Mathematics Website
LastUpdate 2022/07/02

中学校数学・学習サイト

Index

新着 解説

因数分解_標準問題1 3

3. 次の式を因数分解せよ。
(x+2y)2-(3x+y)2a(x-2)+b(2-x)(x-3y)2+2x-6y-482a(2x+5)2-28a(2x+5)+80a

(x+2y)2-(3x+y)2
x+2yをAに, 3x+yをBに置き換える。

(x+2y)2-(3x+y)2 = A2-B2  ↓平方の差は和と差の積に因数分解できる
= (A+B)(A-B) ↓A,Bをもとにもどす
= (x+2y+3x+y){x+2y-(3x+y)} ↓-の符号に注意する
= (4x+3y)(x+2y-3x-y)
= (4x+3y)(-2x+y)
a(x-2)+b(2-x)
2-x =-(x-2) のようにマイナスをくくりだすと x-2が共通になる

a(x-2)+b(2-x) = a(x-2)-b(x-2) ↓x-2をAとおく
= aA-bA ↓Aをくくりだす
= A(a-b) ↓Aをx-2にもどす
= (x-2)(a-b)
(x-3y)2+2x-6y-48
2x-6y=2(x-3y) として x-3yを文字に置き換える

(x-3y)2+2x-6y-48 = (x-3y)2+2(x-3y)-48 ↓x-3yをAとおく
= A2+2A-48 ↓積が-48,和が2となる2数は -6と8なので
= (A-6)(A+8) ↓Aをx-3yにもどす
= (x-3y-6)(x-3y+8)
2a(2x+5)2-28a(2x+5)+80a 2aが共通因数なので、まず2aをくくり出し、さらに2x+5を文字に置き換えて因数分解する。

2a(2x+5)2-28a(2x+5)+80a = 2a{(2x+5)2-14(2x+5)+40} ↓2x+5をAとおく
= 2a(A2-14A+40) ↓積が+40,和が-14となる2数は -4と-10なので
= 2a(A-4)(A-10) ↓Aを2x+5にもどす
= 2a(2x+5-4)(2x+5-10)
= 2a(2x+1)(2x-5)

円周角6 1②

それぞれのxの値を求めよ。ただし、点Oは円の中心である。
68°111°xO

補助線BCをひく。
ACは直径なので∠ABC=90°(直径の円周角)
すると∠EBC=90°-68°=22°
△EBCの内角の和が180°なので
∠ECB = 180°-22°-111° =47°
∠ECBと∠ADBはともに弧ABに対する円周角なので
∠ADB=47°
68°111°xOABCD22°47°E

1・2年の復習Lv2_2 6②

6②
図の直線lとABは平行である。線分ABを弦として、直線lに接する円を作図せよ。ABl

求める円の中心をO,円Oと直線lの接点をPとする。
ABが円Oの弦なので,ABの垂直二等分線は円の中心Oを通る。
また,中心Oから接線lに引いた垂線の交点が接点Pになるが,
AB//lなので,ABの垂直二等分線とOからlに引いた垂線は一致する。
よって,ABの垂直二等分線と直線lの交点が接点Pとなる。
すると,A,B,Pの3点が円Oの円周上の点なので,ABの垂直二等分線と
PBの垂直二等分線の交点が点Oとなる。

【作図の手順】
① ABの垂直二等分線を引く。 ② ①と直線lとの交点をPとする。
③ PBの垂直二等分線を引く。 ④ ③と①の交点がOとなる。
⑤ Oを中心として半径OP(またはOA,OB)の円をかく。
ABlOP

1・2年の復習Lv4_4 6②

頂点Bから辺ACに垂線を引き、辺ACとの交点をDとする。 線分BD上にあり、 ∠ABD=12∠APDとなる点Pを作図せよ。 ABC

BからACに垂線BDをおろす。
ABCD
BD上のどこに点Pがあるかわからないので
仮の点Pをとって△ABPをつくる
ABCDP
図を見ると∠APDが△APBの外角になっていることがわかる。
三角形の外角はそれと隣り合わない2つの内角の和に等しいので
∠APD=∠PBA+∠ABPである。
ABCDP
問題文で与えられた条件 ∠ABD=12∠APD を変形して, ∠APD = 2∠ABD
これを満たすために, ∠PBA =∠ABP となる必要がある。
つまり,△ABPはPA=PBの二等辺三角形である。


