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LasstUpdate 2020/08/07

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新着 解説

2乗に比例する関数 総合問題2 2解説

2. A,Bの座標が次のそれぞれの場合において、y=ax2のグラフが線分AB(両端を含む)と交わるようなaの値の範囲を求めよ。
①A(2,12), B(6,2)  ②A(-4, 2), B(-5, 50)  ③ A(-3, 2), B(1, 4)

放物線はaの値が小さいほど
開き方が大きくなる。
図のように放物線が点Aを通るとき
aの値が最大になり、
点Bを通るとき最小になる。
A(2,12)をy=ax2に代入すると
12=4a
a=3
B(6,2)をy=ax2に代入すると
2=36a
a=118
よって 118≦a≦3
OABaが最大aが最小xy
図のように放物線が点Bを通るとき
aの値が最大になり、
点Aを通るとき最小になる。
A(-4,2)を代入すると
 2=16a
a=18
B(-5,50)を代入すると
50=25a
a=2よって
18≦a≦2
ABOxyaが最大aが最小
図の放物線ではk,l,m,nの順に
aの値が大きい。
図の放物線lはA(-3,2)を通っているので
2=9a
a= 29
図の放物線kのように、
aの値が29より小さくなると、線分ABと交わらない。
逆にaが29より大きいmやnは線分ABと交わっている。
線分ABがy軸と交わっているため、
aの値をどれだけ大きくしても放物線は線分ABと交わる。
よって線分ABと交わるようなaの範囲は 29≦a である。
ABlmnk

1・2年の復習Lv4_3 6③解説

図のように AB=4cm, BC=12cm, AD=10cm、 ∠ABC=∠DEF=90°の三角柱 ABC-DEF がある。MはACの中点、NはBCの中点で、MN=2cmである。 このとき A,B,N,M,D,Eを頂点とする立体の体積を求めよ。ABCDEFMN

ABCDEFMN106442 立体ABNMDEをB,D,Nを通る平面で切断する。
すると台形MNBAを底面とする四角錐と、
三角錐DBENの2つの立体に分かれる。

ABDMN24610 四角錐DABNMについて
底面の台形ABNMの面積を求める。
 上底MN=2cm, 下底AB=4cm, 高さBN=6cmより
台形の面積= (2+4)×6÷2=18
四角錐の高さ
辺ADは面ABCと垂直に交わるのでAD=10cmが
四角錐の高さとなる。
四角錐の体積 = 18×10÷3 = 60cm3


BDEN6104 三角錐DBENについて
辺DEが面BEFCと垂直に交わるので
△BENを底面として、高さDE=4cmである。
(△BDEを底面,高さBN=6cmでもよい。)
△BENの面積=6×10÷2=30
三角錐DBENの体積 = 30×4÷3 =40cm3


よって立体ABNMDEの体積 = 60+40=100cm3

1・2年の復習Lv3_4 6③解説

図の四角錐は側面が1辺12cmの正三角形、底面は正方形である。点Pから側面を通り点Qまで行くときの 最短の道のりを求めよ。ただしCP=8㎝、AQ=4㎝である。 ABCDEPQ

立体表面を通る最短の道のり
→ 展開図を描いて直線をひく。

四角錐の展開図を描いて、PからQまで直線をひくと、
線分PQが最短の道のりである。
ABCDEDEEPQ
四角形ABCDは1辺12cmのひし形なので、AB//DC
またAQ=DP=4cmなので、四角形AQPDは平行四辺形である。
よって PQ=AD=12cm

文字式と数量1 4(4)解説

4次の数量を文字式で表わせ
(4)最小の数がxとなる連続する3つの偶数の和

偶数とは2の倍数のことである。
『連続する3つの偶数』とは
例えば 「2, 4, 6」や 「16, 18, 2」、「100, 102, 104」など。
このように連続する偶数は2ずつ増えていくため、
最小の数をxとすると,次の偶数は2を加えて, (x+2), その次は更に2を加えて (x+2)+2 = x+4
つまり、『連続する3つの偶数』は  x, (x+2), (x+4) である。
これらの和を計算すると
x+(x+2)+(x+4)= 3x+6
となる。

