LasstUpdate 2019/10/16
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新着 解説

2次方程式応用(数の問題) (1) 解説

2次方程式をたてて答えよ。
(1) つの正の数がある。2数の差は4で、積は1である。この2数を求めよ。

差が4なので小さい方をxとすると 大きい方はx+4である。
積が1なので x(x+4)=1
x2+4x-1=0
解の公式にあてはめると
x=-4±16+42
 =-4±202
 =-4±252
 =-2±5
xは正なので x=-2+5
大きい方の数は x+4=2+5

1・2年の復習Lv3_1 6①解説

6.
∠xの大きさを求めよ。ただし、同じ印をつけた角度は等しい。x14°

図の●の角度をa, ○の角度をbとする。 x14°aabb
三角形の外角はそれと隣り
合わない2つの内角の和に
等しいので
b = a+ 14…①,
2b = 2a+x…②
ab14° xaabb
①を②に代入すると
2(a+14)=2a+x
x = 28

2次方程式応用(図形の問題)3 (5)解説

(5) 図の△ABCはAB=AC=8cm, ∠BAC=90°の直角二等辺
三角形である。辺AB,BC,CA上にそれぞれ点D,E,Fを
とり 四角形DECFが平行四辺形になるようにする。
この平行四辺形DECFの面積が12cm2のときの
ADの長さを求めよ。
ABCDEF

平行四辺形DECFの面積は△ABCから△ADFと△DBEを引けば出せる。
△ADFはAD=AF, ∠DAF=90°の直角二等辺三角形なので
AD=xとすると面積は 12x2である。
また、△DBEはDB=DE=8-x, ∠BDE=90°の直角二等辺三角形なので
面積は 12(8-x)2となる。
よって 32- 12x2 - 12(8-x)2 = 12
32-12x2-12(64-16x+x2)=12
32-12x2-32+8x-12x2=12
-x2+8x-12=0
x2-8x+12=0
(x-2)(x-6)=0
x=2, 6

平方根の計算5 1③途中式

1. 次の計算をしなさい。
2(210 4)

2(210 4)
= 2×2- 2×104
= 2 -204
= 2- 254
= 2- 52

三平方の定理6 6(2)解説

6. 図は側面が正三角形の正四角錐で、一辺の長さは6㎝である。
(2) 辺AD上にAP=2cmとなる点Pをとる。頂点Bから
辺ACを通りPまで行くときの最短の道のりを求めよ。
A B C D E P

立体表面を通る最短の道のりを出すには、展開図にして直線を引く
図のようにBからPまで
最短の道のりで行く場合、面ABCと面ACDを通る。
ABCDEP
四角錐の展開図のうち、△ABCと△ACDの部分だけ
抜き出すと図のようになる。
どちらの三角形も正三角形で1辺6cmなので
∠BAP=120°、AB=6cm、AP=2cmとなる。
ABCDP PAの延長上にBから垂線をおろして
交点をQとする。
∠BAQ=60°なので∠ABQ=30°となり、AB:AQ:QB=2:1:3
よってAQ=3cm, QB=33cm
すると直角三角形QBPでQB=33cm、QP=5cmなので
三平方の定理により (33)2+52 = BP2
BP2 = 27 +25 = 52
BP = ±213
BP>0より BP = 213
ABP120°62Q

文字式の計算(分数の計算) 2②途中式

2. 次の計算をしなさい。
8x-16+x-32

8x-16+x-32
=8x-16+3(x-3)6
=8x-1+3(x-3)6
=8x-1+3x-96
=11x-106
=116x-53

いろいろな因数分解3 2①解説

2. 因数分解せよ。
① a2-b2-a-b

4項の因数分解では、2項と2項、または3項と1項のようにわけて考えるとできることがある。
① a2-b2-a-b

a2-b2、と -a-bに分けて考える
a2-b2 = (a+b)(a-b)と因数分解できる
また、-a-b =-(a+b)とできるので a+b=Aとおいて因数分解する。

a2-b2-a-b
=(a+b)(a-b)-(a+b)
=A(a-b) - A
=A(a-b-1)
=(a+b)(a-b-1)

平方根の問題7 1(4)解説

(4)
3.5 < x < 4 を満たす自然数nを求めよ。

a < b ならば a < b
3.5 < x より 3.52 < x
また、x < 4 より x < 42
3.52=12.25, 42=16より
12.25 < x < 16
「xは12.25より大きく、16より小さい自然数」なので
x = 13, 14, 15

2次方程式応用(数の問題) (4)解説

(4) 連続する2つの奇数がある。小さい方の奇数を2乗して23加えた数は大きいほうの奇数の8倍に等しい。この2つの奇数を求めよ。

奇数は1,3,5,7…のように2ずつ大きくなるので
小さい方の奇数をxとすると大きい方はx+2となる。
「小さい方の奇数を2乗して23加える」を式にすると x2+23
「大きい方の奇数の8倍」を式にすると 8(x+2)
これらが等しくなるので
x2+23=8(x+2)
x2+23 = 8x+16
x2-8x+23-16=0
x2-8x+7=0
(x-1)(x-7)=0
x=1, 7
小さいほうの奇数が1なら大きい方は3
小さいほうの奇数が7なら大きい方は9
よって答は 1と3 または 7と9

