LasstUpdate 2020/02/24
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2次方程式応用3(座標) (3)解説

(3) y=2x+18のグラフとy軸との交点をA
x軸との交点をBとする。
y=2x+18のグラフ上のAからBの間に点Pをとり、
Pからx軸に垂線をひき交点をQとする。
またAPQRが平行四辺形になるようにy軸上にRをとる。
APQRの面積が28になるような点Pの座標を求めよ。
O P Q R A B y=2x+18 x y

Pのx座標を xとする。 y = 2x+18
P(x, 2x+18)
Q(x, 0)
PQの長さ = 2x+18 -0
= 2x-18

QOの長さ = 0-x
= -x

平行四辺形の面積 = 底辺×高さ
PQを底辺とすると QOが高さになるので
28 = -x(2x+18)
28 = -2x^2-18x
2x^2+18x+28=0
x^2+9x+14=0
(x+2)(x+7)=0
x = -2, -7
y=2x+18に代入すると
x=-2のとき y=14
x=-7のとき y=4
よって Pの座標は (-2, 14)または (-7, 4)

作図4 3解説

3. 辺OAと辺OBに接する円を作図せよ。ただしOAとの接点をPとする。 A B O P

円がOA,OBに接するので
円の中心はOA, OBから等しい距離にある。
円の中心は∠AOBの二等分線乗にある

また、接線は接点を通る半径と垂直になるので
円の中心は点Pを通るOAの垂線上にある。

∠AOBの二等分線をかく。 ABOP
点Pを通る、OAの垂線をかく。 ABOP
垂線と角の二等分線の交点を中心として、
点Pを通る円をかく。
ABOP

作図4 1解説

1. ∠ABP=75°となるように点Pを作図せよ。 A B

75°の作図には
90°-15°や、60°+15°、45°+30°など
いくつかの方法が考えられる。

75°= 90° -15°の作図
90°は垂線、15°は30°を二等分して作る。
ABを延長してBを通る垂線BCを作図する。 ABC
ABを1辺とする正三角形ABDを作ると60°ができる。
すると90°-60°=30°なので
∠DBC=30°となる。
ABCD60°30°
∠DBCの二等分線BPを作図する。
∠PBC=15°なので
∠ABP=90°-15°
=75°となる。
ABCDP15°

式の展開(多項式と単項式の乗除) 2⑨解説

2次の計算をしなさい
(7x3y2+4xy4-21xy2)÷(-143xy2)

abc×m()++= am+bm+cm
割り算を逆数のかけ算にしてカッコ内の各項にかける。
(7x3y2+4xy4-21xy2)×(-314xy2)
=7x3y2×(-314xy2)+4xy4×(-314xy2)-21xy2×(-314xy2)
=-21x3y214xy2-12xy414xy2+63xy214xy2
=-32x2-67y2+92

確率2 2解説

2. A,B,2つのさいころを2個同時に投げる。
(1) 出た目の積が奇数になる確率を求めよ。
(2) Aのさいころの目とBのさいころの目が等しくなる確率を求めよ

(1)A,B2つのサイコロを同時に投げたときの樹形図をかき、A×Bが奇数になるものを数える。
A BA×B奇数111 22 33 44 55 66 212 24 36 48 510 612 313 26 39 412 515 618 414 28 312 416 520 624 515 210 315 420 525 630 616 212 318 424 530 636
全体の数が36で、A×Bが奇数になるのは 9である。
よって確率は 936=14

(2) A,B2つのサイコロを同時に投げたときの樹形図をかき、AとBの目が等しくなるものを数える。
A BA=B11 2 3 4 5 6 21 2 3 4 5 6 31 2 3 4 5 6 41 2 3 4 5 6 51 2 3 4 5 6 61 2 3 4 5 6
AとBが等しくなるのは6なので
確率は 636=16

1・2年の復習Lv3_3 6③解説

6③
1辺18cmの正方形ABCDでABの中点をE, Aの中点をFとする。 EF,EC,FCを折り目として折り曲げて三角錐をつくる。三角ECFを底面としたときの高さを求めよ。 ABCDEF