式の値 4

4. x=32のとき次の式の値を求めよ。
①x2+5x 3x ③ x2+1x2

①x2+5xにx=32を代入すると
(32)2+5(32)=94+152
=94+304
=394


分母や分子に分数がある計算は BA = B÷A を使う。


3x=3÷xとして x=32を代入
3÷x = 3÷32=2

1x2 = 1÷x2として代入する。
x2+1x2
=x2 + 1÷x2
=(32)2+1÷(32)2
=94+1÷94
=94 +49
=8136 + 1636 =9736

1・2年の復習Lv4_3 2④解説

2④
図は正三角形ABCと、BCを直径とする半円である。
BC=xとして影をつけた部分の面積をxを用いて表わせ。
ABC

ABCOPQ 図のように補助線をひくと、
△AQP,△QBO,△OQP,△POCは
すべて1辺x2の合同な正三角形となる。

ABCOPQ移動 図の緑の部分と斜線部分はともに
中心角60°のおうぎ形から正三角形を引いたもの
なので、斜線部分を緑の部分に移動させる。

ABCOPQ移動 つぎに△AQPを△QBOに移動させる
ABCOPQ すると影のついた部分は
半径 x2 で、中心角60°のおうぎ形となる。
よって面積 = x2×x2×π×60360=124πx2

連立文章題(速さ4) 発展 (3)解説

A駅からB駅まで8.4㎞ある。太郎君が10:00にA駅からB駅に向かって線路沿いの道を一定の速さで歩いていった。 A駅を10:22に出発した電車に10:24に追い越され、B駅を10:34に発車した電車と10:40に出会った。 電車はすべて一定の同じ速さとして、太郎君の歩く速さと電車の速さをそれぞれ分速で求めよ。

道のり = 時間×速さ
太郎の速さを毎分xm, 電車の速さを毎分ymとする。
A駅B駅8.4km電車太郎追い越されたとき出会ったとき太郎電車 太郎が電車に追い越されるときは
太郎の歩いた距離と電車の進んだ距離が同じである。
太郎は10:00に出発して10:24に追い越されたので
歩いていた時間は24分、距離は24xmである。
電車は10:22に出発して10:24に太郎を追い越したので
走っていた時間は2分、距離は2ymとなる。
よって 24x = 2y …①


A駅B駅8.4km電車太郎追い越されたとき出会ったとき太郎電車 太郎と電車が出会ったときは、
太郎の歩いた距離と電車の進んだ距離の和が8.4kmである。
太郎が歩いていた時間は40分、距離は40xmである。
電車は10:34出発で、10:40にすれ違ったので
走っていた時間は6分、距離は6yである。
よって 40x+6y = 8400…②


①を整理すると y=12x…①'
①'を②に代入
40x+6×12x =8400
112x = 8400
x = 75…③
③を①'に代入
y = 12×75 =900

連立文章題(速さ4) 発展 (1)解説

普通列車が長さ250mの鉄橋を渡り始めてから渡り終えるまでに30秒かかる。また、急行列車が長さ250mの鉄橋を渡り始めてから渡り終えるまでに16秒かかる。この急行列車は普通列車に比べて長さが20m長く、速度は普通列車の2倍である。普通列車の長さと、秒速を求めよ。

移動距離=速さ×時間
長さのある列車が鉄橋を渡り始めてから渡り終えるまでの移動距離は「鉄橋の長さ+列車の長さ」である。 鉄橋列車列車が移動した距離鉄橋の長さ列車の長さ

普通列車の速さを毎秒xmとすると、急行列車の速さは毎秒2xm,
普通列車の長さをymとすると、急行列車の長さは (y+20)mである。

移動距離=速さ×時間、鉄橋の長さ+列車の長さ=列車の移動距離より
普通列車の場合:  x×30 = 250+y…①
急行列車の場合: 2x×16 = 250 +(y+20)…②

