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LasstUpdate 2021/01/16

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円周角2 ⑦

42°x50°

42°x50°ABCDE CEに補助線を引く
∠ACEと∠ADEはともにAE
対する円周角なので等しい。 ∠ACE=∠ADE=42°

∠ECDと∠EBDはともにDE
対する円周角なので等しい。∠ECD=∠EBD=50°
∠ACD = ∠ACE+∠ECD = 42°+50°=92°

平行四辺形の性質の利用3 1

1.   図で四角形ABCDは平行四辺形である。また△BCEは∠CBE=90°,BC=BEの直角二等辺三角形で、△DCFは∠CDF=90°、CD=FDの直角二等辺三角形である。このとき△ABE≡△FDAを証明せよ。 A B C D E F

仮定の∠CBE=90°,BC=BE,∠CDF=90°,CD=FD,
さらに,平行四辺形の性質のうち,
△ABEと△FDAに関わるAB=CD,BC=AD
を図にかき入れる。
ACDEFB
△ABEと△FDAに着目すると
AB=FD,BE=DAとなっていることがわかる。

また,∠ABEと∠FDAについては角の引き算を考えると
∠ABE =360°-∠CBE-∠ABC
= 360°-90°-∠ABC
= 270° - ∠ABC

∠FDA =360°-∠FDC-∠CDA
= 360°-90°-∠CDA
= 270° - ∠CDA

平行四辺形の性質から
∠ABC=∠CDAとなるので
270°-∠ABC = 270°-∠CDA
よって ∠ABE = ∠FDA
ACDEF
すると2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので△ABEと△FDAの合同が証明できる。

【証明】
△ABEと△FDAにおいて
AB=CD(平行四辺形の対辺)…①
FD=CD(仮定) …②
①②よりAB=FD …③
BE=BC(仮定) …④
BC=DA(平行四辺形の対辺) …⑤
④⑤よりBE=DA …⑥
∠ABE=360-∠ABC-∠EBC …⑦
∠FDA=360-∠CDA-∠FDC …⑧
∠ABC=∠CDA(平行四辺形の対角) …⑨
∠EBC=∠FDC=90°(仮定) …⑩
⑦⑧⑨⑩より∠ABE=∠FDA… ⑪
③⑥⑪より2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので△ABE≡△FDA

三角形証明(発展3) 3

図は正方形ABCDである。頂点Bを通る直線mにAとCからそれぞれ垂線をおろし、その交点をE,Fとするとき、△ABE≡△BCFとなることを証明せよ。
A B C D E F m

仮定は
ABCDが正方形であること
AE,CFがそれぞれmと垂直であること
である。

着目する三角形は△ABEと△BCFで,
AE,CFがそれぞれmと垂直であることから,
∠AEB=∠BFC=90° となる。
また,ABCDが正方形であることから
すべての辺が等しいので AB=BC である。
ABCDEFm
さらに正方形はすべての角が90°なので
 ∠ABE+∠CBF=90° 
よって, ∠ABE = 90°-∠CBF
ABCDEFm
また,△BCFで内角の和は180°,∠BFC=90°より
 ∠BCF+∠CBF +∠BFC= 180°
 ∠BCF +∠CBF +90°= 180°
 よって, ∠BCF = 90° - ∠CBF
ABCDEFm
∠ABE, ∠BCFがともに (90° - ∠CBF) で表せるので等しいことがわかる。
したがって ∠ABE = ∠BCF
わかった条件を図示すると
ABCDEFm
直角三角形で斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので
△ABE≡△BCFとなる。

【証明】

△ABEと△BCFにおいて
∠ABC=90°(正方形の角)より
∠ABE=90°-∠FBC ・・・①
内角の和が180°で∠BFC=90°より
∠BCF=90°-∠FBC・・・②
①、②より∠ABE=∠BCF・・・③
AB=BC(正方形の辺)・・・④
∠AEB=∠BFC=90°(垂線)・・・⑤
③、④、⑤より直角三角形で斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので△ABE≡△BCF

