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LasstUpdate 2021/03/01

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おうぎ形(半径と弧、または面積から中心角を出す) 5

5. 次の問いに答えよ。
(1) 半径152㎝、面積10π㎝2のおうぎ形の弧の長さを求めよ。
(2) 半径5cm,面積2πcm2のおうぎ形の弧の長さを求めよ。
(3) 半径7cm,面積42πcm2のおうぎ形の弧の長さを求めよ。

おうぎ形の面積  = 半径 × 半径 × π × 中心角360°

おうぎ形の弧の長さ = 直径 × π × 中心角360°

(1)
まず,中心角を求める。
面積をもとめる式を使い,中心角をa°として方程式をつくる。
面積 = 半径 × 半径 × π × 中心角360°
この式に 面積=10π, 半径=152, 中心角=a° を代入すると
10π = 152 × 152 × π × a360
10 = 532a
a = 64
中心角が64°とわかったのでこの中心角を使って弧の長さをもとめる。
弧の長さ = 直径 × π × 中心角360° より
弧の長さ =15×π×64360
=83π (cm)


(2)
面積 = 半径 × 半径 × π × 中心角360°
この式に面積=2π, 半径=5, 中心角=a°を代入すると
2π=5×5×π×a360
2=572a
a=1445
中心角1445°として弧の長さを求める。
弧の長さ = 直径 × π × 中心角360° より
中心角360°=1445×1360=1441800なので
弧の長さ =10×π×1441800
=45π (cm)


(3)
面積 = 半径 × 半径 × π × 中心角360°
この式に面積=42π, 半径=7, 中心角=a°を代入すると
42π=7×7×π×a360
42=49360a
a=21607
中心角21607°として弧の長さを求める。
弧の長さ = 直径 × π × 中心角360°より
中心角360°=21607×1360=67なので
弧の長さ = 14 ×π× 67
=12π (cm)

二等辺三角形2 2

2. 右の図で△ABCはAB=ACの二等辺三角形で、BD=CEである。また、CDとBEの交点をFとするとき△FBCは二等辺三角形になることを証明しなさい。
A B C D E F

【二等辺三角形になるための条件】
・2辺が等しい(定義)
・2角が等しい

△FBCが二等辺三角形になることを証明するために、∠FBC=∠FCBを示す。
そのために△DBCと△ECBの合同を証明する。

仮定より DB=CE
BCが共通
ABCDEFBCDEBC

もう1つの仮定
△ABCがAB=ACの二等辺三角形なので
∠ABC=∠ACBである。
これは△DBCと△ECBでは
∠DBC=∠ECBとなる。
ABCDEFBCDEBC

すると「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」
という条件を満たすので△DBC≡△ECBである。
BCDEBC

【証明】
△DBC と△ECB において
∠DBC=∠ECB(二等辺三角形 ABC の底角)
BC=CB (共通)
BD=CE(仮定)
よって二辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△DBC≡△ECB
対応する角は等しいので∠FCB=∠FBC
よって二角が等しいので△FBC は二等辺三角形となる。

平行四辺形折り返し1 2

2. 長方形ABCDを、対角線ACを折り目として折り返す。
Dが移る点をE, ABとECの交点をFとする。
AF=CFとなることを証明せよ。
ABCDEF

対角線ACを折り目にして折り返した図である。
図の△ACDが折り返されて△ACEとなっている。
∠ACDを折り返したのが∠ACEなので,当然∠ACD=∠ACEである。
ABCDEF
また,ABとCDは平行なので,
平行線の錯角は等しいので∠CAF=∠ACD
ABCDEF
すると ∠ACE(∠ACF)と∠ACDと∠CAFは,
みんな同じ大きさの角なので
∠ACF=∠CAF より
2角が等しいので△AFCは
∠ACFと∠CAFを底角とする二等辺三角形になる。
よってAF=CFである。
ABCDEF 【証明】

△AFCにおいて
∠FAC=∠DCA(平行線の錯角)
∠FCA=∠DCA(折り返した角)
よって∠FAC=∠FCA
2角が等しいので△FACは二等辺三角形である。
よってAF=CF

円と接線 2①

2. 図で円Oが△ABCの各辺に接しており、点P,Q,Rが接点のとき、問いに答えよ。
AC=12, BP=6, PC=7,
ABの値を求めよ。
PQRABCO

仮定を図に描き込む
AC=12, BP=6, PC=7
PQRABCO1267
さらに
円外の1点から,その円に引いた接線の長さは等しいので
BR=BP=6, CP=CQ=7 となる。
PQRABCO126767
AQ=AC-CQ= 12-7 = 5で AQ=AR=5である。
PQRABCO12676755
よって AB = AR+BR = 5+6 = 11

