない2つの内角の和に等しい。
a b a+b


∠ABCはACに対する円周角で,
∠AOCはACに対する中心角なので,
∠ABC = 80°÷2= 40°

Ox102°80°ABCD40°
△DBCで外角はそれととなりあわない2つの内角の和に等しいので
∠DBC+∠DCB =∠CDA
40° + x = 102°
x = 102° -40°
 = 62°

円周角3 ⑥

xの値を求めよ。ただし、点Oは円の中心である。

106°58°xO

等しい弧に対する中心角は円周角の2倍である。

三角形の外角は隣り合わない2つの内角の和に等しい。
a b a+b


∠ABCはACに対する円周角で,
∠AOCはACに対する中心角なので,
∠ABC = 106°÷2= 53°

106°58°xOABCD53°
△ABDで外角はそれととなりあわない2つの内角の和に等しいので
∠ADC = ∠ABD+∠BAD = 58°+53°=111°

円周角3 ⑤

xの値を求めよ。ただし、点Oは円の中心である。
120°65°xO

等しい弧に対する中心角は円周角の2倍である。

三角形の外角は隣り合わない2つの内角の和に等しい。
a b a+b


120°65°xOABCD55° △ADCで外角はそれととなりあわない2つの内角の和に等しいので
∠DAC = 120-65=55
∠DACはBCに対する円周角で、
∠BOCはBCに対する中心角なので
∠BOC=55×2=110

円周角2 ⑦

42°x50°

42°x50°ABCDE CEに補助線を引く
∠ACEと∠ADEはともにAE
対する円周角なので等しい。 ∠ACE=∠ADE=42°

∠ECDと∠EBDはともにDE
対する円周角なので等しい。∠ECD=∠EBD=50°
∠ACD = ∠ACE+∠ECD = 42°+50°=92°

平行四辺形の性質の利用3 1

1.   図で四角形ABCDは平行四辺形である。また△BCEは∠CBE=90°,BC=BEの直角二等辺三角形で、△DCFは∠CDF=90°、CD=FDの直角二等辺三角形である。このとき△ABE≡△FDAを証明せよ。 A B C D E F

仮定の∠CBE=90°,BC=BE,∠CDF=90°,CD=FD,
さらに,平行四辺形の性質のうち,
△ABEと△FDAに関わるAB=CD,BC=AD
を図にかき入れる。
ACDEFB
△ABEと△FDAに着目すると
AB=FD,BE=DAとなっていることがわかる。

また,∠ABEと∠FDAについては角の引き算を考えると
∠ABE =360°-∠CBE-∠ABC
= 360°-90°-∠ABC
= 270° - ∠ABC

∠FDA =360°-∠FDC-∠CDA
= 360°-90°-∠CDA
= 270° - ∠CDA

平行四辺形の性質から
∠ABC=∠CDAとなるので
270°-∠ABC = 270°-∠CDA
よって ∠ABE = ∠FDA
ACDEF
すると2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので△ABEと△FDAの合同が証明できる。

【証明】
△ABEと△FDAにおいて
AB=CD(平行四辺形の対辺)…①
FD=CD(仮定) …②
①②よりAB=FD …③
BE=BC(仮定) …④
BC=DA(平行四辺形の対辺) …⑤
④⑤よりBE=DA …⑥
∠ABE=360-∠ABC-∠EBC …⑦
∠FDA=360-∠CDA-∠FDC …⑧
∠ABC=∠CDA(平行四辺形の対角) …⑨
∠EBC=∠FDC=90°(仮定) …⑩
⑦⑧⑨⑩より∠ABE=∠FDA… ⑪
③⑥⑪より2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので△ABE≡△FDA

三角形証明(発展3) 3

図は正方形ABCDである。頂点Bを通る直線mにAとCからそれぞれ垂線をおろし、その交点をE,Fとするとき、△ABE≡△BCFとなることを証明せよ。
A B C D E F m

仮定は
ABCDが正方形であること
AE,CFがそれぞれmと垂直であること
である。

着目する三角形は△ABEと△BCFで,
AE,CFがそれぞれmと垂直であることから,
∠AEB=∠BFC=90° となる。
また,ABCDが正方形であることから
すべての辺が等しいので AB=BC である。
ABCDEFm
さらに正方形はすべての角が90°なので
 ∠ABE+∠CBF=90° 
よって, ∠ABE = 90°-∠CBF
ABCDEFm
また,△BCFで内角の和は180°,∠BFC=90°より
 ∠BCF+∠CBF +∠BFC= 180°
 ∠BCF +∠CBF +90°= 180°
 よって, ∠BCF = 90° - ∠CBF
ABCDEFm
∠ABE, ∠BCFがともに (90° - ∠CBF) で表せるので等しいことがわかる。
したがって ∠ABE = ∠BCF
わかった条件を図示すると
ABCDEFm
直角三角形で斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので
△ABE≡△BCFとなる。

