Mathematics Website
LastUpdate 2023/02/06

中学校数学・学習サイト

Index

更新履歴

2/6
3年例題
接線の長さ 三平方の定理とは
1/17
3年円周角 例題
円周角 基本問題1
円周角 基本問題2
円周角基本問題3
円周角と弧
円周角の逆
12/19
3年相似 例題
相似と線分比・面積比(入試レベル)
相似な図形の面積比、体積比(入試レベル)
平行線と線分の長さ
線分の比と面積比 基礎問題
相似な図形の面積比
相似な図形の面積比、体積比
線分の比と面積比
線分の比と面積比2
12/7
1年作図 例題
対称移動の作図
回転移動の作図
中点の作図
作図 点と直線の距離
作図 2点を通る円
直線に接する円の作図
角に接する円の作図
作図 実践問題1
作図実践問題2
11/28
3年例題
相似 基本問題2
二等辺三角形を使った相似の証明
平行四辺形と相似の証明
正三角形と相似の証明
直角三角形と相似の証明
折返した図形の相似の証明
二等辺三角形と相似の証明
垂直を使った相似の証明
11/26
2年例題
三角形の合同証明4(角の二等分線)
三角形の合同証明5(平行線の利用)
三角形の合同証明6(平行線の利用2)
平行線になる証明
垂直になることを証明
内角の和を利用した証明
垂直二等分線を使った証明
折り返した図形の証明
11/22
2年例題
多角形の内角・外角
いろいろな多角形
平行線と多角形
折り返した図形
角の二等分線と内角外角
角の二等分線と外角の和
角の二等分線(入試レベル)
角の二等分線三等分線(入試レベル)
11/1
3年例題
放物線と図形 三角形の面積動点斜面
2年例題
1次関数の応用 速さ

新着 解説

ダイヤグラム2 1解説

xはいつからの時間か? yはどこからの距離か?
ダイヤグラムでは直線の傾きは速さ
基準の地点から離れて行く時は傾きはプラス、逆に近づいてくるときはマイナス
すれ違う、出会う、追い抜かれる点は直線の交点

1. グラフはA駅とB駅の間の列車の運行を表すダイヤグラムである。
10:00からx分後のA駅からの道のりをymとしてある。列車は常に一定の速さだとする。
10:00にB駅を出た列車は10:20にA駅に着き、すぐ折り返してB駅に10:40に着く。
太郎君が10:04にA駅を出て線路沿いの道をA駅からB駅に向かって分速200mの自転車で走る。
途中B駅からくる列車と10:16にすれ違い、そのあとA駅で折り返してきた列車に追い抜かれた。
A駅 B駅 0 10 20 30 40 50 (分) x y
(1)太郎君の式を出す。
① 太郎君のグラフの傾きはいくつか。
② 「太郎君がA駅を10:04に出発した」このときのxとyを求めよ。
③ 太郎君の式を求めよ。

(2) 太郎君が列車(B駅10:00発)とすれ違ったのはA駅から何mか。
(3) 列車(B駅10:00発)の式を求める。
① この列車のグラフが通る座標を2つ求めよ。
② この列車の式を求めよ。

(4) 列車(A駅10:20発)の式を求める。
① この列車のグラフの傾きと、座標を1つ求めよ。
② この列車の式を求めよ。

(5) 太郎君が列車(A駅10:20発)に追い抜かれた時刻を求めよ。
(6) A駅からB駅までは何mか。

(1)
  ① 分速200mで基準のA駅から離れるので 傾きは200
② 時間の基準が10:00なのでx=4, 道のりの基準がA駅なのでy=0
③ 傾き200で(4,0)を通る直線の式を求めると y=200x-800

(2)
 太郎君は10:16にB駅からくる列車のすれ違っているので
(1)でだした太郎くんの式にx=16を代入する。
y=200×16-800 =2400

(3)
  ① グラフからわかる唯一の点(20,0),
(2)で出した太郎くんとすれ違う点(16, 2400)
② (20,0)と(16, 2400)の2点を通る直線の式を求めると
y =-600x+12000