①を整理すると  30x -y = 250…①'
②を整理すると 32x-y = 270…②'
①'-②'
-2x = -20
x = 10…③
③を①'に代入
30×10-y = 250
y = 50

四則計算(分数2) 1途中式

1. 次の計算をしなさい。
12×(-34+52) (23-34)×(-65) 74÷(35-58) (-74+512)÷(-29) -32-(12+6553 (29-93512+(-73) (34+76+13)×(-125) (98+76-251249

かっこの中を先に計算する。
割り算は逆数のかけ算に直す。

12×(-34+52)
=12×(-34+104)
=12×74
=+78
(23-34)×(-65)
=(812-912)×(-65)
=(-112)×(-65)
=+110
74÷(35-58)
=74÷(2440-2540)
=74÷(-140)
=74×(-40)
=-70
(-74+512)÷(-29)
=(-2112+512)×(-92)
=(-1612)×(-92)
=+6
-32-(12+6553
=-32-(510+121053
=-32-(171053
=-32-176
=-96-176
=-266
=-133
(29-93512+(-73)
=(29-279125+(-73)
=(-259125+(-73)
=(-203)+(-73)
=-273
=-9
(34+76+13)×(-125)
=(912+1412+412)×(-125)
=(2712)×(-125)
=-275
(98+76-251249
=(2724+2824-502494
=(52494
=+1532

式による説明(2) 解説

(2) 連続する3つの偶数の和が6の倍数になることを説明しなさい。

式による説明の解答は3つの部分でできている
①文章を文字式で表す
②計算する
③結論

「連続する3つの偶数の和が6の倍数になる」の説明
①「連続する3つの偶数」文字式で表す
 3つの連続する偶数は、nを整数として2n, 2n+2, 2n+4と表せる。

②和を計算する
 2n+(2n+2)+(2n+4) = 6n+6
= 6(n+1)

↑↑↑計算結果が6の倍数とわかるように分配法則の逆で6をカッコの前に出す

③結論をまとめる
 nが整数であれば(n+1)も整数なので6(n+1)は6の倍数である。 よって3つの連続する偶数の和は6の倍数となる。

正負の数 総合問題 基本3 1③解説

1③
- 85 より小さい整数のうち、最も大きいものを求めよ。

数直線で表すと、右に行くほど大きな数になる。
負の数は絶対値が小さいほど大きな数である。

012-1-2-385- - 85 は小数で表すと -1.6 なので、
数直線上では -1と-2の間にある。
よって ,-85 より小さい整数は
-2,-3,-4,-5…となるが、
このなかで最も大きいのは -2である。

円周角3 ⑫解説

50°x18°O

50°x18°OABCD100°118° ∠ABCは弧ACに対する円周角,∠AOCは弧ACに対する中心角
等しい弧に対する中心角は円周角の2倍なので
∠AOC=50×2 = 100°

三角形の外角はそれと隣り合わない2つの内角の和に等しいので
△DOCにおいて
∠ADC=100°+18°=118°
△ABDにおいて
∠ADC= 50°+x =118°
よって
x = 68°

円周角2 ⑥⑧解説

それぞれのxの値を求めよ。ただし、点Oは円の中心である。
x116°70°64°39°x

x116°70°ABCD ACに補助線を引く
∠ACB,∠ADBはともに弧ABに対する円周角なので
∠ACB=∠ADB=70°
∠ABD,∠ACDはともに弧ADに対する円周角なので
∠ABD=∠ACD=116°-70°=46°


64°39°xABCDE BDに補助線を引く
∠BDC,∠BECはともに弧BCに対する円周角なので
∠BDC=∠BEC=39°
∠ACB,∠ADBはともに弧ABに対する円周角なので
∠ACB=∠ADB=64°-39°=25°

放物線と直線の変域が一致する4 (7)(8)解説

(7) a>0の放物線y=ax2と直線y=-203x+bについて-3≦x≦6でyの変域が一致する。
aとbの値をそれぞれ求めよ。
(8) a<0の放物線y=ax2と直線y=-8x+bについて-4≦x≦16でyの変域が一致する。
aとbの値をそれぞれ求めよ。

