LasstUpdate 2019/05/22
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平行線の錯角・同位角 標準問題(9)

l//mのとき∠xの大きさを求めよ。
(9) l m x 61° 111° 80° 50°

lm61°111°50°80°50°30°x61°119° 図のようにl,mと平行な補助線を2本引く。(赤と青)
61°の同位角が図の位置にあるので、180-61=119
∠xを含む三角形の1つの内角が119°になる。
また、50°の錯角を80°から引いて 80-50=30
この30°の錯角と111°の和 30+111=141°が
∠xを含む三角形の外角になるので、
x+119=141
x=22

いろいろな因数分解1 3②

3.次の式を因数分解しなさい。
② 4x2y-12xy+9y

yが共通因数になっているのでこれをくくりだし、
次に2x=Aと置き換えると2乗の因数分解ができる。

4x2y-12xy+9y
= y(4x2-12x+9)
=y(A2-6A+9)
=y(A-3)2
=y(2x-3)2

方程式いろいろ2 2③④⑤⑥

2.つぎの方程式を解きなさい。
③ 12(23x+54)=8(12x-34)+3
83(6x+94)-125(103x-52)=2x-3
⑤ 0.84x-(0.01x+2.3)=0.03x-0.5
⑥ 0.03(2x+3.5)=0.05(x-2.4)+0.315


分配法則でカッコを開いて計算する。
12(23x+54)=8(12x-34)+3
8x+15 = 4x-6+3
8x-4x = -6+3-15
4x = -18
x = -92


分配法則でカッコを開いて計算する。
83(6x+94)-125(103x-52)=2x-3
16x+6-8x+6 = 2x-3
16x-8x-2x = -3-6-6
6x = -15
x = -52


小数をなくすために両辺に1000をかけてから計算する。
0.84x-(0.01x+2.3)=0.03x-0.5
84x-(x+230) = 3x-50
84x-x-230 = 3x-50
84x-x-3x = -50+230
80x = 180
x = 94


小数をなくすために両辺に10000をかけてから計算する。
0.03(2x+3.5)=0.05(x-2.4)+0.315
30(2x+3.5) =50(x-2.4)+315
60x + 105 = 50x-120+315
60x-50x =-120+315-105
10x = 90
x=9

いろいろな因数分解1 3④

3. 次の式を因数分解しなさい。
④ 12a3+12a2+3a

3aが共通因数となっているのでこれをくくりだしたあと、2a=Aと置き換えて因数分解する。
12a3+12a2+3a
= 3a(4a2+4a+1)
= 3a(A2+2A+1)
= 3a(A+1)2
= 3a(2a+1)2

因数分解4 1⑧

1. 因数分解しなさい
⑧ (x+y)2+4(x+y)+4

x+y=Aと置き換えて因数分解する。
(x+y)2+4(x+y)+4
= A2+4A+4
= (A+2)2
= (x+y+2)2

展開(おきかえ) 2⑥

2. 次の式を展開しなさい。
⑥ (a+3b-4)(a-3b-4)

a-4=Aと置き換えて展開する。
(a+3b-4)(a-3b-4)
=(a-4 +3b)(a-4 -3b)
=(A+3b)(A-3b)
=A2 - 9b2
=(a-4)- 9b2
=a2-8a+16 -9b2
=a2-9b2-8a+16

式の値 4① 5②

4. x=3,y=-4のとき、次の式の値を求めよ。
① 12x2y÷15x÷(-25y)

5. a=16,b=-12のとき、次の式の値を求めよ。
② 2b-3a+7b3

4①
式を計算して簡単にする
12x2y÷15x÷(-25y)
= 12x2115x×(-52y)
= -12×515×2×x2yxy
= -2x
これにx=3を代入すると
-2x = -2×3 =-6

5②
式を計算して簡単にする
2b-3a+7b3
= 6b-3a-7b3
= -3a-b3
= -a-b3
これにa=16, b=-12を代入すると
-a-b3= -16+123 =-16+4 = -12

乗法と除法の混じった計算1 2④

2. 次の計算をせよ。
④ -4st×32s÷8t

途中式
-4st×32s÷8t
= -4st×3218t
= -4st×3s2×8t
= -12s2t16t
= -3s24

方程式総合問題L4 3(1)(2)

(1)男女合わせて32人のクラスで、男子の平均点が68点、女子の平均点が76点、クラス全体の平均点が72.5点だった。 このクラスの男子と女子の人数をそれぞれ求めよ。