(4)
  ① (3)で出した式から列車の速さは毎分600m
列車は常に一定の速さなのでA駅発の速さも同じ。
ところがA駅から離れていく場合傾きはプラスなので 600
またグラフから(20,0)を通ることがわかる。
② 傾き600で(20,0)を通る直線の式を求めると
y=600x-12000

(5)
  追いぬかれた点は太郎君のグラフとA駅発の列車のグラフの交点。
よって式を連立させて解く
{y=200x-800y=600x-12000
これを解くと x=28, y=4800
追いぬかれた時刻は10:28

(6)
  A駅からB駅までの道のりは
B駅発の列車のx=0のときのy
またはA駅発の列車のx=40のときのy
どちらでも同じ値になるはずである。
y=-600x+12000にx=0を代入するとy=12000
答12000m

2乗に比例する関数 総合問題2 1(4)

1(4) 関数y=-6x2で、xの変域が-2≦x≦sのときのyの変域が-54≦y≦tだった。s,tの値をそれぞれ求めよ。

yの変域 -54≦y≦tから y=-54に対応するxの値を求める。
y=-6x2にy=-54を代入すると
-54 = -6x2
6x2 = 54
x2=9
x = ±3
xの値は+3または-3だが,
xの変域は -2≦x≦sなので -3は不適。 つまり y=-54に対応するxの値は x=3となる。
よって xの変域は -2≦x≦3 したがって s=3
xの変域が 負から正の範囲まであるときには放物線は原点を含むので
y=-6x2の最大値はy=0となる。
よって yの変域は -54≦y≦0 つまり t=0

おうぎ形(半径と中心角から弧や面積を出す)

次の問いに答えよ。 半径6cmで中心角90°のおうぎ形の弧の長さを求めよ。 半径5cmで中心角30°のおうぎ形の弧の長さを求めよ。 半径16cmで中心角31.5°のおうぎ形の弧の長さを求めよ。 半径12cmで中心角80°のおうぎ形の面積を求めよ。 半径10cmで中心角20°のおうぎ形の面積を求めよ。 半径92cmで中心角160°のおうぎ形の面積を求めよ。

おうぎ形の弧の長さ=円周×中心角360°
おうぎ形の面積=円の面積×中心角360°

(1)
 円周=2×6×π=12π,中心角90° より 
 弧の長さ=12π×90360=3π

(2)
 円周=2×5×π=10π,中心角30° より
 弧の長さ=10π×30360=56π

(3)
 直径=16×2=32,中心角31.5°より
  32π×31.5÷360=145π

(4)
 円の面積=12×12×π=144π,中心角80°より
 おうぎ形の面積=144π×80360=32π

(5)
 円の面積=10×10×π=100π,中心角20°より
  おうぎ形の面積=100π×20360 =509π

(6)
 円の面積=92×92×π=814π,中心角160°より
  おうぎ形の面積=814π×160360 =9π

1次関数_変化の割合3 2 解説

2. 次のように点Aと点Bがある。それぞれの場合についてAからBまで変化するときの変化の割合を求めよ。
A(11, 8) B(12, 11)A(5, 7) B(8, 13) A(10, 15) B(12, 11) A(7, 2) B(8, -6) A(12, 13) B(15, 4) A(-1, -7) B(2, 8)

変化の割合=yの増加量xの増加量
A(11, 8) B(12, 11)
yの増加量 = 11-8=3
xの増加量 = 12-11=1
変化の割合 = 31
= 3
A(5, 7) B(8, 13)
yの増加量 = 13-7=6
xの増加量 = 8-5=3
変化の割合 = 63
= 2
A(10, 15) B(12, 11)
yの増加量 = 11-15=-4
xの増加量 = 12-10=2
変化の割合 =- 42
= -2
A(7, 2) B(8, -6)
yの増加量 = -6-2=-8
xの増加量 = 8-7=1
変化の割合 =- 81
= -8
A(12, 13) B(15, 4)
yの増加量 = 4-13=-9
xの増加量 = 15-12=3
変化の割合 =- 93
= -3
A(-1, -7) B(2, 8)
yの増加量 = 8-(-7)=8+7=15
xの増加量 = 2-(-1)=2+1=3
変化の割合 = 153
= 5

