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LasstUpdate 2020/09/25

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新着 解説

いろいろな計算(分数)3 1①②③途中式

1.次の計算をせよ。
x+23+3x-12+3x   5a-4a+33+2a-36    m-n2-3m-4n6+2n


  x+23+3x-12+3x
= 2(x+2)+3(3x-1)+6×3x6
= 2x+4+9x-3+18x6
= 29x+16
= 296x+16


5a-4a+33+2a-36
=6×5a-2(4a+3)+2a-36
=30a-8a-6+2a-36
=24a-96
=4a-32


m-n2-3m-4n6+2n
=3(m-n)-(3m-4n)+6×2n6
=3m-3n-3m+4n+12n6
=136n

1・2年の復習Lv4_1 6① 解説

AB=BC=CD=DE=EFのとき∠xの大きさを求めよ。
82°xABCDEF

AB=BCなので△ABCは二等辺三角形
二等辺三角形の底角は等しいので
∠BAC=∠BCA=x
△ABCで三角形の外角はそれととなり
あわない2つの内角の和に等しいので
∠CBD=x+x=2x
82°xABCDEFx2x

CD=CBなので△CDBは二等辺三角形
二等辺三角形の底角は等しいので
∠CBD=∠CDB=2x
82°ABCDEF2x2x

△CDAで三角形の外角はそれととなり
あわない2つの内角の和に等しいので
∠ECD = x+2x = 3x
82°xABCDEF2x3x

CD=DEより△DCEは二等辺三角形
二等辺三角形の底角は等しいので
∠DCE=∠DEC=3x
82°ABCDEF3x3x

△EADで三角形の外角はそれととなり
あわない2つの内角の和に等しいので
∠EDF=x+3x=4x
82°ABCDEFx3x4x

DE=EFより△DEFは二等辺三角形
二等辺三角形の底角は等しいので
∠EDF=∠EFD=4x
82°ABCDEF4x4x

△FAEで三角形の外角はそれととなり
あわない2つの内角の和に等しいので
4x+x =82°
5x=82°
x=16.4°
82°xABCDEF4x

1・2年の復習Lv4_4 6③解説

6③
図のような底面が直角三角形(∠ABC=90°)の三角柱がある。AB=6㎝、BC=8㎝、CA=10㎝、AD=14㎝である。この三角柱の辺BE上にBP=8㎝となる点Pをとり、点A,P,Fを通る平面でこの立体を2つに分けてできるそれぞれの立体の体積を求めよ。
ABCDEFP

ABCDEFP6881414668 四角錐A-BPFCについて ∠ABC=90°,∠ABE=90°より
直線ABは面BEFCと垂直である。
よって四角錐A-BPFCは底面が台形BPFCで
高さがAB=6cmである。
台形BPFCの面積= (8+14)×8÷2 = 882
四角錐A-BPFCの体積 = 88×6÷3 = 176cm3

四角錐F-ADEPについて
∠DEF=90°,∠BEF=90°より
直線FEは面ADEBと垂直である。
よって四角錐F-ADEPは底面が台形ADEPで
高さがFE=8cmである。
台形ADEPの面積 = (6+14)×6÷2 = 60cm2
四角錐F-ADEPの体積 = 60×8÷3=160cm3

平方根の応用問題(代入) 3解説

x=3+7, y=3-7のとき次のそれぞれの式の値を求めよ。
①x2-6x+9  ②x2-2xy+y2  ③1x+1y

式を整理してから代入する
x2-6x+9 = (x-3)2
= {(3+7)-3}2
= (7)2
= 7
与えられた式を因数分解
してから代入する


x2-2xy+y2 = (x-y)2
= {(3+7)-(3-7)}2
= (3+7-3+7)2
= (27)2
= 28
与えられた式を因数分解
してから代入する


1x+1y =yxy+xxy
=y+xxy
=3-7+3+7(3+7)(3-7)
=69-7
=62
=3
通分して一つの分数に
変形してから代入する


三平方の定理練習3 1③解説

③△ABCの面積が6で,AB=10,BC=4のときACの長さを求めよ。
A B C

ABCD410 頂点AからBCの延長上に垂線をおろし、交点をDとする。
ADはBCを底辺としたときの高さとなる。
△ABCの面積が6なので 4×AD÷2 = 6 より
AD=3


