LasstUpdate 2019/07/17
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方程式文章題(割合) 1解説

1. ある商品を仕入れて原価の5割の利益を見込んで定価をつけた。 定価では全く売れなかったので定価の3割引で売ったら1個に対する利益が30円だった。この商品の原価を求めよ。

原価をx円とする。
原価の5割は510x円、売値 = 原価 + 利益なので
原価の5割を見込んだ定価は x+510x = 1510x 円
定価の3割引きの値段は 定価×(1-310) = 1510710 = 105100x
この値段で売った場合利益が30円なので 105100x = x+30
105x =100x + 3000
5x = 3000
x = 600

連立方程式(かっこ3) 2④ 途中式

4(13x+18y)+5(415x+12y)=8 2(14x+516y)=10-6(29x+13y)

4(13x+18y)+5(415x+12y)=8…(1)
2(14x+516y)=10-6(29x+13y)…(2)

(1)のカッコをはずし、分母をはらって整理する
43x+12y+43x+52y=8
8x+3y+8x+15y=48
16x+18y=48
8x+9y=24…(1)'

(2)のカッコをはずし、分母をはらって整理する
12x+58y = 10-43x-2y
12x+15y = 240 - 32x-48y
12x+32x +15y+48y =240
44x +63y =240…(2)'

(1)'×7 - (2)'
56x+63y=168 -)44x+63y=240 12x =-72 x =-6…(3)
(3)を(1)'に代入
8×(-6)+9y=24
-48+9y=24
9y=72
y=8

1次関数まとめ3 1(3)解説

1. 次の問いに答えよ。
(3) y=ax+6 について  xの変域が2≦x≦10のときのyの変域がp≦y≦5でした。aとpの値を求めよ。

y=ax+6のグラフは切片が6だけわかっていて、傾きの正負はわからない。
ところがxの変域が 2≦x≦10のとき、yの変域がp≦y≦5 である(図の緑の範囲)
この変域内にグラフがあることから傾きがマイナスだとわかる。
よってxが最小の2のときにyが最大の5で、xが最大の10のときにyは最小のpになる。
//グラデーション1xyO2105切片6 //グラデーション1xyO2105切片6(2,5)(10,p)
y=ax+6に(2,5)を代入して
5=2a+6
a=-12
y=-12x+6に(10,p)を代入して
p = -12×10+6
p =-5+6
p=1

2乗に比例する関数 総合問題3 5解説

図のように台形ABCDと長方形PQRSが並んでいる。長方形を固定して台形を矢印の方向に毎秒1cmで辺ABと辺PQが重なるまで 移動する。移動し始めてからx秒後の2つの図形が重なる部分の面積をycm2とする。ABCDP(Q)RS4cm6cm6cm10cm10cm
(1)xの変域が次のときのxとyの関係を式で表わせ。
0≦x≦6 6≦x≦10

(2)重なる部分の面積が8cm2となるのは移動し始めてから何秒後か。

(1)

スタートから6秒でDとPが重なるので、0≦x≦6では
重なる部分は直角二等辺三角形である。
台形は毎秒1cmなので、x秒間でxcm動く。
すると面積は y=12x2
xx

6≦x≦10では重なる部分は台形になる。
下底はx, 上底は(x-6)なので
面積は y = (x+x-6)×6÷2 = 6x-18
x-6x6

(2)
スタートから6秒後の面積は18 (①②どちらの式に代入しても同じ値)
よって面積8になるのはスタートから6秒未満である。
したがってy=8を①のy=12x2に代入する。
8=12x2
x2=16
x=±4
0≦x≦6より x=4

方程式かっこ1 ②⑧解説

2.次の方程式を解きなさい
② 11-3(x+4)=5x+7
⑧ 2x-4(2x-3)=3(3x+7)


11-3(x+4)=5x+7↓カッコをはずす
11-3x-12=5x+7 ↓移項
-3x-5x=7-11+12↓足し算、引き算
-8x = 8↓両辺を-8で割る
x=-1


2x-4(2x-3)=3(3x+7)↓カッコをはずす
2x-8x+12 = 9x+21↓移項
2x-8x-9x =21-12↓足し算、引き算
-15x = 9↓両辺を-15で割る
x = -35