2次方程式 (解の公式利用)類題1 解説

1. 次の2次方程式を解きなさい。
x2-8x+9= 0

ax2+bx+c=0の解の公式は x=-b±b2-4ac2aなので
x2-8x+9= 0では, a=1,b=-8,c=9を解の公式に代入すると

x =64-4×1×92×1
=64-362
=282
=8±272
=4±7

因数分解_標準問題1 3

3. 次の式を因数分解せよ。
(x+2y)2-(3x+y)2a(x-2)+b(2-x)(x-3y)2+2x-6y-482a(2x+5)2-28a(2x+5)+80a

(x+2y)2-(3x+y)2
x+2yをAに, 3x+yをBに置き換える。

(x+2y)2-(3x+y)2 = A2-B2  ↓平方の差は和と差の積に因数分解できる
= (A+B)(A-B) ↓A,Bをもとにもどす
= (x+2y+3x+y){x+2y-(3x+y)} ↓-の符号に注意する
= (4x+3y)(x+2y-3x-y)
= (4x+3y)(-2x+y)
a(x-2)+b(2-x)
2-x =-(x-2) のようにマイナスをくくりだすと x-2が共通になる

a(x-2)+b(2-x) = a(x-2)-b(x-2) ↓x-2をAとおく
= aA-bA ↓Aをくくりだす
= A(a-b) ↓Aをx-2にもどす
= (x-2)(a-b)
(x-3y)2+2x-6y-48
2x-6y=2(x-3y) として x-3yを文字に置き換える

(x-3y)2+2x-6y-48 = (x-3y)2+2(x-3y)-48 ↓x-3yをAとおく
= A2+2A-48 ↓積が-48,和が2となる2数は -6と8なので
= (A-6)(A+8) ↓Aをx-3yにもどす
= (x-3y-6)(x-3y+8)
2a(2x+5)2-28a(2x+5)+80a 2aが共通因数なので、まず2aをくくり出し、さらに2x+5を文字に置き換えて因数分解する。

2a(2x+5)2-28a(2x+5)+80a = 2a{(2x+5)2-14(2x+5)+40} ↓2x+5をAとおく
= 2a(A2-14A+40) ↓積が+40,和が-14となる2数は -4と-10なので
= 2a(A-4)(A-10) ↓Aを2x+5にもどす
= 2a(2x+5-4)(2x+5-10)
= 2a(2x+1)(2x-5)

円周角6 1②

それぞれのxの値を求めよ。ただし、点Oは円の中心である。
68°111°xO

補助線BCをひく。
ACは直径なので∠ABC=90°(直径の円周角)
すると∠EBC=90°-68°=22°
△EBCの内角の和が180°なので
∠ECB = 180°-22°-111° =47°
∠ECBと∠ADBはともに弧ABに対する円周角なので
∠ADB=47°
68°111°xOABCD22°47°E

1・2年の復習Lv2_2 6②

6②
図の直線lとABは平行である。線分ABを弦として、直線lに接する円を作図せよ。ABl

求める円の中心をO,円Oと直線lの接点をPとする。
ABが円Oの弦なので,ABの垂直二等分線は円の中心Oを通る。
また,中心Oから接線lに引いた垂線の交点が接点Pになるが,
AB//lなので,ABの垂直二等分線とOからlに引いた垂線は一致する。
よって,ABの垂直二等分線と直線lの交点が接点Pとなる。
すると,A,B,Pの3点が円Oの円周上の点なので,ABの垂直二等分線と
PBの垂直二等分線の交点が点Oとなる。

【作図の手順】
① ABの垂直二等分線を引く。 ② ①と直線lとの交点をPとする。
③ PBの垂直二等分線を引く。 ④ ③と①の交点がOとなる。
⑤ Oを中心として半径OP(またはOA,OB)の円をかく。
ABlOP

