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復習問題 1解説

次の条件を満たす点 P と点 Q を作図せよ。
四角形 PAQB は平行四辺形である。 AP > PB 点Pは直線l上にある。 ∠APB = 30° lAB

まず④∠APB=30° をどう作ればよいかを考える。
Pが固定されていないことから、
中心角60°に対する円周角として30°を作る。
60°30°
A,Bがともに円周上にあって、
∠AOB=60°となるには
正三角形OABを作れば良い。
△OABの頂点Oを中心として
A,Bを通る円を描く。
直線lと円Oとの交点は2つあるが、
AP>PBとなる点がPである。
lABOP
平行四辺形は対辺の長さが等しいので
線分BPの長さを半径とする円(弧)を点Aを中心に描き
線分APの長さを半径とする円(弧)を点Bを中心に描いて
その交点をQとする。
lABPQ
作図に使った線を残すと下図のようになる。
lABPQ

関数と図形(面積を二等分する直線2) 3,4解説

3
A(-4,7),B(-9,4),C(2,-1),D(7,2)のABCDがある。 傾きが2で、ABCDの面積を2等分する直線の式を求めよ。 ABCDOxy


4
四角形AOBCは平行四辺形、四角形DEFGは正方形で、 各座標はA(2,6), B(10,2), C(12,8), D(3,4), E(3,2), F(5,2), G(5,4)である。
影の部分の面積を2等分する直線の式を求めよ。
ABCDEFGyxO

平行四辺形の対角線の交点(中点)を通る直線は
その平行四辺形の面積を二等分する

→ 中点の求め方
3
A(-4,7), C(2, -1)より ACの中点は (-1, 3)
傾き2で点(-1,3)を通る直線を求める。
y=2x+bに(-1,3)を代入
3=2×(-1)+b
b=5
よって y=2x+5

4
平行四辺形AOBCの対角線の中点と、正方形DEFGの対角線の中点を
通れば、それぞれの図形の面積を2等分するので
影の部分の面積を2等分出来る。
O(0,0),C(12,8)よりOCの中点は(6,4)
D(3,4),F(5,2)よりDFの中点は(4,3)
2点(6,4)と(4,3)を通る直線を求める。
傾き=(4-3)÷(6-4)=12
y=12x+bに(4,3)を代入
3=12×4+b
b=1
よってy=12x+1

関数と図形(面積を二等分する直線2) 2解説

2. A(-8,6), B(10, -12), C(12,11)の△ABCで、辺AC上にP(4,9)がある。 点Pを通り、△ABCの面積を2等分する直線の式を求めよ。 ABCOPxy


A(-8, 6), C(12, 11), P(4, 9)より
AとPのx座標の差=4-(-8)=12
PとCのx座標の差=12-4=8
よってAP:PC=12:8=3:2
ABCOPxy23
Pを通り、△ABCの面積を2等分する直線と
ABとの交点をKとする。
AP:PC=3:2なので面積比△AKP:△PKC=3:2
△AKP:四角形PKBC=1:1=3:3なので
△CKBを1として△ACK:△CKB=5:1である。
よって線分比AK:KB=5:1となる
ABCOPxyK23
Aのx座標-8, Bのx座標10なので
Kのx座標をxとすると
x-(-8):10-x=5:1
5(10-x)=x-(-8)
50-5x = x+8
-6x = -42
x = 7
Aのy座標6, Bのy座標-12なので
Kのy座標をyとすると
6-y:y-(-12)=5:1
5(y+12)=6-y
5y+60=6-y
6y=-54
y=-9
よってK(7,-9)
P(4,9), K(7,-9)を通る直線を求める。
傾き = (-9-9)÷(7-4)=-18÷3=-6
y=-6x+bに(4,9)を代入
9=-6×4+b
b=9+24
b=33
よって直線y=-6x+33

円と接線 1⑦解説

1. 各図で、直線l,mはそれぞれ点P,Qで円Oに接している。xの値を求めよ。
lOPQ48°xm

円外の1点からその円に引いた2本の
接線の長さは等しいので AQ=APである。
すると△APQは二等辺三角形なので、
底角が等しい。(∠AQP=∠APQ)
よって ∠APQ = (180-48)÷2=66
lOPQ48°xmA

等式の変形3 ⑫解説

( )内の文字について解きなさい。
⑫ a(2x+y)=ct(x)

a(2x+y)=ct  分配法則でかっこを開く
2ax+ay=ct   +ayを移項
2ax=ct-ay  両辺を2aで割る
x=ct-ay2a
x=ct2a-y2

いろいろな因数分解2 2⑤⑥解説

⑤4(x+2y)2+12(x+2y)+9
⑥9(2a-3b)2-30(2a-3b)+25

x+2y=Aとおきかえて因数分解する。
4(x+2y)2+12(x+2y)+9
=4A2+12A+9
=(2A)2+2×3×(2A)+32
= (2A+3)2
= {2(x+2y)+3}2
= (2x+4y+3)2


2a-3b=Aとおきかえて因数分解する。
9(2a-3b)2-30(2a-3b)+25
=9A2-30A+25
= (3A)2-2×5×(3A)+52
= (3A-5)2
= {3(2a-3b)-5}2
= (6a-9b-5)2