1次関数まとめ3 2解説

2. 次の直線の式を求めよ。
(1) 4x+3y-1=0 と平行で(3, 2)を通る直線。
(2) (2, 3)と(4, 3)を通る直線。
(3) (-1, 7)と(-1, 9)を通る直線。
(4) 傾き3で y=x+3 と y=2x-1 の交点を通る直線。
(5) 切片6で y=12x−5とx軸で交わる直線。

(1) 平行な直線どうしは 傾きが等しい。
4x+3y-1=0 を変形すると
y = -43x+13
傾きが -43なので
y = -43+bに(3,2)を代入すると
2=-4+b
b=6
よって直線の式はy = -43x+6


(2) x軸に平行な直線の式は y=数字
(2, 3)と(4, 3)はともに y座標が3である。
この2点を通る直線はx軸に平行な直線になる。
(2,3)(4,3)xyO
よって y=3

(3) y軸に平行な直線の式はx=数字
(-1, 7)と(-1, 9)はともにx座標が -1である。
この2点を通る直線はy軸に平行な直線になる。

よってx =-1

(4) y=x+3 と y=2x-1の交点を求める。
2x-1 = x+3
x = 4
y = 4+3=7
交点(4,7)
傾き3で、(4,7)を通る直線を求める。
y=3x+b
7=12+b
b=-5
よって y=3x-5


(5) x軸との交点は式にy=0を代入する
x軸とy = 12x-5 の交点を求める。
y=0を代入すると
0=12x-5
0=x-10
x=10
交点(10, 0)
切片6の直線 y=ax+6 に(10, 0)を代入
0 = 10a+6
a= -35
よって直線の式 y=-35x+6

四則計算(分数2) 2⑥解説

2.次の計算をしなさい。
(2-32)2+65×(79-116)

(2-32)2+65×(79-116)
= (42-32)2+65×(1418-3318) カッコの中を通分して計算
= (12)2+65×(-1918) 累乗、かけ算を計算
=14 -1915 通分
=1560-7660 引き算
= -6160

連立文章題 割合の 問題1 2(3)解説

2. 連立方程式をたてて求めよ。
(3)ある高校の去年の入学志願者数は、男女合わせて600人であった。今年は去年に比べ、男子が10%減り、女子が20%増えて、男女合わせて615人になった。今年の男子、女子の入学志願者数をそれぞれ求めよ。

割合のもとになる数が去年の人数なので、 求めるものが今年の人数でも去年の人数をx,yにする
去年の男子の人数をx, 去年の女子の人数をyとする。
今年の男子は去年に比べ10%減なので90100x
女子は20%増なので120100y
 男子女子合計去年xy600今年90100x120100y615
x + y =600…①
90100x + 120100y = 615 …②
②の分母をはらって整理すると
9x+12y =6150
3x+4y=2050…②'
①×3-②'
3x+3y=1800 -)3x+4y=2050 -y=-250 y=250…③
③を①に代入すると
x+250 = 600
x = 350
今年の男子は350×90100=315
今年の女子は 250×120100 = 300

1次関数総合問題Lv.3 3(1)解説

(1)1次関数y=ax+6について、xの変域が 1≦x≦5のとき、yの変域がp≦y≦4だった。aとpの値をそれぞれ求めよ。

(1)
y=ax+6のグラフは切片が6だけわかっていて、傾きの正負はわからない。
ところがxの変域が 1≦x≦5のとき、yの変域がp≦y≦4 である(図の緑の範囲)
この変域内にグラフがあることから傾きがマイナスだとわかる。
よってxが最小の1のときにyが最大の4で、xが最大の5のときにyは最小のpになる。
//グラデーション1xyO145切片6 xyO145切片6(1,4)(5,p)
よってy=ax+6に(1,4)を代入して
4=a+6
a=-2
y=-2x+6に(5,p)を代入して
p=-10+6
p=-4

乗法と除法の混じった計算3 1④解説

1. 次の計算をせよ。
④ -2724xyz÷9x2y÷(-58xyz2)

割り算を逆数のかけ算にして、数字は数字どうし、文字は文字どうしで約分する。
-2724xyz÷9x2y÷(-58xyz2)
= -98xyz × 19x2y × (-85xyz2)
= 9×1×88×9×5×x y zx32y2z2
= 15x2yz