正負の数 総合問題 標準5 2

2.次の計算をせよ。
(43)2×(185)÷(23)3×(-53)2 (-285)÷(-149)×(+56)2÷(-1516)×(-12)4 (-43)3÷(-1445)×(+32)2÷(-215)÷(-107)2 (-112)÷(+74)÷(-1835)×(-2522)÷(+23)2×(-65)2

1.累乗を計算
2.割り算を逆数のかけ算に直す
3.分子どうし,分母どうしかけ算
4.約分できるとき,約分する

(43)2×(185)÷(23)3×(-53)2
= 169×185÷827×259
= 169×185×278×259
= 16×18×27×259×5×8×9
= 60
(-285)÷(-149)×(+56)2÷(-1516)×(-12)4
= (-285)÷(-149)×(+2536)÷(-1516)×(116)
= -285×914×2536×1615×116
= -28×9×25×16×15×14×36×15×16
= -16
(-43)3÷(-1445)×(+32)2÷(-215)÷(-107)2
= (-6427)÷(-1445)×(94)÷(-215)÷(10049)
= -6427×4514×94×521×49100
= -64×45×9×5×4927×14×4×21×100
= -2
(-112)÷(+74)÷(-1835)×(-2522)÷(+23)2×(-65)2
= (-112)÷(+74)÷(-1835)×(-2522)÷(+49)×(3625)
= -112×47×3518×2522×94×3625
= -11×4×35×25×9×362×7×18×22×4×25
= -452

三角形証明(発展2) 2

2. △ABCは直角二等辺三角形である。頂点Bを通る直線にA,Cから垂線をおろしその交点をそれぞれD,Eとする。このときBD=CEとなることを証明しなさい。
A B C D E

仮定を図に描き込む。
BDとCEを1辺とする三角形は△ABDと△BCE
この2つの三角形は仮定から直角三角形で,
斜辺が等しいとわかる。
△ABD≡△BCEを証明するため残りの条件をみつける。
ABCDE
点Bの周辺に注目すると
∠ABC=90°なので
∠ABD+∠CBE=90°
式を変形すると
∠ABD = 90° - ∠CBE …①
ABCDE
△BCEに注目すると
内角の和は180°なので
∠BCE+90°+∠CBE=180°
式を変形すると
∠BCE = 90° - ∠CBE …②
ABCDE
①,②の式はともに右辺が 90°-∠CBE で等しくなっているので
∠ABD = ∠BCE となる。
この条件を加えると
直角三角形で斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので
△ABD≡△BCEが証明できる。
ABCDE 【証明】
△ABDと△BCEにおいて
∠ABD=∠ABC-∠CBE
∠ABC=90°(直角二等辺三角形)より
∠ABD=90°-∠CBE・・・①
∠BCE=180°-∠CEB-∠CBE (三角形の内角の和は180°)
∠CEB=90°(垂線)より
∠BCE=90°-∠CBE・・・②
①、②より∠ABD=∠BCE・・・③
∠ADB=∠BEC=90°(垂線)・・・④
AB=CB(直角二等辺三角形)・・・⑤
③、④、⑤より直角三角形で斜辺と一つの鋭角がそれぞれ等しいので△ABD≡△BCE
合同な三角形の対応する辺は等しいのでBD=CE

三角形証明(発展1) 3

3. 次の図で△ABCは∠ABC=90°の直角二等辺三角形である。AとCから直線mにおろした垂線の交点をそれぞれD,Eとする。AD=BEを証明せよ。
m A B C D E

AD=BEを証明するために,△ADB≡△BECを証明する
仮定を図にかきいれる
∠ABC=90°,AB=CB,∠ADB=90°,∠BEC=90°
mABCD E
点Bの部分に注目すると,
直線は180°なので
∠DBA+90°+∠EBC=180° である。
これを変形すると
∠EBC = 90° - ∠DBA …①となる。
mABCD E
△ADBの内角の和に注目すると
∠DBA+90°+∠DAB =180°である。
これを変形すると
∠DAB = 90° - ∠DBA …②となる。
mABCD E
①,②の式はともに右辺が 90° - ∠DBA で等しくなっているので
∠DAB = ∠EBC だとわかる。
この条件を図に加えてみると
直角三角形で斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しくなっているので
合同が証明できる。
mABCD E
【証明】
△ADBと△BECにおいて
∠DAB=180°-∠ADB-∠DBA (三角形の内角の和は180°)・・・①
∠EBC=180°-∠ABC-∠DBA (直線の角は180°)・・・②
∠ADB=∠ABC=90°(仮定)・・・③
①、②、③より∠DAB=∠EBC・・・④
AB=BC (仮定)・・・⑤
∠ADB=∠BEC =90°(仮定)・・・⑥
④、⑤、⑥より直角三角形で斜辺と一つの鋭角がそれぞれ等しいので△ADB≡△BEC
合同な三角形の対応する辺は等しいのでAD=BE