(7)
-36Oyの最大値xy a<0の放物線を-3≦x≦6の範囲で描く。
図のようにyの最小値はy=0,
yの最大値は x=6のときのyの値である。

-36Oxy(6,0) 直線y=-203x+b の変域が放物線の変域と一致するが、
直線の傾きは負なので
xが最小値x=-3のときにyが最大となり、
xが最大値x=6のときyが最小値y=0となる。
よって(6,0)を直線の式に代入すると
0 =-203×6+b
b = 40
直線の式は 直線y=-203x+40 となる。

y=-203x+40 にx=-3を代入してyの最大値を出す。
y = -203×(-3)+40
 = 60
放物線は x=6のときy=60なのでy=ax2に代入すると
60 = a×62
a=6036=53


(8)
xyOyの最小値-416 a>0の放物線を-4≦x≦16の範囲で描く。
図のようにyの最小値はx=16のときのyの値、
yの最大値は y=0である。

xyO16-4(-4, 0) 直線y=-8x+bの変域が放物線の変域と一致するが、
直線の傾きが負なので
xが最小値x=-4のときyが最大値y=0となり、
xが最大値x=16のときyが最小値となる。
よって、(-4,0)を直線の式に代入すると
0=-8×(-4)+b
b = -32
直線の式は y=-8x-32となる。

y=-8x-32に x=16を代入してyの最小値を出す。
y =-8×16-32
 = -160
放物線は x=16のときy=-160なのでy=ax2に代入すると
-160=a×162
a = -58

円と接線 1⑧解説

OPl36°x

OPl36°xAB 補助線OPを引くと、接線と接点を通る半径は垂直なので
∠OPB=90°
またOA=OP(半径)より
△OAPが二等辺三角形になるので
∠OAP=∠OPA=36°
すると△APBで
∠BAP=36°、∠APB=126°より
∠x=180°-36°-126° = 18°

連立文章題1 (1)解説

(1)
大小二つの整数がある。大きいほうの整数は小さいほうの整数の4倍より2小さく、 大きいほうの整数の2倍から小さいほうの整数の7倍を引くと1になるという。 このような2つの整数を求めよ。

大きい方の整数をx, 小さい方の整数をyとして、文章からxとyの関係を等式で表す。
「大きいほうの整数は小さいほうの整数の4倍より2小さく」
大きい方の整数…x, 小さい方の整数の4倍…4y
xのほうが2小さいので x=4y-2…①

「大きいほうの整数の2倍から小さいほうの整数の7倍を引くと1になる」
大きいほうの整数の2倍…2x, 小さい方の整数の7倍…7y
2xから7yを引くと1になるので 2x-7y=1…②

①を②に代入すると
2(4y-2)-7y=1
8y-4-7y=1
y=5…③
③を①に代入すると
x = 4×5-2
x = 18

中学数学の要点をわかりやすく説明

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更新履歴

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3年例題 平方根の四則計算
3年例題 平方根のおよその値
3年例題 ルートの加法減法3(分数)
7/31
3年例題 循環小数1
3年例題 ルートの加法減法1
3年例題 ルートの加法減法2(変形)
7/30
3年例題 ルートの乗法除法1
7/29
3年例題 ルートの変形1ルートの変形2
7/28
3年例題 平方根の積と商
7/27
3年例題 平方根の大小1 3年例題 平方根の大小2
5/19
2年問題 関数と図形(面積を二等分する直線2)
4/14
2年問題 平行四辺形 折り返し1 2年問題 平行四辺形 折り返し2
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例題 共通接線
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例題 三平方_座標(点と直線の距離) 例題 三平方_座標(最短距離)
2/21
例題 三平方の定理_座標平面の三角形
2/15
例題 三平方の定理_二等辺三角形の面積 例題 三平方の定理_台形の面積
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例題 三平方の定理_最短経路

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