ABCD4103 直角三角形ADBでAB=10,AD=3なので
三平方の定理より
32+DB2=(10)2
DB2 = 10-9
よって DB=1


ABCD431 直角三角形ADCでAD=3, DC=1+4=5 なので
三平方の定理より
32+52=AC2
AC2 = 9+25
よって AC = 34

三平方の定理練習3 1②解説

1②
△ABCの面積が64で、
AB=413, BC=16のとき
 ACの長さを求めよ。 A B C

ABC41316xD AからBCに垂線をおろし,交点を Dとする。
ADはBCを底辺としたときの△ABCの高さである。
△ABCの面積は64なので
16×AD÷2 = 64
AD = 8

ABC41316xD8 △ABDは直角三角形なので,三平方の定理より
82+BD2 = (413)2 BD2 = 208-64
BD2 = 144
BD>0なので BD =12
DC = 16-12=4
△ADCは直角三角形なので,三平方の定理より
x2 = 82+42
x2 = 80
x=45

1・2年の復習Lv3_3 4解説

4
直線lはy=2x+2, mはy=-23x+26のグラフである。
点Aは直線l上にあり、点Dは直線m上にある。
また、点B,Cをx軸上にとり長方形ABCDを作る。
長方形ABCDの辺ABとADの比が3:4のとき
点Aの座標を求めよ。
ABCDlmOxy

Aのx座標をpとおく。 Aは直線l上の点なのでlの式にx=pを代入すると
y=2p+2 となる。
よってA(p, 2p+2)

Dは直線m上にあり,y座標がAのy座標と等しいので
mの式に y=2p+2を代入してx座標を求めると
2p+2=-23x+26
23x=-2p+24
x= -3p+36
よって D(-3p+36, 2p+2)

線分ABの長さはAとBのy座標の差なので
AB = 2p+2-0 = 2p+2
線分ADの長さはDとAのx座標の差なので
AD = -3p+36 - p = -4p+36
AB:AD = 3:4 より
(2p+2):(-4p+36) = 3:4
3(-4p+36) = 4(2p+2)
-12p+108 = 8p+8
-20p = -100
p = 5
2p+2 = 2×5+2 = 12 よって Aの座標 (5, 12)

1次関数総合問題Lv.2 1解説

2. 1次関数3x+4y-1=0について次の問いに答えよ。
①傾きと切片を答えよ。
②xが2増加するときのyの増加量を求めよ。
③xの変域が3≦xのときのyの変域を求めよ。

1次関数の式
y=ax+b   a…傾き, b…切片

変化の割合 = yの増加量xの増加量

1次関数では変化の割合は一定で,傾きaに等しい

 3x+4y-1=0をyについて解くと
 y=-34x+14
 よって傾き-34,切片14


 変化の割合=yの増加量xの増加量 より
 yの増加量=変化の割合×xの増加量
よって -34×2 = -32

 1次関数3x+4y-1=0グラフを3≦xの範囲で書くと次のようになる
xyO3-2
 xが最小値3のとき yは最大値-2となる。
 y≦ -2

1・2年の復習Lv3_1 6③解説

6③図は1辺の長さが9cmの立方体である。この立方体の各面の対角線の交点を頂点として作られる正八面体の体積を求めよ。 9cm

9cmABCDEFGHOPQRST見取図 正八面体を面PQRSで切断して
2つの正四角錐に分ける

立面図平面図(正面から見た図)(真上から見た図)OPTRQ(S)PQRSO(T)9cm9cm9cm 正四角錐O-PQRSの高さは 92cm である。



図を真上からみると四角形PQRSは
対角線が9cmの正方形だとわかる。
よって PQRSの面積 = 9×9÷2 = 812cm2
正四角錐O-PQRS=812×92÷3=2434cm3
正四角錐T-PQRSも同じ体積になるので
正八面体の体積=2434×2=2432cm3

1・2年の復習Lv1_5 6③解説

6③ 底面の半径4cm, 高さ6cmの円柱の表面積と体積を求めよ。

円柱の表面積 = 側面積 + 底面積×2
円柱の体積 = 底面積×高さ

半径4cm高さ6cm見取図展開図4cm6cm8πcm 表面積
展開図を描くと、側面は縦6cm, 横8πcmの長方形なので
側面積 = 6×8π = 48πcm2
底面は半径4cmの円なので
底面積 = 4×4×π =16π(cm2)
表面積 = 48π+16π×2 = 80π(cm2)