円周角3 ⑧

xの値を求めよ。ただし、点Oは円の中心である。

Ox102°80°

等しい弧に対する中心角は円周角の2倍である。

三角形の外角は隣り合わない2つの内角の和に等しい。
a b a+b


∠ABCはACに対する円周角で,
∠AOCはACに対する中心角なので,
∠ABC = 80°÷2= 40°

Ox102°80°ABCD40°
△DBCで外角はそれととなりあわない2つの内角の和に等しいので
∠DBC+∠DCB =∠CDA
40° + x = 102°
x = 102° -40°
 = 62°

円周角3 ⑥

xの値を求めよ。ただし、点Oは円の中心である。

106°58°xO

等しい弧に対する中心角は円周角の2倍である。

三角形の外角は隣り合わない2つの内角の和に等しい。
a b a+b


∠ABCはACに対する円周角で,
∠AOCはACに対する中心角なので,
∠ABC = 106°÷2= 53°

106°58°xOABCD53°
△ABDで外角はそれととなりあわない2つの内角の和に等しいので
∠ADC = ∠ABD+∠BAD = 58°+53°=111°

円周角3 ⑤

xの値を求めよ。ただし、点Oは円の中心である。
120°65°xO

等しい弧に対する中心角は円周角の2倍である。

三角形の外角は隣り合わない2つの内角の和に等しい。
a b a+b


120°65°xOABCD55° △ADCで外角はそれととなりあわない2つの内角の和に等しいので
∠DAC = 120-65=55
∠DACはBCに対する円周角で、
∠BOCはBCに対する中心角なので
∠BOC=55×2=110

円周角2 ⑦

42°x50°

42°x50°ABCDE CEに補助線を引く
∠ACEと∠ADEはともにAE
対する円周角なので等しい。 ∠ACE=∠ADE=42°

∠ECDと∠EBDはともにDE
対する円周角なので等しい。∠ECD=∠EBD=50°
∠ACD = ∠ACE+∠ECD = 42°+50°=92°

平行四辺形の性質の利用3 1

1.   図で四角形ABCDは平行四辺形である。また△BCEは∠CBE=90°,BC=BEの直角二等辺三角形で、△DCFは∠CDF=90°、CD=FDの直角二等辺三角形である。このとき△ABE≡△FDAを証明せよ。 A B C D E F

仮定の∠CBE=90°,BC=BE,∠CDF=90°,CD=FD,
さらに,平行四辺形の性質のうち,
△ABEと△FDAに関わるAB=CD,BC=AD
を図にかき入れる。
ACDEFB
△ABEと△FDAに着目すると
AB=FD,BE=DAとなっていることがわかる。

また,∠ABEと∠FDAについては角の引き算を考えると
∠ABE =360°-∠CBE-∠ABC
= 360°-90°-∠ABC
= 270° - ∠ABC

∠FDA =360°-∠FDC-∠CDA
= 360°-90°-∠CDA
= 270° - ∠CDA

平行四辺形の性質から
∠ABC=∠CDAとなるので
270°-∠ABC = 270°-∠CDA
よって ∠ABE = ∠FDA
ACDEF
すると2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので△ABEと△FDAの合同が証明できる。

【証明】
△ABEと△FDAにおいて
AB=CD(平行四辺形の対辺)…①
FD=CD(仮定) …②
①②よりAB=FD …③
BE=BC(仮定) …④
BC=DA(平行四辺形の対辺) …⑤
④⑤よりBE=DA …⑥
∠ABE=360-∠ABC-∠EBC …⑦
∠FDA=360-∠CDA-∠FDC …⑧
∠ABC=∠CDA(平行四辺形の対角) …⑨
∠EBC=∠FDC=90°(仮定) …⑩
⑦⑧⑨⑩より∠ABE=∠FDA… ⑪
③⑥⑪より2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので△ABE≡△FDA

三角形証明(発展3) 3

図は正方形ABCDである。頂点Bを通る直線mにAとCからそれぞれ垂線をおろし、その交点をE,Fとするとき、△ABE≡△BCFとなることを証明せよ。
A B C D E F m