【作図】
BからACに垂線をおろして交点をDとする。
ABCDBからACにおろした垂線
△ABPが二等辺三角形なので
Pは線分ABの垂直二等分線上にある。
つまりABの垂直二等分線とBDの交点がPとなる。
ABCDPABの垂直二等分線

1・2年の復習Lv4_4 6①

6. 次の問いに答えよ。

AE:ED=3:4, BD:DC=3:2のとき△AEC:△ABCの面積比を求めよ。 ABCDE

AE:ED=3:4より
△AEC:△EDCの面積比 = 3:4
ABCDE3434
△AEC=3とすると△EDC=4なので
△ADC=7 となる。

△ADC=7で
BD:DC=3:2 より
△ABD:△ADC = 3:2
△ABD:7 = 3:2
△ABD = 212
ABCDE343423212
△ABC=△ABD+△EDC+△AEC なので
△ABC = 212 + 4 + 3
= 352

よって
△AEC:△ABC = 3:352
= 6:35

y=ax2のグラフ1③

1. A,Bの座標が次のそれぞれの場合において、y=ax2のグラフが線分AB(両端を含む)と交わるようなaの値の範囲を求めよ。
③ A(-6, 9), B(1,3)

A(-6, 9)B(1,3)←点Aを通るとき↓aの絶対値が大きいほど開き方が小さいxyOaの絶対値が小さいほど↓開き方が大きい y=ax2のグラフは, aの絶対値が小さいほどグラフの開き方が大きくなる。 そのため, 図のようにグラフが点Aを通るときにaの値が最小となる。
y=ax2にA(-6, 9)を代入すると
9=a×(-6)2
36a=9
a=14

またaの絶対値が大きいほどグラフの開き方がせまくなるので, 図のように線分ABがy軸を横切っている場合, aの値がいくら大きくても線分ABと放物線は交わる。


よって, グラフが線分ABと交わるときのaの値の範囲は
14 ≦ a となる。

平方根の問題7 3④

3.次の計算をしなさい。
2 3 6 ÷ 4 3 2 × 7 2 5

平方根を含む数字のかけ算は、ルートの外どうし、中どうしそれぞれ掛け算する。
 236÷432×725 ↓割り算を逆数のかけ算に
= 236×342×725 ↓ルートの外どうし,中どうしそれぞれ
= 2×3×73×4×2×6×52 ↓約分
= 7415

因数分解4 1⑦

1.因数分解しなさい。
⑦ (5x-1)2-y2

5x-1=Aと置き換えると, 2乗の差になるので,
公式 a2-b2 = (a+b)(a-b) にあてはめて因数分解する

(5x-1)2-y2 = A2 - y2
= (A+y)(A-y)
= (5x-1+y)(5x-1-y)

式による説明 (3)

(3)
  4つの連続する奇数の和は8の倍数になることを説明しなさい。

式による説明は3つの部分でできている。
1つ目は文字で表す。 2つ目は計算。 3つ目は結論

4つの連続する奇数 の和は 8の倍数になる。 └───────┘ └──┘ └─────┘ A B C
Aの部分を文字で表し、計算はB(和)を行い、最後に計算の結果がC(結論)となることを説明する。
Aを文字で表す
奇数は2で割ると1あまる数のことなので 「2×整数 + 1」になる。
つまり, 整数=n とすると 2n+1 と表すことができる。
また, 連続する奇数は 2, 5, 7・・・のように2つずつ増えていく。
よって 2n+1のとなりの奇数は 2n+1 + 2 =2n+3, そのとなりは2n+3 + 2 =2n+5,
さらにそのとなりは 2n+5 + 2 = 2n+7となる。
つまり, 4つの連続する奇数は、nを整数として,
2n+1, 2n+3, 2n+5, 2n+7と表せる。