体積
底面積 = 16π(cm2)で、高さ6cmなので
体積 = 16π×6 = 96π(cm3)

いろいろな計算(分数)2 1⑦途中式

1.次の計算をせよ。
⑦ -2a-b5+-3a+2b

-2a-b5+-3a+2b
= -(2a-b)+5(-3a+2b)5
= -2a+b-15a+10b5
= -17a+11b5
= -175a+115b

2次方程式総合問題Lv.2 2(2)解説

2. 次の問いに答えよ。
(2)2つの2次方程式x2+ax+b=0…①とx2-2(a+b)x+10b=0…②はどちらも解の1つがx=-3である。 ①, ②のもう1つの解をそれぞれ求めよ。

①,②それぞれにx=-3を代入する。
①に代入すると
(-3)2+a×(-3)+b=0
これを整理して
9-3a+b=0
-3a+b=-9…③

②に代入すると
(-3)2-2(a+b)×(-3)+10b=0
これを整理して
9+6a+6b+10b=0
6a+16b=-9…④
③と④を連立方程式として解く
③×2+④
-6a+2b=-18+)6a+16b=-9 18b=-27 b=-32
b=-32 を③に代入
-3a-32 = -9
a = 52
a,bを①に代入すると
x2+52x -32=0
2x2+5x-3=0
解の公式より
x = -5±52-4×2×(-3)2×2
 = -5±74
 = -3, 12
よって①のもう一つの解は x=12

a,bを②に代入すると
x2-2(52-32)x+10×(-32)=0
x2-2x-15=0
(x+3)(x-5)=0
x= -3, 5
よって②のもう一つの解はx=5

1次関数のグラフ1 2解説

2. 次のグラフをかきなさい。
y=3x-2 y=-2x+5 y=12x+1

1次関数のグラフは直線なので通る点を2つとれば、描くことが出来る。
y=3x-2に、x=0を代入すると
y=3×0-2=-2 点(0,-2)
x=3を代入すると y=3×3-2=7 点(3,7)
点(0,-2)と(3,7)を通る直線を描けば
y=3x-2のグラフになる。
Oxy(0,-2)(3,7)
y=-2x+5に
x=0を代入すると y=-2×0+5=5 点(0, 5)
x=7を代入すると y=-2×7+5=-9 点(7, -9)
点(0, 5)と(7,-9)を通る直線が
y=-2x+5のグラフになる。
Oxy(7,-9)(0,5)
y=12x+1に
x=0を代入すると y= 12×0+1=1 点(0,1)
x=10を代入すると y=12×10+1=6 点(10,6)
(0,1)と(10,6)を通る直線が
y=12x+1のグラフになる。
Oxy(0,1)(10,6)

方程式文章題(割引・割増) (5)解説

ある商品を70個仕入れた。原価の8割の利益を見込んで定価をつけた。定価では20個売れた。 安売りで定価の4割引にして、残りをすべて売った。利益の総額は6000円だった。 この商品1個の原価を求めよ。

仕入れの金額+利益 = 売上金額
値段個数値段×個数原価x7070×x定価18102020×1810x安売り1810×6105050×108100x 原価をx円とすると
定価は原価の8割を見込んでいるので
xの8割増,つまり定価=1810x
安売りではこの定価1810xの4割引なので
安売りの値段=1810610=108100x
仕入れた個数が70個,定価で20個売れたので
安売りで売れたのは50個
仕入れの総額が70x(円)
定価での売上金額が20×1810x=36x
安売りでの売上金額が50×108100x=54x
利益が6000円だったので
仕入れの金額+利益=売上金額より
70x+6000=36x+54x
20x=6000
x =300

1・2年の復習Lv2_1 3解説

3.
女子より男子のほうが6人多いクラスがある。このクラスの平均点が65点、男子の平均点が66.5点、 女子の平均点が63点だった。クラスの女子と男子の人数をそれぞれ求めよ。