因数分解4 1⑩解説

1.因数分解しなさい。
⑩ (x+3)2-2(x+3)-63

x+3=Aと置き換えて因数分解する
(x+3)2-2(x+3)-63
= A2 -2A -63
= (A-9)(A+7)
= (x+3-9)(x+3+7)
= (x-6)(x+10)

平方根のおよその値 1-② 解説

1.  2=1.41, 20=4.47のとき次の値を求めよ。
0.2

ルートの中はできるだけ簡単にする
20= 25なので
25 = 4.47
5 = 4.47 ÷2 =2.235

ルートの中の0.2を分数に直して有理化すると
0.2
= 15
= 55
ここに5 =2.235を代入すると
2.235÷5=0.447

2乗に比例する関数 総合問題1 7解説

7. ある斜面をボールが転がるとき、転がり始めてからx秒間に転がる距離をymとすると、yはxの2乗に比例する。 ボールが転がり始めてから3秒後までに転がる距離が18mのとき、次の問いに答えよ。
(1) 転がり始めてから4秒後までに転がる距離を求めよ。
(2) 転がる距離が72mになるのは転がり始めてから何秒後か、求めよ。
(3) 転がり始めてから2秒後から6秒後までの平均の速さを求めよ。

yがxの2乗に比例し、ボールが転がり始めてから3秒後までに転がる距離が18m
つまりx=3のときy=18なので
y=ax2
18 = 9a
a=2
よって yをxの式で表すと y = 2x2


(1) x=4をy = 2x2に代入すると
y = 32

(2) y=72をy = 2x2に代入すると
72= 2x2
x2 = 36
x=±6
x>0より x=6

(3) 平均の速さを求めるには、 移動距離をかかった時間で割る。
x=2のとき y=8, x=6のときy=72なので
移動距離は 72-8=64
かかった時間は 6-2=4
よって平均の速さは 64÷4=16

方程式文章題(割引・割増) (2)解説

一昨年にくらべて昨年は生徒数が 10%増加した。昨年にくらべて今年は5%減少した。 今年の生徒数は209人だった。一昨年の生徒数を求めよ。

10%の増加は、割合のもとになる数に対して110100をかけるので、
一昨年をxとすると昨年度は110100xとなる。
5%の減少は、割合のもとになる数に対して95100をかける。
昨年度110100xなので、
今年度は95100×110100xである。
よって95100×110100x=209
209200x=209
x=200

円周角2 1⑤解説

1. それぞれのxの値を求めよ。ただし、点Oは円の中心である。

24°44°x

BDに補助線を引く
∠ADBは弧ABに対する円周角で、
∠ABDも同じく弧ABに対する円周角なので
∠ADB=∠ABD=44
∠BDCは弧BCに対する円周角で
∠BACも同じく弧BCに対する円周角なので
∠BDC=∠BAC=24
よって∠ADC = 44+24=68
24°44°xABCD

中学数学の要点をわかりやすく説明

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更新履歴

10/10
方程式文章題(速さ往復、列車の長さ)
10/9
方程式文章題(速さ、追いつく)
方程式文章題(速さが変わる)
pc, スマホ問題1年
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pc,スマホ問題1年
方程式文章題(過不足の問題)
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方程式文章題(分配の問題、人数の問題)
方程式文章題(代金に関する問題1)
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pc、スマホ問題 1年
方程式文章題(数に関する問題1)
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1,2年の復習問題Lv1 1,2年の復習問題Lv2 1,2年の復習問題Lv3 1,2年の復習問題Lv4
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式の計算 総合問題1 式の計算 総合問題2 式の計算 総合問題3 式の計算 総合問題4
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式の計算応用(図形)
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2年文字式計算問題
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2年文字式計算問題
同類項をまとめる1 同類項をまとめる2 式の加法減法1 式の加法減法2 式の加法減法3 式の加法減法4 式と数の乗法除法1 式と数の乗法除法2単項式の乗法1 単項式の乗法2 単項式の乗法3 単項式の除法1 単項式の除法2 単項式の除法3 乗法と除法の混じった計算1 乗法と除法の混じった計算2 乗法と除法の混じった計算3 乗法と除法の混じった計算4
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正負の数 総合問題 標準1 正負の数 総合問題 標準2 正負の数 総合問題 標準3 正負の数 総合問題 標準4 正負の数 総合問題 標準5
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正負の数 総合問題 基本1 正負の数 総合問題 基本2 正負の数 総合問題 基本3 正負の数 総合問題 基本4 正負の数 総合問題 基本5
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折り返しの問題 練習の解説
2/15
3年問題
円周角5 円周角6
2/7
3年問題
円周角4
1/23
解説
3年相似と線分比1 2(2)
2年 等積変形の5 式による説明1 (5)

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