(2)生徒が長いすに座る。一つの長いすに4人ずつ座ると、座れない生徒が21人いる。5人ずつ座ると長いすがちょうど7脚あまった。 生徒の数と長いすの数をそれぞれ求めよ。

(1)
平均点 = 合計点数人数
より
合計点数 = 平均点×人数

クラスが32人なので男子x人とすると女子は(32-x)人となる。
男子女子クラス人数x(32-x)32平均点687672.5合計点数68x76(32-x)32×72.5=2320
男子の合計点と女子の合計点の和がクラスの合計点なので
68x+76(32-x)=2320
これを解くと
68x+2432-76x=2320
68x-76x =2320 - 2432
-8x = -112
x =14
32 -14 = 18
男子14人、女子18人

(2)
長いすの数をx脚とする。
1つに4人ずつ座ると 4x人がいすに座り、21人が座れないので (4x+21)が生徒の数である。
5人ずつ座る場合、使わないいすが7あるので(x-7)脚、これに5人座れば 5(x-7)が生徒の数である。
(4x+21)と5(x-7)はともに同じもの(生徒数)を表すのでイコールで結ぶ。
4x+21 = 5(x-7)
これを解くと
4x+21 = 5x-35
4x-5x = -35-21
-x = -56
x=56
生徒数は 4x+21 に x=56を代入すると
4×56+21=245
答 長いす56脚、生徒245人

式の計算の利用 1

1. 
x2+2x+a を因数分解すると、(x+3)(x+m) になるという。mとaの値を求めなさい

因数分解は 展開の逆 なので
x2+2x+a を因数分解して、(x+3)(x+m) になるなら
(x+3)(x+m) を展開すればx2+2x+aになる。
そこで (x+3)(x+m)を展開してみる。
(x+3)(x+m)
= x2+(3+m)x+3m
この式がx2+2x+aと等しいので
3+m = 2, 3m = aである。
3+m=2
m=-1
3×(-1)=a
a=-3

平方根1 4

4. 次の文が正しければ○、間違っていれば×を書きなさい。
(1) 9 の平方根は 3 だけである。
(2) 0.01 の平方根は 0.1 と-0.1 である。
(3) x2の平方根は x である。
(4) –25 の平方根は存在しない
(5) 0 の平方根は 0 だけである。

2乗するとAになる数をAの平方根という。
(□)2 = A
□にあてはまる数がAの平方根である。

Aが正の数のときには平方根は2つ(正と負)ある。
Aが負の数のときには平方根は存在しない。
Aが0のときは平方根は0だけである。

(1) 9の平方根は3と-3の2つである。
(2) 計算してみると、 (0.1)2 = 0.01
(-0.1)2 = 0.01
このように0.1, -0.1ともに2乗すると0.01になるので
「0.01 の平方根は 0.1 と-0.1 である。」は正しい。
(3) x2は正の数なので平方根は2つ、xと-xである。
(4) -25のように負の数の平方根は存在しない。
よって 「–25 の平方根は存在しない」はただしい。
(5) 2乗して0になる数は 0だけなので
「0 の平方根は 0 だけである。」は正しい。

相似と線分比3 3(1)

3(1)
 CDの長さを求めなさい。 A B C D E F

CDは△BCDの1辺で、△BCDと△BEFは相似である。
CDと対応するEFの長さは15cmなので、
△BCD∽△BEFの相似比がわかればCDの長さが出せる。
そのため△ABC∽△FECを利用してBC:BEの線分比を出す。
このとき△BCD∽△BEFの相似比と△ABC∽△FECの相似比は一致しないことに注意する。


ABCEF10cm15cm AB//EFより錯角は等しいので、∠CAB=∠CFE,∠CBA=∠CEF
2組の角がそれぞれ等しいので△ABC∽△FEC
辺ABと辺FEが対応するので、
AB=10, FE=15より相似比は2:3となる。

BCE235 CD//EFより、同位角は等しいので∠BCD=∠BEF, ∠BDC=∠BFE
2組の角がそれぞれ等しいので△BCD∽△BEF

△ABC∽△FECの相似比が2:3なので
BC:EC=2:3なので、BC:BE=2:5である。

BCDEF52x15cm よって△BCD∽△BEFの相似比は2:5となる。
CD=xとするとx:15=2:5
x=6

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解説
3年相似と線分比1 2(2)
2年 等積変形の5 式による説明1 (5)

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