錐の体積=底面積×高さ÷3 なので
三角錐の体積と底面積を出して、上記の式に代入すれば高さを出すことが出来る。
ただし、体積を求めるときに、△ECF以外を底面にする。

EF,EC,FCを折り目として折り曲げて三角錐をつくると図のようになる。
ACEF(B,D)18cm9cm9cm △AEFを底面にして体積を出す。
△AEFは直角二等辺三角形で
面積 = 9×9÷2
= 812 cm2

△AEFを底面にしたときの高さは
AC=18cm
体積 = 812×18÷3
= 243 cm3


△ECFの面積を出す。
w3.org/2000/svg" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink">ABCDEF18cm18cm9cm9cm9cm9cm △ECF = 正方形ABCD-△AEF-△EBC-△FDC より
△ECF = 18×18 -9×9÷2 -9×18÷2 -9×18÷2
= 324 -812 -81 -81
= 2432


高さ=xとして
錐の体積 = 底面積×高さ÷3 に代入
243 = 2432× x ÷3
812x = 243
x = 6

作図1 3解説

3.
直線m上にあり点 C から最も近い点Rを作図せよ。 Cm

点と直線の距離 Pl点Pと直線l上にある点を結ぶ線分のうち最も短いのが垂線である。
直線m上の点と点Cを結ぶ線分のなかで最も短いのが垂線なので
Rは点Cから直線mに引いた垂線とlの交点である。

点Cにコンパスの針をさして、
直線mと2点で交わるように弧を描く>>コンパス1

2つの交点それぞれにコンパスの
針をさし、弧を描く。>>コンパス2 >>コンパス3

点Cから②で作った交点に線を引く。>>垂線
垂線とmの交点が点Rである。 >>点R
C m R
②の操作(コンパス2と3)で、コンパスの開き具合(半径)を変えてはいけない

三角形証明(発展2) 3解説

3. 図の△ABCと△DEFはともに正三角形である。
このとき△DBE≡△ECFとなることを証明しなさい。
A B C D E F

図のようにで示したように∠DEB=a, ∠FEC=b, ∠BDE=cとする。
△ABC, △DEFがともに正三角形なので
∠DBE=∠DEF=60°である。
△DBEの内角について、内角の和は180°なので
a+c+60° = 180°
よって c = 120°-a
また、直線BECについて、直線は180°なので
a+60°+b = 180°
よって b = 120°-a
a, cともに 120°-a と表せるので
a=cとなる。
ABCDEFabc60°60° △DEFが正三角形なので DE=EF
△ABCが正三角形なので ∠DBE=∠ECF=60°
ABCDEF △DBEと△ECFを抜き出して並べると
内角のうち2つの角がそれぞれ等しくなっている。
三角形の内角の和は180°なので
残りの角も等しくなる。
すると「1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」
という条件が成り立つので △DBE≡△ECF
BDEEFC

直角三角形2 4解説

4. 図で AB=CB, ∠CDB=∠AEB=90°のときBD=BE となることを証明しなさい。 A B C D E

直角三角形の合同条件
斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい
斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい。

図の△ABEと△CBDに着目すると
∠Bがぴったり重なり合って一致している。
つまり ∠ABE=∠CBD(共通) である。
ABCDE
また、仮定より AB=CB, ∠AEB=∠CDB=90° ABCDE
△ABEと△CBDを抜き出して並べると
直角、斜辺、1つの鋭角がそれぞれ等しくなっている。
「直角三角形で斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい」
という条件にあてはまるので
△ABE≡△CBDである。

合同な三角形の対応する辺は等しいので
BE=BDとなる。
ABEBCD

等積変形 2解説

△ABCと等しい面積の△ABPを作りたい。直線m上に点Pをとりなさい。 A B C m

△ABCと等しい面積の△PBCを作るには
Aを通りBCに平行な線をひき、
その平行線上にPをとる。
ABCP

△ABCと△ABPは辺ABが共通なので
ABと平行で、Cを通る直線上にPがあれば△ABCと△ABPの面積は等しくなる。
よって、Cを通りABと平行な直線と 直線mとの交点がPである。
ABCmP