上で作った文字式の和を計算する
  (2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+(2n+7) = 8n+16 = 8(n+2)
計算の結果がC(結論)となっていることを説明。
nが整数なのでn+2も整数となり, 8(n+2)は8×整数だから8の倍数である。
よって4つの連続する奇数の和は8の倍数となる。


【説明】
nを整数とすると4つの連続する奇数は2n+1,2n+3,2n+5,2n+7となる。
これらの和は(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+(2n+7)=8n+16
                     =8(n+2)
nは整数なので(n+2)も整数となり8(n+2)は8の倍数となる。
よって4つの連続する奇数の和は8の倍数となる。

式の計算 総合問題1 5

5.  5つの連続した偶数の和は10の倍数になることを説明せよ。

式による説明は3つの部分でできている。
1つ目は文字で表す。 2つ目は計算。 3つ目は結論

5つの連続した偶数 の和は 10の倍数になる。 └───────┘ └──┘ └─────┘ A B C
Aの部分を文字で表し、計算はB(和)を行い、最後に計算の結果がC(結論)となることを説明する。
Aを文字で表す
偶数とは2の倍数のことなので 「2×整数」になる。
つまり, 整数=n とすると 2n と表すことができる。
また, 連続する偶数は 2, 4, 6, 8・・・のように2つずつ増えていく。
よって 2nのとなりの偶数は 2n+2, そのとなりは2n+4である。
逆に小さい方のとなりは 2n-2, そのとなりは2n-4である。
すると, 5つの連続する偶数は、nを整数として,中央の偶数が2nとすると
2n-4, 2n-2, 2n, 2n+2, 2n+4と表せる。

上で作った文字式の和を計算する
  (2n-4)+(2n-2)+2n+(2n+2)+(2n+4) = 10n
計算の結果がC(結論)となっていることを説明。
nが整数なので10nは10×整数となり10の倍数である。
よって5つの連続した偶数の和は10の倍数となる。


【説明】
nを整数とすると偶数は2nと表せる。この2nを真ん中の数とすると5つの連続した偶数は
2n-4, 2n-2, 2n, 2n+2, 2n+4となる。
これらの和は (2n-4)+(2n-2)+(2n)+(2n+2)+(2n+4) = 10n
nは整数なので10nは10の倍数である。
よって5つの連続した偶数の和は10の倍数になる

文字式カッコのある計算1 2

2.次の計算をしなさい。
2(3x+4)+4(2x+6) 5(2a+1)+3(a-5) 4(5x-2y)+3(6x+7y) 9(-x-3)+6(2x-4) -2(3x+1)+5(x+8) -7(-2x+4)+3(5x-11)

分配法則でかっこを開いてから同類項をまとめる。
2(3x+4)+4(2x+6) = 6x+8+8x+24
= (6+8)x+8+24
= 14x+32
5(2a+1)+3(a-5) = 10a+5 +3a-15
= (10+3)a+5-15
= 13a-10
4(5x-2y)+3(6x+7y) = 20x-8y+18x+21y
= (20+18)x+(-8+21)y
= 38x+13y
9(-x-3)+6(2x-4) = -9x-27+12x-24
= (-9+12)x-27-24
= 3x-51
-2(3x+1)+5(x+8) = -6x-2+5x+40
= (-6+5)x-2+40
= -x+38
-7(-2x+4)+3(5x-11) = 14x-28+15x-33
= (14+15)x-28-33
= 29x-61

2次方程式応用4(割合) (4)

(4)
あ ある銀行に預金すると1年でx%の利息がつく。そのままにしておくと次の1年後には利息も含めたすべての預金に対して x%の利息がつく。この銀行に10000円預けたら2年後に10404円になっていた。x の値を求めよ。

1年でx%の利息がつくので
10000円預けたときの1年後の利息=10000×x100=100x
よって
1年後の預金=10000+100x

2年後はこの(10000+100x)にx%の利息がつくので
2年後の利息=(10000+100x)×x100=100x+x2
よって
2年後の預金=10000+100x+100x+x2 =10000+200x+x2
これが10404円なので
10000+200x+x2=10404
これを解くと
10000+200x+x2=10404
x2+200x-404=0
(x-2)(x+202)=0
x=2, -202
x>0より x=2