1・2年の復習Lv4_4 6②

頂点Bから辺ACに垂線を引き、辺ACとの交点をDとする。 線分BD上にあり、 ∠ABD=12∠APDとなる点Pを作図せよ。 ABC

BからACに垂線BDをおろす。
ABCD
BD上のどこに点Pがあるかわからないので
仮の点Pをとって△ABPをつくる
ABCDP
図を見ると∠APDが△APBの外角になっていることがわかる。
三角形の外角はそれと隣り合わない2つの内角の和に等しいので
∠APD=∠PBA+∠ABPである。
ABCDP
問題文で与えられた条件 ∠ABD=12∠APD を変形して, ∠APD = 2∠ABD
これを満たすために, ∠PBA =∠ABP となる必要がある。
つまり,△ABPはPA=PBの二等辺三角形である。


【作図】
BからACに垂線をおろして交点をDとする。
ABCDBからACにおろした垂線
△ABPが二等辺三角形なので
Pは線分ABの垂直二等分線上にある。
つまりABの垂直二等分線とBDの交点がPとなる。
ABCDPABの垂直二等分線

1・2年の復習Lv4_4 6①

6. 次の問いに答えよ。

AE:ED=3:4, BD:DC=3:2のとき△AEC:△ABCの面積比を求めよ。 ABCDE

AE:ED=3:4より
△AEC:△EDCの面積比 = 3:4
ABCDE3434
△AEC=3とすると△EDC=4なので
△ADC=7 となる。

△ADC=7で
BD:DC=3:2 より
△ABD:△ADC = 3:2
△ABD:7 = 3:2
△ABD = 212
ABCDE343423212
△ABC=△ABD+△EDC+△AEC なので
△ABC = 212 + 4 + 3
= 352

よって
△AEC:△ABC = 3:352
= 6:35

y=ax2のグラフ1③

1. A,Bの座標が次のそれぞれの場合において、y=ax2のグラフが線分AB(両端を含む)と交わるようなaの値の範囲を求めよ。
③ A(-6, 9), B(1,3)

A(-6, 9)B(1,3)←点Aを通るとき↓aの絶対値が大きいほど開き方が小さいxyOaの絶対値が小さいほど↓開き方が大きい y=ax2のグラフは, aの絶対値が小さいほどグラフの開き方が大きくなる。 そのため, 図のようにグラフが点Aを通るときにaの値が最小となる。
y=ax2にA(-6, 9)を代入すると
9=a×(-6)2
36a=9
a=14

またaの絶対値が大きいほどグラフの開き方がせまくなるので, 図のように線分ABがy軸を横切っている場合, aの値がいくら大きくても線分ABと放物線は交わる。


よって, グラフが線分ABと交わるときのaの値の範囲は
14 ≦ a となる。

平方根の問題7 3④

3.次の計算をしなさい。
2 3 6 ÷ 4 3 2 × 7 2 5

平方根を含む数字のかけ算は、ルートの外どうし、中どうしそれぞれ掛け算する。
 236÷432×725 ↓割り算を逆数のかけ算に
= 236×342×725 ↓ルートの外どうし,中どうしそれぞれ
= 2×3×73×4×2×6×52 ↓約分
= 7415

因数分解4 1⑦

1.因数分解しなさい。
⑦ (5x-1)2-y2

5x-1=Aと置き換えると, 2乗の差になるので,
公式 a2-b2 = (a+b)(a-b) にあてはめて因数分解する

(5x-1)2-y2 = A2 - y2
= (A+y)(A-y)
= (5x-1+y)(5x-1-y)

式による説明 (3)

(3)
  4つの連続する奇数の和は8の倍数になることを説明しなさい。

式による説明は3つの部分でできている。
1つ目は文字で表す。 2つ目は計算。 3つ目は結論

4つの連続する奇数 の和は 8の倍数になる。 └───────┘ └──┘ └─────┘ A B C
Aの部分を文字で表し、計算はB(和)を行い、最後に計算の結果がC(結論)となることを説明する。
Aを文字で表す
奇数は2で割ると1あまる数のことなので 「2×整数 + 1」になる。
つまり, 整数=n とすると 2n+1 と表すことができる。
また, 連続する奇数は 2, 5, 7・・・のように2つずつ増えていく。
よって 2n+1のとなりの奇数は 2n+1 + 2 =2n+3, そのとなりは2n+3 + 2 =2n+5,
さらにそのとなりは 2n+5 + 2 = 2n+7となる。
つまり, 4つの連続する奇数は、nを整数として,
2n+1, 2n+3, 2n+5, 2n+7と表せる。