仮定は
ABCDが正方形であること
AE,CFがそれぞれmと垂直であること
である。

着目する三角形は△ABEと△BCFで,
AE,CFがそれぞれmと垂直であることから,
∠AEB=∠BFC=90° となる。
また,ABCDが正方形であることから
すべての辺が等しいので AB=BC である。
ABCDEFm
さらに正方形はすべての角が90°なので
 ∠ABE+∠CBF=90° 
よって, ∠ABE = 90°-∠CBF
ABCDEFm
また,△BCFで内角の和は180°,∠BFC=90°より
 ∠BCF+∠CBF +∠BFC= 180°
 ∠BCF +∠CBF +90°= 180°
 よって, ∠BCF = 90° - ∠CBF
ABCDEFm
∠ABE, ∠BCFがともに (90° - ∠CBF) で表せるので等しいことがわかる。
したがって ∠ABE = ∠BCF
わかった条件を図示すると
ABCDEFm
直角三角形で斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので
△ABE≡△BCFとなる。

【証明】

△ABEと△BCFにおいて
∠ABC=90°(正方形の角)より
∠ABE=90°-∠FBC ・・・①
内角の和が180°で∠BFC=90°より
∠BCF=90°-∠FBC・・・②
①、②より∠ABE=∠BCF・・・③
AB=BC(正方形の辺)・・・④
∠AEB=∠BFC=90°(垂線)・・・⑤
③、④、⑤より直角三角形で斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので△ABE≡△BCF

放物線と直線の変域が一致する1 (7)(8)

(7) a>0の放物線y=ax2と 直線y=-94x+b について -2≦x≦6 でyの変域が一致する。
aとbの値をそれぞれ求めよ。

(8) a>0の放物線y=ax2と直線y=43x+bについて-3≦x≦6でyの変域が一致する。
aとbの値をそれぞれ求めよ。

(7)
a>0の放物線y=ax2のグラフを-2≦x≦6の範囲に描く。 xyO-26
グラフから x=6のとき最大値 y= 36aとなり, x=0のときに最小値 y=0となる。 xyO-2636a
直線のグラフは必ず変域(長方形)の対角線になり、 傾きが負のときは左上と右下の2点を通る。 この場合(-2, 36a)と(6,0)である。 xyO(-2, 36a)(6, 0)
y=-94x+b に(6,0)を代入すると
0=-94×6+b
b=272

y=-94x+272に(-2,36a)を代入すると
36a=-94×(-2)+272
a=12


(8)
a>0の放物線y=ax2のグラフを-3≦x≦6の範囲に描く。 xyO-36
グラフから x=6のとき最大値 y= 36aとなり, x=0のときに最小値 y=0となる。 xyO-3636a
直線のグラフは必ず変域(長方形)の対角線になり、 傾きが正のときは左下と右上の2点を通る。 この場合(-3, 0)と(6, 36a)である。 xyO(-3, 0)(6, 36a)
y=43x+b に(-3,0)を代入すると
0=43×(-3)+b
b=4

y=43x+4に(6,36a)を代入すると
36a=43×6+4
a=13

放物線と直線の変域が一致する2 (5)

(5)
a<0の放物線y=ax2と直線y=-23x+bについて-8≦x≦4でyの変域が一致する。
aとbの値をそれぞれ求めよ。

a<0の放物線y=ax2のグラフを-8≦x≦4の範囲に描く。 xyO-84
グラフから x=-8のとき最小値 y= 64aとなり, x=0のときに最大値 y=0となる。 xyO-8464a
直線のグラフは必ず変域(長方形)の対角線になり、 傾きが負のときは左上と右下の2点を通る。 この場合(-8, 0)と(4,64a)である。 xyO(-8,0)(4,64a)
y=-23x+bに(-8,0)を代入すると
0=-23×(-8)+b
b=-163


y=-23x-163に(4,64a)を代入すると
64a=-23×4-163
a=-18

特別な平行四辺形1 5

5. 図で四角形ABCDはひし形である。x、yの値を求めなさい。 A B C D 76°

ABCD76°O ひし形は4つの辺がすべて等しい四角形である。
また,ひし形の対角線は垂直に交わる。

すると,△ABCはBA=BCの二等辺三角形で
底角が等しいので∠BAO=∠BCO=76°
つまり x=76

△BCOで∠BOC=90°,∠BCO=76°なので
∠CBO = 180°-90°-76°=14°
また,△BCDはCB=CDの二等辺三角形で
底角が等しいので∠CDO=∠CBO=14°
つまり y=14