特別な直角三角形_練習2 ⑤⑥

xの値を求めよ。

135° 4 4 x 5

4 14 x 150°


135°44x5ABCD AからBCの延長上に垂線をひき,
その交点をDとする。

ACD42245°45° ∠ACB=135°なので,∠ACD=45°となり,
△ACDは直角二等辺三角形になる。
AC=4, CD:AD:AC=1:1:2より
CD=AD=22となる。


135°44x5ABCD22 直角三角形ABDでAB=45, AD=22より
(45)2 = (22)2 + BD2
BD2 = 80-8
BD2=72
BD=±62
BD>0より BD=62
BD= x+22に代入すると
62= x+22
x=42



414x150°ABCD AからBCの延長上に垂線をひき,
その交点をDとする。

ACD30°60°4223 ∠ACB=150°なので,∠ACD=30°となり,
△ACDは各角が30°,60°,90°の直角三角形になる。
AC=4, AC:AD:CD=2:1:3より
AD=2, CD=23となる。


414x150°ABCD223 直角三角形ABDでAB=14, AD=2より
142=22+BD2
BD2=196-4
BD2=192
BD=±83
BD>0よりBD=83
BD=x+23に代入すると
83=x+23
x=63

1・2年の復習Lv2_2 6②

6②
図の直線lとABは平行である。線分ABを弦として、直線lに接する円を作図せよ。ABl

求める円の中心をO,円Oと直線lの接点をPとする。
ABが円Oの弦なので,ABの垂直二等分線は円の中心Oを通る。
また,中心Oから接線lに引いた垂線の交点が接点Pになるが,
AB//lなので,ABの垂直二等分線とOからlに引いた垂線は一致する。
よって,ABの垂直二等分線と直線lの交点が接点Pとなる。
すると,A,B,Pの3点が円Oの円周上の点なので,ABの垂直二等分線と
PBの垂直二等分線の交点が点Oとなる。

【作図の手順】
① ABの垂直二等分線を引く。 ② ①と直線lとの交点をPとする。
③ PBの垂直二等分線を引く。 ④ ③と①の交点がOとなる。
⑤ Oを中心として半径OP(またはOA,OB)の円をかく。
ABlOP

連立文章題(速さ3) (2)

1周3㎞の円の道がある。A君とB君が同時に反対方向に走ると10分で出会い、同じ方向に走ると30分でA君がB君に1周差をつける。A君とB君の速さを求めなさい。

A君B君スタート地点反対方向1周3km(3000m) 反対方向に回ると,
2人の走った道のりの合計が 3000mになる。

スタート地点同じ方向1周3km(3000m) 同じ方向に回ると
2人の走った道のりの差が3000mになる。

A君の速さを毎分xm, B君の速さを毎分ymとすると
道のり = 速さ×時間 なので
反対方向に走って出会うまでの10分で
A君は 10xm, B君は 10ym の道のりを走る。
2人の道のりの合計が 3000mなので
10x+10y = 3000 …①

同じ方向に走って1周差がつく30分で
A君は 30xm, B君は 30ym の道のりを走る。
2人の道のりの差が3000mなので
30x - 30y = 3000…②

①②の式を連立方程式として解く。
①÷10 + ②÷30
x+y=300+)x-y=100 2x =400 x =200…③
③を①に代入
10×200+10y=3000
10y = 1000
y = 100
よって
A君 毎分200m, B君 毎分100m

1・2年の復習Lv3_3 6①

6 ① 印をつけた角度の合計は何度になるか求めよ。

三角形の外角は
それと隣り合わない2つの内角の和に等しい。
m n m+n


eagdcfba+ed+gc+f a+e+d+g 「三角形の外角はそれと隣り
合わない2つの内角の和に等しい」
を利用すると
a+e d+g c+f d+g+a+e a+b+c+d+e+f+g
が1つの三角形の内角の和
となるので
印のついた角の和は180°