上で作った文字式の和を計算する
  (2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+(2n+7) = 8n+16 = 8(n+2)
計算の結果がC(結論)となっていることを説明。
nが整数なのでn+2も整数となり, 8(n+2)は8×整数だから8の倍数である。
よって4つの連続する奇数の和は8の倍数となる。


【説明】
nを整数とすると4つの連続する奇数は2n+1,2n+3,2n+5,2n+7となる。
これらの和は(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+(2n+7)=8n+16
                     =8(n+2)
nは整数なので(n+2)も整数となり8(n+2)は8の倍数となる。
よって4つの連続する奇数の和は8の倍数となる。

式の計算 総合問題1 5

5.  5つの連続した偶数の和は10の倍数になることを説明せよ。

式による説明は3つの部分でできている。
1つ目は文字で表す。 2つ目は計算。 3つ目は結論

5つの連続した偶数 の和は 10の倍数になる。 └───────┘ └──┘ └─────┘ A B C
Aの部分を文字で表し、計算はB(和)を行い、最後に計算の結果がC(結論)となることを説明する。
Aを文字で表す
偶数とは2の倍数のことなので 「2×整数」になる。
つまり, 整数=n とすると 2n と表すことができる。
また, 連続する偶数は 2, 4, 6, 8・・・のように2つずつ増えていく。
よって 2nのとなりの偶数は 2n+2, そのとなりは2n+4である。
逆に小さい方のとなりは 2n-2, そのとなりは2n-4である。
すると, 5つの連続する偶数は、nを整数として,中央の偶数が2nとすると
2n-4, 2n-2, 2n, 2n+2, 2n+4と表せる。

上で作った文字式の和を計算する
  (2n-4)+(2n-2)+2n+(2n+2)+(2n+4) = 10n
計算の結果がC(結論)となっていることを説明。
nが整数なので10nは10×整数となり10の倍数である。
よって5つの連続した偶数の和は10の倍数となる。


【説明】
nを整数とすると偶数は2nと表せる。この2nを真ん中の数とすると5つの連続した偶数は
2n-4, 2n-2, 2n, 2n+2, 2n+4となる。
これらの和は (2n-4)+(2n-2)+(2n)+(2n+2)+(2n+4) = 10n
nは整数なので10nは10の倍数である。
よって5つの連続した偶数の和は10の倍数になる

文字式カッコのある計算1 2

2.次の計算をしなさい。
2(3x+4)+4(2x+6) 5(2a+1)+3(a-5) 4(5x-2y)+3(6x+7y) 9(-x-3)+6(2x-4) -2(3x+1)+5(x+8) -7(-2x+4)+3(5x-11)

分配法則でかっこを開いてから同類項をまとめる。
2(3x+4)+4(2x+6) = 6x+8+8x+24
= (6+8)x+8+24
= 14x+32
5(2a+1)+3(a-5) = 10a+5 +3a-15
= (10+3)a+5-15
= 13a-10
4(5x-2y)+3(6x+7y) = 20x-8y+18x+21y
= (20+18)x+(-8+21)y
= 38x+13y
9(-x-3)+6(2x-4) = -9x-27+12x-24
= (-9+12)x-27-24
= 3x-51
-2(3x+1)+5(x+8) = -6x-2+5x+40
= (-6+5)x-2+40
= -x+38
-7(-2x+4)+3(5x-11) = 14x-28+15x-33
= (14+15)x-28-33
= 29x-61

2次方程式応用4(割合) (4)

(4)
あ ある銀行に預金すると1年でx%の利息がつく。そのままにしておくと次の1年後には利息も含めたすべての預金に対して x%の利息がつく。この銀行に10000円預けたら2年後に10404円になっていた。x の値を求めよ。