直角三角形1 4解説

4.  ∠ACB=90°の直角三角形ABCで辺AB上にAC=ADとなるように
点Dをとる。 DP⊥ABとなるような点Pを辺BC上にとる。
このときDP=CPとなることを証明しなさい。
  A B C D P

直角三角形の合同条件
斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい
斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい。

図の△APDと△APCに着目すると、
辺APがぴったり重なり合って一致している。
つまり APは共通 である。
ABCDP また、仮定よりAC=AD
DP⊥ABより ∠ACP=∠ADP=90°
ABCDP △APCと△APDを抜き出して並べると
直角、斜辺、1辺がそれぞれ等しくなっている。
「直角三角形で斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい」
という合同条件にあてはまるので△APC≡△APDである。

合同な図形では対応する辺は等しくなるので
CP = DPである。
AAPPCD

放物線と直線の変域が一致する8 (1)解説

(1) a>0の放物線y=ax2とm>0の直線y=mx+132 について-3≦x≦-1でyの変域が一致する。 aとmの値をそれぞれ求めよ。

「直線と放物線のyの変域が一致する」とは 「直線と放物線の最大値が同じで、最小値も同じになる。」ことである。 ただし、同じ点を通るとは限らない。
a>0の放物線y=ax2のグラフにxの変域-3≦x≦-1を描き入れる。
x=-3をy=ax2に代入するとy=9a,
x=-1をy=ax2に代入するとy=aである。
原点は変域に含まれないので
yの最小値はa, yの最大値は9aである。
-3-1a9axyO
xの変域が-3≦x≦-1のとき、yの変域がa≦y≦9aとなるように
m>0の直線y=mx+132 のグラフを描き入れる。
傾きがプラスなので (-3, a)と(-1, 9a)を通ることがわかる。
直線の式に(-3, a)を代入すると
a= -3m+132 → 2a+6m=13…①
(-1, 9a)を代入すると
9a = -m +132 →18a+2m=13…②
①-②×3
2a+6m=13 -)54a+6m=39 -52a =-26 a =12…③
③を①に代入すると
12 +6m=13
6m=12
m=2
xyO-1-39aa

作図2 4解説

4. △ABC の頂点 A と点 P が重なるように折り返すときの折り目を作図しなさい。
A B C P

対称移動
図形をある直線を折り目として折り返す移動を対称移動という。
折り目の直線を対称の軸という。
A BCA'B'C'llを対称の軸として対称移動
対応する頂点を結ぶとlはAA', BB', CC'それぞれの線分を垂直に2等分している。
つまり
折り目(対称の軸)は対応する点を結ぶ線分の垂直二等分線である。


AとPを重ねるように折り返すときの折り目は
線分APの垂直二等分線である。 A B C P

連立方程式 総合問題4 3(2)解説

(2) 濃度のわからない食塩水AとBがある。Aを400gとBを200gを混ぜると3%の食塩水になる。 また、Aの食塩水500gから水を30g蒸発させたものと、Bの食塩水300gを混ぜ、さらに食塩を5g加えると4%の食塩水になる。 食塩水A, Bのそれぞれの濃度を求めよ。

食塩水Aの濃度を x%, 食塩水Bの濃度を y%とする。
また、食塩の質量=食塩水の質量×濃度100より
x%の食塩水400gに含まれる食塩の質量は 400×x100=4x
y%の食塩水200gに含まれる食塩の質量は 200×y100=2x
A400gとB200gをまぜて出来る3%の食塩水は600gになる。
3%の食塩水600gに含まれる食塩の質量は 600×3100=18