円周角6 ⑫解説

xの値を求めよ。ただし、点Oは円の中心である。
29°64°xO

29°64°xOABCDE BCに補助線を引く。
∠ABCは直径の円周角なので∠ABC=90°
△ABCで∠ABC=90°、∠BAC=64°なので
∠ACB=180°-90°-64°=26°
∠ACBと∠ADBはともに弧ABに対する円周角である。
「等しい弧に対する円周角は等しい」ので
∠ADB=∠ACB=26°
△AEDで「三角形の外角はそれと隣り合わない2つの内角の和に等しい」ので
∠AEB= 29°+26° = 55°

円周角5 ⑪⑫解説

それぞれのxの値を求めよ。ただし、点Oは円の中心である。
Ox21°   24°x48°O


Ox21°ABCDE DEに補助線を引く。
∠EDAは弧AEに対する円周角だが、
∠ABEも同じく弧AEに対する円周角なので
∠EDA=∠ABE=21°である。
また、∠EDCは直径に対する円周角なので
∠EDC=90°となる。
よって ∠x = ∠EDC - ∠EDA
= 90° - 21°
= 69°



24°x48°OABCD24° ∠ADBは弧ABに対する円周角だが、
∠ACBも同じく弧ABに対する円周角なので
∠ADB=∠ACB=24°
また、∠BACは直径に対する円周角なので
∠BAC=90°
△ABDの内角の和を考えると
48°+24°+90°+x=180°
x = 180°-48°-24°-90°
= 18°

平行四辺形 折り返し1 1解説

1. 正方形ABCDで、辺AD,BCの
それぞれの中点をP,Qとする。
頂点Bが直線PQ上にくるように折り返す。
そのときの折り目FCとPQの交点をGとする。
∠EGCの大きさを求めよ。
PQABCDEFG

PQABCDEFG BEに補助線を引く。
直線PQは辺BCの垂直二等分線なので
EB=ECとなる。
ところが、ECは辺BCを折り返したものであるから
BC=EC=EBとなり△EBCは正三角形となる。
よって∠BEC=∠EBC=∠BCE=60°
∠ECG=∠QCG(折り返した角)より∠QCG=30°
直線PQは辺BCの垂直二等分線なので∠GQC=90°
すると、三角形の外角はそれと隣り合わない内角の和に等しいので
∠EGC = ∠QCG+∠GQC
= 30°+90°
= 120°

三角形証明(発展1) 1解説

1 図の△ABCはAB=AC,∠BAC=90°の直角二等辺三角形である。 △ADEはAD=AE,∠DAE=90°の直角二等辺三角形である。このときBD=CEを証明しなさい。 A B C D E

仮定を図に描き入れる。 ABCDE
BD, CEをそれぞれ1辺とする三角形の
△ABDと△ACEの合同を証明する。
ABCDE
△ABDと△ACEを比べてみると
仮定より AB=AC, AD=AE となっている。
また、∠BAC=90°なので∠BAD=90°-∠DAC
∠DAE=90°なので∠CAE=90°-∠DACである。
つまり∠BADと∠CAEはともに 90°-∠DAC で表せるので
同じ角度である。
よって ∠BAD=∠CAE
ABCDE
したがって2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABD≡△ACEとなる。
合同な三角形では対応する辺が等しいので
BD=CEとなる。

2乗に比例する関数 変域1 1(1)解説

1(1)
関数y=2x2について、xの変域が1≦x≦5のときのyの変域を求めよ。

y=2x2のグラフを 1≦x≦5の範囲で描く。
すると、x=1のときyが最小値、x=5のときyが最大値になることがわかる。
y=2x2にx=1を代入すると y=2
y=2x2にx=5を代入すると y=50
よってyの変域は 2≦y≦50 となる。
15Oxy

2次方程式総合問題Lv.3 2(2)解説

2(2)
2次方程式x2+ax-2=0の解の1つが x=32 で、もう1つは2次方程式x2+10ax+b=0の解の1つになっている。a,bの値を求めよ。

x2+ax-2=0に x=32 を代入
(32)2+32a-2=0
94+32a-2=0
9+6a-8=0
6a=-1
a=-16
これをx2+ax-2=0に代入
x2-16x-2=0
6x2-x-12=0
x=1+4×6×1212
x=28912
x=1±1712
x=-43,32
x2+ax-2=0のx=32ではない方の解x=-43
x2+10ax+b=0の解になっているので
x=-43とa=-16をx2+10ax+b=0に代入
(-43)2+10(-16)(-43)+b=0
169+209+b=0
16+20+9b=0
9b=-36
b=-4

作図1 4解説

4. 空らんにあてはまる語句を書きなさい。
(1)とは最短の道のりのことである。 (2)点と直線の距離はである。 (3)線分AB の上の点は A と B からの距離が等しい。 (4)上の点は、2 直線からの距離が等しい

図形で距離とは、最短の道のりのことである。
点Aから点Bに最短の道のりで到達するには
AからBに真っ直ぐな線を引けば良い。
つまり、2点AB間のの距離とは線分ABの長さである。