放物線と直線の変域が一致する1 (7)(8)

(7) a>0の放物線y=ax2と 直線y=-94x+b について -2≦x≦6 でyの変域が一致する。
aとbの値をそれぞれ求めよ。

(8) a>0の放物線y=ax2と直線y=43x+bについて-3≦x≦6でyの変域が一致する。
aとbの値をそれぞれ求めよ。

(7)
a>0の放物線y=ax2のグラフを-2≦x≦6の範囲に描く。 xyO-26
グラフから x=6のとき最大値 y= 36aとなり, x=0のときに最小値 y=0となる。 xyO-2636a
直線のグラフは必ず変域(長方形)の対角線になり、 傾きが負のときは左上と右下の2点を通る。 この場合(-2, 36a)と(6,0)である。 xyO(-2, 36a)(6, 0)
y=-94x+b に(6,0)を代入すると
0=-94×6+b
b=272

y=-94x+272に(-2,36a)を代入すると
36a=-94×(-2)+272
a=12


(8)
a>0の放物線y=ax2のグラフを-3≦x≦6の範囲に描く。 xyO-36
グラフから x=6のとき最大値 y= 36aとなり, x=0のときに最小値 y=0となる。 xyO-3636a
直線のグラフは必ず変域(長方形)の対角線になり、 傾きが正のときは左下と右上の2点を通る。 この場合(-3, 0)と(6, 36a)である。 xyO(-3, 0)(6, 36a)
y=43x+b に(-3,0)を代入すると
0=43×(-3)+b
b=4

y=43x+4に(6,36a)を代入すると
36a=43×6+4
a=13

放物線と直線の変域が一致する2 (5)

(5)
a<0の放物線y=ax2と直線y=-23x+bについて-8≦x≦4でyの変域が一致する。
aとbの値をそれぞれ求めよ。

a<0の放物線y=ax2のグラフを-8≦x≦4の範囲に描く。 xyO-84
グラフから x=-8のとき最小値 y= 64aとなり, x=0のときに最大値 y=0となる。 xyO-8464a
直線のグラフは必ず変域(長方形)の対角線になり、 傾きが負のときは左上と右下の2点を通る。 この場合(-8, 0)と(4,64a)である。 xyO(-8,0)(4,64a)
y=-23x+bに(-8,0)を代入すると
0=-23×(-8)+b
b=-163


y=-23x-163に(4,64a)を代入すると
64a=-23×4-163
a=-18

特別な平行四辺形1 5

5. 図で四角形ABCDはひし形である。x、yの値を求めなさい。 A B C D 76°

ABCD76°O ひし形は4つの辺がすべて等しい四角形である。
また,ひし形の対角線は垂直に交わる。

すると,△ABCはBA=BCの二等辺三角形で
底角が等しいので∠BAO=∠BCO=76°
つまり x=76

△BCOで∠BOC=90°,∠BCO=76°なので
∠CBO = 180°-90°-76°=14°
また,△BCDはCB=CDの二等辺三角形で
底角が等しいので∠CDO=∠CBO=14°
つまり y=14

円周角4⑪

xの値を求めよ。ただし、点Oは円の中心である。
O25°20°36°x

AOに補助線を引くと
△OACが二等辺三角形なので
∠OAC=∠OCA=20°
△OAEも二等辺三角形なので
∠OAE=∠OEA=36°
よって
∠CAE = 20°+36° =56°
O25°20°36°xABCDEF36°20°

ADに補助線をひくと
∠CADと∠CBDはともにCD
に対する円周角なので
∠CAD = ∠CBD=25°
∠DAEと∠DFEはともにDE
に対する円周角なので
∠DAE=∠DFE=x
よって
∠CAE = 25°+x = 56°
x = 31°
O25°20°36°xABCDEF25°x