混ぜる前の食塩水に含まれる食塩の質量合計と、
混ぜた後の食塩水に含まれる食塩の質量は等しいので

4x+2y=18
食塩水A食塩水B混ぜた後濃度x%y%3%食塩水の質量400200600含まれる食塩の質量4x2y18

x%の食塩水500gに含まれる食塩の質量は500×x100=5x
水を蒸発させると全体の質量は-30gで、
蒸発する水の中に食塩は含まれないので0g
y%の食塩水300gに含まれる食塩の質量は300×y100=3y
食塩5gを加えると、全体の質量が5g増え、含まれる食塩も5g増える。
A500gから水30gを引き、B300gと食塩5gを加えると4%の食塩水は775gできる。
4%の食塩水775gに含まれる食塩の質量は775×4100=31
混ぜる前の食塩水に含まれる食塩の質量合計と、
混ぜた後の食塩水に含まれる食塩の質量は等しいので

5x+3y+5=31
5x+3y=26
食塩水A食塩水B食塩混ぜた後濃度x%y%4%食塩水の質量500-303005775含まれる食塩の質量5x03y531
4x+2y=18…①5x+3y=26…②
①×3 - ②×2
12x+6y=54 -)10x+6y=52 2x =2 x =1…③
③を①に代入
4+2y=18
2y = 14
y=7
答 A 1%,  B 7%

合同の証明1  3解説

3. AB=AC, AD=AEのとき
 △ABE≡△ACDとなることを証明しなさい。
ABCDE

三角形の合同条件
3組の辺がそれぞれ等しい。
2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。
1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。

図の△ABEと△ACDに着目すると
∠Aは、△ABEの1つの内角であり、△ACDの1つの内角でもあるが、
ぴったり重なり合っているので、当然同じ大きさである。
これを「共通」という。
∠Aは共通、または ∠BAE=∠CAD(共通)のように表す。
ABCDE
さらに、図に仮定を描き加える。
ABCDE
△ABEと△ACDを抜き出してみる。
ABCDEA

図より、 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいことがわかる。
証明の答案では図に描き入れた「等しい辺」や「等しい角」を式に表し、理由をつける。

△ABEと△ACDにおいて
∠BAE=∠CAD(共通)
AB=AC(仮定)
AD=AE(仮定)
よって2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABE≡△ACD

2次方程式の応用(動点) (2)解説

(2) 図の長方形ABCDはAB=4cm, AD=8cmである。
PはAを出発して毎秒1cmでBまで進み、Pの出発と同時に
QはDを出発し毎秒2cmでAまで進む。△QPCの面積が
13cm2になるのは出発から何秒後か。
PQABCD

長方形ABCDから△APQ, △PBC, △DQCの
面積を引くと△QPCの面積になる。

出発からの経過時間をx秒とする。
△DQCの面積
QはDを出発して毎秒2cmで動くので、
DQ=2xcm、DC=4cmより
△DQC = 2x×4÷2
=4x


△APQの面積
PはAを出発して毎秒1cmで動くので
AP=xcm,
AD=8cmでQD=2xcmなので
AQ=(8-2x)cm
△APQ= x×(8-2x)÷2
= x(4-x)


△PBCの面積
AB=4cm, AP=xcmなので
PB=(4-x), BC=8cmより
△PBC = (4-x)×8÷2
= 16-4x

長方形ABCDの面積=4×8=32
PQABCD4cm8cmxcm(4-x)cm(8-2x)cm2xcm

よって
 13 =32 - 4x -x(4-x) -(16-4x)
13 = 32 -4x -4x+x2 -16+4x
x2-4x+3=0
(x-3)(x-1)=0
x=1, 3
答 1秒後、3秒後

中学数学の要点をわかりやすく説明

全く初めて勉強する分野や、習ったけれど忘れてしまったような事柄でも理解できるように基本事項を説明しています。  学校で習ったけれど理解できていない場合や、理解しているつもりでも得点に結びついていないような場合でも基本事項をよく理解した上で問題に取り組むことをおすすめします。

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更新履歴

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例題 三平方の定理_座標平面の三角形
2/15
例題 三平方の定理_二等辺三角形の面積 例題 三平方の定理_台形の面積
2/14
例題 三平方の定理_最短経路

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