連立方程式 総合問題4 3(1)解説

3. 連立方程式をたてて求めよ。
(1)
原価100円の商品Aと、原価200円の商品Bを合わせて140個仕入れた。Aには原価の40%の利益を見込んだ定価をつけ、Bには原価の50%の利益を見込んだ定価をつけた。 Aは定価で半分売って、残りを定価の50円引きで売った。Bは定価で全体の75%が売れて、残りを定価の50%引きで売った。利益の合計は5900円だった。AとBそれぞれ何個仕入れたか求めよ。

Aをx個、Bをy個仕入れたとする。x+y=140 …(1)

Aは100円でx個仕入れたので仕入れの総額は100x,
定価は原価100円の40%増なので100×140100=140円
安売りの値段は140-50=90円、
仕入れたx個の半分ずつ売ったので
売上の総額はそれぞれ
140×12x=70x円、90×12x=45x円
A単価個数単価×個数仕入れ100x100x定価100×140100=14012x140×12x=70x安売り140-50=9012x90×12x=45x

Bは200円でy個仕入れたので仕入れ総額は200y円
定価は200の50%増なので200×150100=300円
定価でyの75%を売ったので
売上は300×75100y=225y円
安売りでは定価300円の50%引きなので150円、
これをyの25%売ったので150×25100y=752y円
B単価個数単価×個数仕入れ200y200y定価200×150100=30075100y300×75100=225y安売り300×50100=15025100y150×25100y=752y
売上の合計から仕入れの総額を引いたものが利益となるので
70x+45x +225y +752y -100x -200y=5900…(2)
(2)を整理すると
15x+1252y=5900
30x+125y = 11800
6x+25y=2360…(2)'
(1)×6-(2)'
6x+6y=840-)6x+25y=2360 -19y=-1520 y=80…(3)
(3)を(1)に代入すると
x+80=140
x=60

連立方程式 総合問題4 3(3)解説

3. 連立方程式をたてて求めよ。
(3)
電気料金は基本料金と電力量料金の合計金額を支払うことになっている。料金は次の表のようになっている。
基本料金(ひと月)1800円昼間の電力量料金(1kWhにつき)最初の100kWhまで20円
100kWhを超えて250kWhまで25円
250kWhを超えた分28円
夜間の電力量料金(1kWhにつき)9円

ある月の電気使用量は、昼間と夜間あわせて300kWhで電気料金が7200円だった。 この月の昼間と夜間の電気使用量をそれぞれ求めよ。

昼間250kWhまで使うと1800+100×20+150×25=7550となり、7200円を超えてしまうので、この月は昼間の電気使用量が250kWhを超えていないとわかる。

昼間の電気使用量をxkWh, 夜間の電気使用量をykWhとする
昼夜あわせて300kWhなので x+y=300
昼間の電気料金を計算すると
 最初の100までは 100×20 = 2000
100を超えてxまでは 25(x-100)
夜間の電気料金は 9y
基本料金1800円なので、これらの和が7200である。
1800+2000+25(x-100) + 9y=7200
よって連立方程式は
x+y=300…(1)
1800+2000+25(x-100) + 9y=7200…(2) となる。
(1)を変形して y=300-x これを(2)に代入すると
1800+2000+25(x-100)+9(300-x)=7200
3800+25x-2500+2700-9x=7200
16x = 7200 -3800+2500-2700
16x = 3200
x =200
これを(1)に代入すると
200+y=300
y=100

式の展開(多項式の乗法1) 2①解説

2.次の式を展開しなさい。
① (2x-1)(x+3)

(2x-1)(x +3)
2xをxと+3に、 -1もxと+3の両方にかける。
(2x-1)(x+3)
= 2x×x + 2x×3 -1×x -1×3
= 2x2 +6x -x -3
= 2x2 +5x -3

中学数学の要点をわかりやすく説明

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更新履歴

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式の計算 総合問題1 式の計算 総合問題2 式の計算 総合問題3 式の計算 総合問題4
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正負の数 総合問題 基本1 正負の数 総合問題 基本2 正負の数 総合問題 基本3 正負の数 総合問題 基本4 正負の数 総合問題 基本5
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折り返しの問題 練習の解説
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円周角5 円周角6
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3年問題
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解説
3年相似と線分比1 2(2)
2年 等積変形の5 式による説明1 (5)

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