合同の証明4 3

3 図でDF//BC, DE//ACである。
 このときDF=CEを証明せよ。
ABCDEF

結論「DF=CE」の
CEを1辺とする三角形は△FECだけである。
DFを1辺とする三角形は△ADFと△EFDの2つある。
△ADFと△FECでは,等しい辺が簡単に見つからないが
△EFDと△FECでは共通の辺EFがあるので
△EFDと△FECに着目する。
ABCDEF ABCDEF

 仮定の DF//BCで
 △EFDと△FECに関する角は,
 錯角の∠DFE=∠CEFがある。
ABCDEF
 また, DE//ACで
  △EFDと△FECに関する角は,
 錯角の∠DEF=∠CFEがある。
ABCDEF

これに EFが共通 を加えると
合同条件「1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」を満たす。
ABCDEF
△EFD≡△FECであれば, 合同な図形の対応する辺で DF=CEが証明できる。

【証明】
△DFEと△CEFにおいて
EF=FE(共通)
∠DFE=∠CEF(平行線の錯角)
∠DEF=∠CFE(平行線の錯角)
よって1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので△DFE≡△CEF
合同な図形の対応する辺は等しいのでDF=CE

2乗に比例する関数 総合問題2 1(5)

1(5)   関数y=ax2で、xの変域が2≦x≦6のときのyの変域が-9≦y≦bだった。a,bの値をそれぞれ求めよ。

yの変域が負なので,a<0である。
a<0の関数y=ax2を 2≦x≦6 の範囲で
グラフにすると,x=2のとき最大値, x=6のとき最小値となる。
つまり グラフは(6,-9)を通るので, y=ax2に(6, -9)を代入する。
-9=36a
a = -14

y = 14x2
(2, b)を代入すると
b = -14×22 = -1
xy26-9b

1・2年の復習Lv2_5 4

4. 直線l,m,nの式はそれぞれy=-2x+8, y=x+2, y=-13x-2である。 またlとmの交点をA, mとnの交点をB, nとlの交点をCとする。△ABCの面積を求めよ。 lmnxyOABC

点A,B,Cの座標をそれぞれ求める。
点A
l:y=-2x+8と m:y=x+2を連立してx,yを出す。
-2x+8 = x+2
-3x = -6
x =2
これをlの式に代入
y=-2×2+8 = 4
A(2, 4)

点B
m:y=x+2とn:y=-13x-2の式を連立してx,yを出す。
x+2=-13x-2
3x+6=-x-6
4x=-12
x=-3
これをmの式に代入
y=-3+2 =-1
B(-3, -1)

点C
l:y=-2x+8とn:y=-13x-2の式を連立してx,yを出す。
-2x+8=-13x-2
-6x+24=-x-6
-5x=-30
x=6
これをlの式に代入
y=-2×6+8 = -4
C(6, -4)

△ABCを図のように長方形DECFで囲って
長方形の面積から3つの三角形の面積を引いて△ABCの面積を出す。
lmnxyOC(6,-4)DEFAB(-3,-1)(2,4)983455
長方形DECFは縦8, 横9なので
面積=8×9=72
△ADBの面積=5×5÷2=252
△BECの面積=9×3÷2=272
△ACFの面積=4×8÷2=16
△ABC = 長方形DECF -△ADB -△BEC -△ACFより
△ABC = 72-252-272-16=30

相似の証明2 2

2. △ABCの頂点B, Cからそれぞれ辺AC, ABに垂線を引き、交点をそれぞれD, Eとする。
(1) △ABD∽△ACEを証明せよ。
(2) AB=9cm, AC=8cm, DがACの中点のときAEの長さを求めよ。
ABCDE