【証明】

△ABEと△BCFにおいて
∠ABC=90°(正方形の角)より
∠ABE=90°-∠FBC ・・・①
内角の和が180°で∠BFC=90°より
∠BCF=90°-∠FBC・・・②
①、②より∠ABE=∠BCF・・・③
AB=BC(正方形の辺)・・・④
∠AEB=∠BFC=90°(垂線)・・・⑤
③、④、⑤より直角三角形で斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので△ABE≡△BCF

放物線と直線の変域が一致する1 (7)(8)

(7) a>0の放物線y=ax2と 直線y=-94x+b について -2≦x≦6 でyの変域が一致する。
aとbの値をそれぞれ求めよ。

(8) a>0の放物線y=ax2と直線y=43x+bについて-3≦x≦6でyの変域が一致する。
aとbの値をそれぞれ求めよ。

(7)
a>0の放物線y=ax2のグラフを-2≦x≦6の範囲に描く。 xyO-26
グラフから x=6のとき最大値 y= 36aとなり, x=0のときに最小値 y=0となる。 xyO-2636a
直線のグラフは必ず変域(長方形)の対角線になり、 傾きが負のときは左上と右下の2点を通る。 この場合(-2, 36a)と(6,0)である。 xyO(-2, 36a)(6, 0)
y=-94x+b に(6,0)を代入すると
0=-94×6+b
b=272

y=-94x+272に(-2,36a)を代入すると
36a=-94×(-2)+272
a=12


(8)
a>0の放物線y=ax2のグラフを-3≦x≦6の範囲に描く。 xyO-36
グラフから x=6のとき最大値 y= 36aとなり, x=0のときに最小値 y=0となる。 xyO-3636a
直線のグラフは必ず変域(長方形)の対角線になり、 傾きが正のときは左下と右上の2点を通る。 この場合(-3, 0)と(6, 36a)である。 xyO(-3, 0)(6, 36a)
y=43x+b に(-3,0)を代入すると
0=43×(-3)+b
b=4

y=43x+4に(6,36a)を代入すると
36a=43×6+4
a=13

中学数学の要点をわかりやすく説明

全く初めて勉強する分野や、習ったけれど忘れてしまったような事柄でも理解できるように基本事項を説明しています。  学校で習ったけれど理解できていない場合や、理解しているつもりでも得点に結びついていないような場合でも基本事項をよく理解した上で問題に取り組むことをおすすめします。

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更新履歴

5/5
3年例題 式の展開 いろいろな計算 3年例題 式の展開 四則
4/28
3年例題 多項式と単項式の乗法除法 3年例題 式の展開 3年例題 乗法公式(x+a)(x+b)の展開 3年例題 乗法公式 2乗の展開 3年例題 乗法公式 和と差の積の展開
4/12
2年例題 縦の計算 2年例題 多項式と数の乗法除法 2年例題 分配法則と加法減法
4/7
2年例題 式の計算 多項式の加法・減法
4/5
2年例題 式の計算 同類項をまとめる
3/14
2年例題 平行線と面積
2/26
おうぎ形(半径と中心角から弧や面積を出す) おうぎ形(半径と弧、または面積から中心角を出す) おうぎ形(半径をもとめる)おうぎ形(総合)
2/8
2年例題 三角形の合同証明 応用(直線と内角の和)
2/2
1年平面図形 例題
作図 三角形の3頂点を通る円, 三角形の3辺に接する円
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1年平面図形 例題
作図 正三角形,円の中心作図 角度60°,30°,45°作図 角度75° 作図 平行線 円の接線
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例題_おうぎ形 例題_おうぎ形2 例題_おうぎ形3
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2年例題 三角形の合同 証明3 角の共通 動画
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2年例題 三角形の合同 証明2 辺の共通 動画
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2年例題 三角形の合同 証明1
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例題動画 関数と図形「正方形」
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3年例題 2次方程式の解き方(因数分解利用) 例題解説動画
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3年例題 平方根13年例題 平方根2
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3年例題 平方根の性質(自然数になる)
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3年例題 平方根 式の値
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3年例題 平方根の四則計算
3年例題 平方根のおよその値
3年例題 ルートの加法減法3(分数)
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3年例題 循環小数1
3年例題 ルートの加法減法1
3年例題 ルートの加法減法2(変形)
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3年例題 ルートの乗法除法1
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3年例題 ルートの変形1ルートの変形2
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3年例題 平方根の積と商
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3年例題 平方根の大小1 3年例題 平方根の大小2
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2年問題 関数と図形(面積を二等分する直線2)
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2年問題 平行四辺形 折り返し1 2年問題 平行四辺形 折り返し2
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例題 共通接線
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例題 三平方_座標(点と直線の距離) 例題 三平方_座標(最短距離)
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例題 三平方の定理_座標平面の三角形
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例題 三平方の定理_二等辺三角形の面積 例題 三平方の定理_台形の面積
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例題 三平方の定理_最短経路

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