平均点=合計点人数より
合計点 = 平均点×人数

男子女子クラス人数xx-62x-6平均点66.56365合計点66.5x63(x-6)65(2x-6) 男子をx人とすると、
女子はそれより6人少ないので x-6(人)となる。
するとクラスの人数は x+(x-6)=2x-6(人)である。
合計点 = 平均点×人数 より
男子合計点 = 66.5x (点)
女子合計点 = 63(x-6) (点)
クラス合計点 = 65(2x-6) (点)


「男子の合計点+女子の合計点=クラスの合計点」
の関係で式をつくると
66.5x+63(x-6)=65(2x-6) となる。
この方程式を解くと
66.5x +63x -378 = 130x-390
0.5x = 12
x =24
男子は24人なので女子=24-6=18
よって 男子24人 女子18人

文字式の計算(分数形) 1 ⑦途中式


x-2-x-52

x-2-x-52
=2(x-2)2-x-52
=2(x-2)-(x-5)2
=2x-4-x+52
=x+12
=12x+12

円周角6 ⑦解説

xの値を求めよ。ただし、点Oは円の中心である。
70°43°xO

70°43°xOABCD ABが直径なので∠ADB=90°
△ADBで∠ADB=90°、∠BAD=70°より
90°+70°+∠ABD=180°
∠ABD = 20°
△OBCで OB=OC(半径)より
二等辺三角形なので∠OBC=∠OCB=43°
よって x=43°-20°=23°

70°43°xOABCD20°

2乗に比例する関数 総合問題2 2解説

2. A,Bの座標が次のそれぞれの場合において、y=ax2のグラフが線分AB(両端を含む)と交わるようなaの値の範囲を求めよ。
①A(2,12), B(6,2)  ②A(-4, 2), B(-5, 50)  ③ A(-3, 2), B(1, 4)

放物線はaの値が小さいほど
開き方が大きくなる。
図のように放物線が点Aを通るとき
aの値が最大になり、
点Bを通るとき最小になる。
A(2,12)をy=ax2に代入すると
12=4a
a=3
B(6,2)をy=ax2に代入すると
2=36a
a=118
よって 118≦a≦3
OABaが最大aが最小xy
図のように放物線が点Bを通るとき
aの値が最大になり、
点Aを通るとき最小になる。
A(-4,2)を代入すると
 2=16a
a=18
B(-5,50)を代入すると
50=25a
a=2よって
18≦a≦2
ABOxyaが最大aが最小
図の放物線ではk,l,m,nの順に
aの値が大きい。
図の放物線lはA(-3,2)を通っているので
2=9a
a= 29
図の放物線kのように、
aの値が29より小さくなると、線分ABと交わらない。
逆にaが29より大きいmやnは線分ABと交わっている。
線分ABがy軸と交わっているため、
aの値をどれだけ大きくしても放物線は線分ABと交わる。
よって線分ABと交わるようなaの範囲は 29≦a である。
ABlmnk

1・2年の復習Lv4_3 6③解説

図のように AB=4cm, BC=12cm, AD=10cm、 ∠ABC=∠DEF=90°の三角柱 ABC-DEF がある。MはACの中点、NはBCの中点で、MN=2cmである。 このとき A,B,N,M,D,Eを頂点とする立体の体積を求めよ。ABCDEFMN

ABCDEFMN106442 立体ABNMDEをB,D,Nを通る平面で切断する。
すると台形MNBAを底面とする四角錐と、
三角錐DBENの2つの立体に分かれる。

ABDMN24610 四角錐DABNMについて
底面の台形ABNMの面積を求める。
 上底MN=2cm, 下底AB=4cm, 高さBN=6cmより
台形の面積= (2+4)×6÷2=18
四角錐の高さ
辺ADは面ABCと垂直に交わるのでAD=10cmが
四角錐の高さとなる。
四角錐の体積 = 18×10÷3 = 60cm3


BDEN6104 三角錐DBENについて
辺DEが面BEFCと垂直に交わるので
△BENを底面として、高さDE=4cmである。
(△BDEを底面,高さBN=6cmでもよい。)
△BENの面積=6×10÷2=30
三角錐DBENの体積 = 30×4÷3 =40cm3


よって立体ABNMDEの体積 = 60+40=100cm3

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更新履歴

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例題 三平方の定理_二等辺三角形の面積 例題 三平方の定理_台形の面積
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