(1)
仮定より
AB⊥EC, AC⊥BDなのでこれを図に描き入れる。
また,∠Aが共通になっている。
ABCDE
△ABDと△ACEを方向をそろえて描く。 ABCDEA
図からもわかるとおり
2組の角がそれぞれ等しくなっているので相似である。
【証明】
△ABDと△ACEにおいて
∠BAD=∠CAE(共通)
∠BDA=∠CEA=90°(仮定)
よって2組の角がそれぞれ等しいので△ABD∽△ACE


(2)
AB=9cm, AC=8cm, AD=4cm である。
ABCDEA9cm8cm4cm
AEとADは,対応する辺である。
相似な図形で対応する辺の比はすべて等しいので
AE:AD = AC:AB
AE:4 = 8:9
9AE = 32
AE = 329

放物線と直線の変域が一致するLv2 (3)

(3)
放物線y=ax2とm<0の直線y=mx+8について-2≦x≦4でyの変域が一致する。
aとmの値をそれぞれ求めよ。

-2≦x≦4の範囲でグラフが正の部分にある。
放物線y=ax2は,これと変域が一致するのでa>0である。
-2≦x≦4の範囲で放物線をかくと図のようになり
x=4で最大値y=16a,
x=0で最小値y=0である。
-24Oxy16a
これと変域が一致するように傾きが負の直線y=mx+8をかくと
2点(4,0),(-2,16a)を通ることがわかる
-24Oxy16a

y=mx+8に(4,0)を代入すると
0=4m+8
m=-2

y=-2x+8に(-2,16a)を代入すると
16a=-2×(-2)+8
16a=12
a=34

1・2年の復習Lv1_5 4

4
y=axのグラフ上に点Aと点Bがある。 点Aの座標は(2,12),点Bのx座標は4である。
(1)aの値を求めよ。(2)点Bのy座標を求めよ。(3)三角形AOBの面積を求めよ。
ABOxy

(1)
y=axに(2,12)を代入すると
12=a2
a = 24

(2)
y=24xにx=4を代入すると
y=244=6

(3)
BOxyA(2,12)(4,6)4122246612 △AOBを図のように縦12, 横4の長方形で囲って
長方形の面積から3つの白い三角形の面積を引けば
△AOBの面積が出る。
長方形の面積 = 12×4 =48
右上の三角形の面積 = 2×6÷2 =6
左の三角形の面積 = 2×12÷2=12
右下の三角形の面積 = 4×6÷2=12
よって
△AOBの面積 = 48-6-12-12 = 18

円周角4 ⑫

それぞれのxの値を求めよ。ただし、点Oは円の中心である。

Ox28°40°30°


Ox28°40°30°ABCDE68°40° ∠ACBと∠ADBはともに弧ABに対する円周角なので
∠ACB = ∠ADB =40°
すると∠EDB=∠EDA+∠ADB = 28°+40°=68°

Ox30°BDE68°30°x 補助線ODを引く
△OBDはOB=OD(半径)より二等辺三角形となる。
二等辺三角形の底角は等しいので
∠OBD=∠ODB=30°
△ODEもOD=OE(半径)より二等辺三角形となる。
二等辺三角形の底角は等しいので
∠OED=∠ODE=x
よって
x = 68°-30° =38°

y=ax2のグラフ2 1③

1. A,Bの座標が次のそれぞれの場合において、y=ax2のグラフが線分AB(両端を含む)と交わるようなaの値の範囲を求めよ。
③A(-2,12), B(6,12)

y=ax2のグラフは,aの絶対値が小さいほど
グラフの開き方が大きくなるので
図のようにグラフが点Bを通るときに
aの値が最小となる。
B(6,12)をy=ax2に代入すると,
12=a×62
a = 13