点Aから直線lに最短の道のりで到達するには
点Aから直線lに垂線を引けば良い。
つまり、点と直線の距離とは垂線の長さである。
Pl
線分ABの垂直二等分線上の点は
点Aと点Bからの距離が等しい。
つまり、2点から等しい距離にある点は
その2点による線分の垂直二等分線上にある。
AB
∠AOBの二等分線上の点は
辺OAと辺OBからの距離が等しい。
つまり、2直線から等しい距離にある点は
その2直線による角の二等分線上にある。
ABO

平行四辺形になるための証明1 4解説

(4) 図のABCDで∠BAE=∠DCFのとき四角形AECFが平行四辺形となることを証明せよ。
ABCDEF

∠BAE=∠DCFが仮定にあることから△BAEと△DCFに着目してこれらの合同を証明する。
△BAE≡△DCFが証明できればAE=CFとなるので、
「2組の対辺がそれぞれ等しい」または「1組の対辺が平行でその長さが等しい」
のどちらかの条件が考えられる。
今回は後者のほうが少し簡単にできるのでそちらで証明する。

仮定より∠BAE=∠DCF、
平行四辺形の性質よりAB=CD、
AB//CDで平行線の錯角より∠ABE=∠CDF
1辺とその両端の角がそれぞれ等しいので△ABE≡△CDFとなる。
ABCDEF
合同な三角形の対応する辺は等しいのでAE=CF

さらにAEとCFの平行を証明するための錯角は
∠AEFと∠CFE であるが、
∠AEF=180°-∠AEB, ∠CFE=180°-∠CFD
∠AEB=∠CFD(合同な三角形の対応する角)なので、
180°から同じものを引くことになり ∠AEF=∠CFEとなる。
錯角が等しいため AE//CFである。

よって「1組の対辺が平行でその長さが等しい」ので
AECFは平行四辺形である。
ABCDEF

展開(いろいろな計算1) 2解説

次の式を展開しなさい。
(4x2-8xy)÷4x+3x+y 5a+b+(8a2-4ab)÷4a (8x2y+4xy2)÷2xy-(5y-2x) x2+4x-(6x2y+12xy-9y)÷3y

①(4x2-8xy)÷4x+3x+y
=4x24x-8xy4x+3x+y
=x-2y+3x+y
=4x-y


5a+b+(8a2-4ab)÷4a
=5a+b+8a24a-4ab4a
=5a+b+2a-b
=7a

③(8x2y+4xy2)÷2xy-(5y-2x)
=8x2y2xy+4xy22xy-5y+2x
=4x+2y-5y+2x
=6x-3y

④x2+4x-(6x2y+12xy-9y)÷3y
=x2+4x-6x2y3y-12xy3y+9y3y
=x2+4x-2x2-4x+3
=-x2+3

円と接線2 2解説

2. 図で円Oが△ABCの各辺に接しており、点P,Q,Rが接点のとき、問いに答えよ。
ABCOPQR8115 ABCOPQR202129

円外の1点からその円に引いた2本の接線の長さは等しい。

円の接線は接点を通る半径と垂直である。


円外の1点からその円に引いた
2本の接線の長さは等しいので
AQ=AR, BR=BP, CP=CQである。
AQ=xとする。
AQ=AR=xなので
BR=5-AR
= 5-x
よって BP=5-x

CQ=11-AQ
=11-x
よってCP=11-x
BP+CP=8
5-x+11-x=8
-2x = -8
x=4
ABCOPQR8115xx

円外の1点からその円に引いた
2本の接線の長さは等しいので
AR=AQ, BR=BP, CQ=CPである。

また、接線は接点を通る半径と垂直なので
OQ⊥AC, OP⊥BCである。
さらに、∠C=90°(仮定)より∠QOP=90°となり、
四角形OPCQは全ての角が90°なので長方形であるが、
OQ=OP(半径)より全ての辺が等しくなるので
四角形OPCQは正方形となる。

円Oの半径をxとすると
CQ=CP=x より
AQ=21-x
よって AR=21-x

BP=20-x
よってBR=20-x

AR+BR=29
21-x+20-x=29
-2x = -12
x=6
ABCOPQR202129xx

中学数学の要点をわかりやすく説明

全く初めて勉強する分野や、習ったけれど忘れてしまったような事柄でも理解できるように基本事項を説明しています。  学校で習ったけれど理解できていない場合や、理解しているつもりでも得点に結びついていないような場合でも基本事項をよく理解した上で問題に取り組むことをおすすめします。

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更新履歴

5/19
2年問題 関数と図形(面積を二等分する直線2)
4/14
2年問題 平行四辺形 折り返し1 2年問題 平行四辺形 折り返し2
3/4
例題 共通接線
2/26
例題 三平方_座標(点と直線の距離) 例題 三平方_座標(最短距離)
2/21
例題 三平方の定理_座標平面の三角形
2/15
例題 三平方の定理_二等辺三角形の面積 例題 三平方の定理_台形の面積
2/14
例題 三平方の定理_最短経路

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