1年でx%の利息がつくので
10000円預けたときの1年後の利息=10000×x100=100x
よって
1年後の預金=10000+100x

2年後はこの(10000+100x)にx%の利息がつくので
2年後の利息=(10000+100x)×x100=100x+x2
よって
2年後の預金=10000+100x+100x+x2 =10000+200x+x2
これが10404円なので
10000+200x+x2=10404
これを解くと
10000+200x+x2=10404
x2+200x-404=0
(x-2)(x+202)=0
x=2, -202
x>0より x=2

特別な直角三角形_練習2 ⑤⑥

xの値を求めよ。

135° 4 4 x 5

4 14 x 150°


135°44x5ABCD AからBCの延長上に垂線をひき,
その交点をDとする。

ACD42245°45° ∠ACB=135°なので,∠ACD=45°となり,
△ACDは直角二等辺三角形になる。
AC=4, CD:AD:AC=1:1:2より
CD=AD=22となる。


135°44x5ABCD22 直角三角形ABDでAB=45, AD=22より
(45)2 = (22)2 + BD2
BD2 = 80-8
BD2=72
BD=±62
BD>0より BD=62
BD= x+22に代入すると
62= x+22
x=42



414x150°ABCD AからBCの延長上に垂線をひき,
その交点をDとする。

ACD30°60°4223 ∠ACB=150°なので,∠ACD=30°となり,
△ACDは各角が30°,60°,90°の直角三角形になる。
AC=4, AC:AD:CD=2:1:3より
AD=2, CD=23となる。


414x150°ABCD223 直角三角形ABDでAB=14, AD=2より
142=22+BD2
BD2=196-4
BD2=192
BD=±83
BD>0よりBD=83
BD=x+23に代入すると
83=x+23
x=63

1・2年の復習Lv2_2 6②

6②
図の直線lとABは平行である。線分ABを弦として、直線lに接する円を作図せよ。ABl

求める円の中心をO,円Oと直線lの接点をPとする。
ABが円Oの弦なので,ABの垂直二等分線は円の中心Oを通る。
また,中心Oから接線lに引いた垂線の交点が接点Pになるが,
AB//lなので,ABの垂直二等分線とOからlに引いた垂線は一致する。
よって,ABの垂直二等分線と直線lの交点が接点Pとなる。
すると,A,B,Pの3点が円Oの円周上の点なので,ABの垂直二等分線と
PBの垂直二等分線の交点が点Oとなる。

【作図の手順】
① ABの垂直二等分線を引く。 ② ①と直線lとの交点をPとする。
③ PBの垂直二等分線を引く。 ④ ③と①の交点がOとなる。
⑤ Oを中心として半径OP(またはOA,OB)の円をかく。
ABlOP

中学数学の要点をわかりやすく説明

全く初めて勉強する分野や、習ったけれど忘れてしまったような事柄でも理解できるように基本事項を説明しています。  学校で習ったけれど理解できていない場合や、理解しているつもりでも得点に結びついていないような場合でも基本事項をよく理解した上で問題に取り組むことをおすすめします。

基礎から発展まで多数の問題を掲載

基本事項が理解できたら練習問題をこなしてそれを定着させましょう。「中学校数学学習サイト」には基礎問題から入試にも対応した発展問題まで幅広いレベルの問題が多数掲載されています。レベルに応じて十分な練習が可能です。

リクエストに応じて、問題を解説

特に解き方が難しいと思われる発展問題や応用問題には解説を掲載しています。まだ解説をつけていない問題でもリクエストがあれば解説を作りますのでご連絡ください。

PCやスマホで手軽にできる練習問題

問題をプリントしなくてもパソコンやスマートフォンから入力して答えられる計算問題も多数掲載しています。とくに計算問題は数をこなすことで得意になるものです。空いた時間と文明の利器を上手に使って効率よく勉強しましょう。

学習 コンテンツ

練習問題 各単元の要点 pcスマホ問題 数学の例題

学習アプリ

中1 方程式 文章題アプリ
中1数学の方程式文章題を例題と練習問題で徹底的に練習

© 2006- 2023 SyuwaGakuin All Rights Reserved