また、aの絶対値が大きいほど,
グラフの開き方がせまくなるので,
図のように,線分ABがy軸を横切っている場合
aがどんなに大きくても線分ABと交わる。

よってグラフが線分ABと交わるときのaの値の範囲は
13 ≦ a となる。
ABxyOy=ax2のグラフ(-2,12)(6,12)aの値が大きいとき

y=ax2のグラフ2 3解説

3.  図の放物線lはy=-12x2, 放物線mはy=ax2のグラフである。
直線x=2とそれぞれの放物線l,mとの交点をA, Bとして、
x軸との交点をCとする。CA:AB=1:2のとき、aの値を求めよ。
ABCxyOlmx=2

点Aは放物線l上の点でx=2なので, x=2をy=-12x2に代入すると
y = -12×22
y = -2 よって A(2, -2)
点Bは放物線m上の点でx=2なので,x=2をy=ax2に代入すると
y=a×x2
y=4a よって B(2, 4a)
点Cはy軸上の点でx=2なので C(2,0)
したがって
CA = 0-(-2) = 2
AB = -2 -4a
CA:AB=1:2より
2:(-2-4a)=1:2
これを解くと
4=-2-4a
4a = -2-4
4a = -6
a = -32

円と接線2 3解説

3.  図で円Oが△ABCの各辺に接している。△ABCの面積が360のとき円Oの半径を求めよ。
ABCOPQR362925

AO,BO,COに線をひき,△ABCを3つの三角形にわける。
「接点を通る半径と接線は垂直」なので
円Oの半径ORは△OABでABを底辺としたときの高さである。
同じく,半径OPは△OBCでBCを底辺としたときの高さ,
半径OQは△OCAでACを底辺としたときの高さとなる。
ABCOPQR362925

円Oの半径をrとすると
△OABの面積
底辺AB = 25, 高さOR = r より
△OAB = 25 × r ÷ 2 = 252r
△OBCの面積
底辺BC = 36, 高さOP = r より
△OBC = 36 × r ÷ 2 = 18r
△OCAの面積
底辺AC = 29, 高さOQ = r より
△OCA = 29 × r ÷ 2 = 292r
△ABCの面積が360なので
△ABC = △OAB + △OBC + △OCA より
360 = 252r+18r+292r
これを解くと
360 = 45r
r = 8

合同の証明2 2

2.図で点Dは辺ABの中点で、DF//BC、DF=BEと
なって いる。このとき△ADF≡△DBEを証明せよ。
ABCDEF

仮定などをひとつひとつ図に描き入れる。
「Dは辺ABの中点」
ABCDEF
「DF=BE」
ABCDEF
「DF//BC」はそのままではなく、平行線の同位角または錯角を探す
すると∠ADFと∠DBEがDF//BCの同位角になっているので
∠ADF=∠DBE
ABCDEF

図からわかるとおり,△ADFと△DBEは「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」ので合同である。

【証明】
△ADFと△DBEにおいて
AD=DB(DはABの中点)
∠ADF=∠DBE(平行線の同位角は等しい)
DF=BE(仮定より)
よって2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ADF≡△DBE

比例のグラフ(基本問題) 1

1. 次の比例のグラフをかけ。
y=5x y=2x y=-4x y=-x x y O

比例のグラフは原点を通る直線なので,原点以外に通る点を見つけて,
その点と原点を通る直線を引く

y= 5x にx=1を代入すると
y=5×1 = 5
よってグラフは(1,5)を通る。
点(1,5)と原点(0,0)を通る直線が
y=5xのグラフである。
xyO(1,5)
y= 2x にx=1を代入すると
y=2×1 = 2
よってグラフは(1,2)を通る。
点(1,2)と原点(0,0)を通る直線が
y=2xのグラフである。
xyO(1,2)
y= -4x にx=1を代入すると
y=-4×1 = -4
よってグラフは(1,-4)を通る。
点(1,-4)と原点(0,0)を通る直線が
y=-4xのグラフである。
xyO(1,-4)
y= -x にx=1を代入すると
y=-1×1 = -1
よってグラフは(1,-1)を通る。
点(1,-1)と原点(0,0)を通る直線が
y=-xのグラフである。
xyO(1,-1)

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