円周角4⑪

xの値を求めよ。ただし、点Oは円の中心である。
O25°20°36°x

AOに補助線を引くと
△OACが二等辺三角形なので
∠OAC=∠OCA=20°
△OAEも二等辺三角形なので
∠OAE=∠OEA=36°
よって
∠CAE = 20°+36° =56°
O25°20°36°xABCDEF36°20°

ADに補助線をひくと
∠CADと∠CBDはともにCD
に対する円周角なので
∠CAD = ∠CBD=25°
∠DAEと∠DFEはともにDE
に対する円周角なので
∠DAE=∠DFE=x
よって
∠CAE = 25°+x = 56°
x = 31°
O25°20°36°xABCDEF25°x

合同の証明4 3

3 図でDF//BC, DE//ACである。
 このときDF=CEを証明せよ。
ABCDEF

結論「DF=CE」の
CEを1辺とする三角形は△FECだけである。
DFを1辺とする三角形は△ADFと△EFDの2つある。
△ADFと△FECでは,等しい辺が簡単に見つからないが
△EFDと△FECでは共通の辺EFがあるので
△EFDと△FECに着目する。
ABCDEF ABCDEF

 仮定の DF//BCで
 △EFDと△FECに関する角は,
 錯角の∠DFE=∠CEFがある。
ABCDEF
 また, DE//ACで
  △EFDと△FECに関する角は,
 錯角の∠DEF=∠CFEがある。
ABCDEF

これに EFが共通 を加えると
合同条件「1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」を満たす。
ABCDEF
△EFD≡△FECであれば, 合同な図形の対応する辺で DF=CEが証明できる。

【証明】
△DFEと△CEFにおいて
EF=FE(共通)
∠DFE=∠CEF(平行線の錯角)
∠DEF=∠CFE(平行線の錯角)
よって1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので△DFE≡△CEF
合同な図形の対応する辺は等しいのでDF=CE

2乗に比例する関数 総合問題2 1(5)

1(5)   関数y=ax2で、xの変域が2≦x≦6のときのyの変域が-9≦y≦bだった。a,bの値をそれぞれ求めよ。

yの変域が負なので,a<0である。
a<0の関数y=ax2を 2≦x≦6 の範囲で
グラフにすると,x=2のとき最大値, x=6のとき最小値となる。
つまり グラフは(6,-9)を通るので, y=ax2に(6, -9)を代入する。
-9=36a
a = -14

y = 14x2
(2, b)を代入すると
b = -14×22 = -1
xy26-9b

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更新履歴

2/26
おうぎ形(半径と中心角から弧や面積を出す) おうぎ形(半径と弧、または面積から中心角を出す) おうぎ形(半径をもとめる)おうぎ形(総合)
2/8
2年例題 三角形の合同証明 応用(直線と内角の和)
2/2
1年平面図形 例題
作図 三角形の3頂点を通る円, 三角形の3辺に接する円
1/29
1年平面図形 例題
作図 正三角形,円の中心作図 角度60°,30°,45°作図 角度75° 作図 平行線 円の接線
12/12
例題_おうぎ形 例題_おうぎ形2 例題_おうぎ形3
12/1
2年例題 三角形の合同 証明3 角の共通 動画
11/29
2年例題 三角形の合同 証明2 辺の共通 動画
11/27
2年例題 三角形の合同 証明1
11/10
例題動画 関数と図形「正方形」
10/31
3年例題 2次方程式の解き方(因数分解利用) 例題解説動画
10/30
2年例題 連立方程式A=B=C 例題解説動画
9/15
3年例題 平方根13年例題 平方根2
9/1
3年例題 平方根の性質(自然数になる)
8/29
3年例題 平方根 式の値
8/5
3年例題 平方根の四則計算
3年例題 平方根のおよその値
3年例題 ルートの加法減法3(分数)
7/31
3年例題 循環小数1
3年例題 ルートの加法減法1
3年例題 ルートの加法減法2(変形)
7/30
3年例題 ルートの乗法除法1
7/29
3年例題 ルートの変形1ルートの変形2
7/28
3年例題 平方根の積と商
7/27
3年例題 平方根の大小1 3年例題 平方根の大小2
5/19
2年問題 関数と図形(面積を二等分する直線2)
4/14
2年問題 平行四辺形 折り返し1 2年問題 平行四辺形 折り返し2
3/4
例題 共通接線
2/26
例題 三平方_座標(点と直線の距離) 例題 三平方_座標(最短距離)
2/21
例題 三平方の定理_座標平面の三角形
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