おうぎ形(半径と弧、または面積から中心角を出す) 5

5. 次の問いに答えよ。
(1) 半径152㎝、面積10π㎝2のおうぎ形の弧の長さを求めよ。
(2) 半径5cm,面積2πcm2のおうぎ形の弧の長さを求めよ。
(3) 半径7cm,面積42πcm2のおうぎ形の弧の長さを求めよ。

おうぎ形の面積  = 半径 × 半径 × π × 中心角360°

おうぎ形の弧の長さ = 直径 × π × 中心角360°

(1)
まず,中心角を求める。
面積をもとめる式を使い,中心角をa°として方程式をつくる。
面積 = 半径 × 半径 × π × 中心角360°
この式に 面積=10π, 半径=152, 中心角=a° を代入すると
10π = 152 × 152 × π × a360
10 = 532a
a = 64
中心角が64°とわかったのでこの中心角を使って弧の長さをもとめる。
弧の長さ = 直径 × π × 中心角360° より
弧の長さ =15×π×64360
=83π (cm)


(2)
面積 = 半径 × 半径 × π × 中心角360°
この式に面積=2π, 半径=5, 中心角=a°を代入すると
2π=5×5×π×a360
2=572a
a=1445
中心角1445°として弧の長さを求める。
弧の長さ = 直径 × π × 中心角360° より
中心角360°=1445×1360=1441800なので
弧の長さ =10×π×1441800
=45π (cm)


(3)
面積 = 半径 × 半径 × π × 中心角360°
この式に面積=42π, 半径=7, 中心角=a°を代入すると
42π=7×7×π×a360
42=49360a
a=21607
中心角21607°として弧の長さを求める。
弧の長さ = 直径 × π × 中心角360°より
中心角360°=21607×1360=67なので
弧の長さ = 14 ×π× 67
=12π (cm)

二等辺三角形2 2

2. 右の図で△ABCはAB=ACの二等辺三角形で、BD=CEである。また、CDとBEの交点をFとするとき△FBCは二等辺三角形になることを証明しなさい。
A B C D E F

【二等辺三角形になるための条件】
・2辺が等しい(定義)
・2角が等しい

△FBCが二等辺三角形になることを証明するために、∠FBC=∠FCBを示す。
そのために△DBCと△ECBの合同を証明する。

仮定より DB=CE
BCが共通
ABCDEFBCDEBC

もう1つの仮定
△ABCがAB=ACの二等辺三角形なので
∠ABC=∠ACBである。
これは△DBCと△ECBでは
∠DBC=∠ECBとなる。
ABCDEFBCDEBC

すると「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」
という条件を満たすので△DBC≡△ECBである。
BCDEBC

【証明】
△DBC と△ECB において
∠DBC=∠ECB(二等辺三角形 ABC の底角)
BC=CB (共通)
BD=CE(仮定)
よって二辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△DBC≡△ECB
対応する角は等しいので∠FCB=∠FBC
よって二角が等しいので△FBC は二等辺三角形となる。

中学数学の要点をわかりやすく説明

全く初めて勉強する分野や、習ったけれど忘れてしまったような事柄でも理解できるように基本事項を説明しています。  学校で習ったけれど理解できていない場合や、理解しているつもりでも得点に結びついていないような場合でも基本事項をよく理解した上で問題に取り組むことをおすすめします。

基礎から発展まで多数の問題を掲載

基本事項が理解できたら練習問題をこなしてそれを定着させましょう。「中学校数学学習サイト」には基礎問題から入試にも対応した発展問題まで幅広いレベルの問題が多数掲載されています。レベルに応じて十分な練習が可能です。

リクエストに応じて、問題を解説

特に解き方が難しいと思われる発展問題や応用問題には解説を掲載しています。まだ解説をつけていない問題でもリクエストがあれば解説を作りますのでご連絡ください。

PCやスマホで手軽にできる練習問題

問題をプリントしなくてもパソコンやスマートフォンから入力して答えられる計算問題も多数掲載しています。とくに計算問題は数をこなすことで得意になるものです。空いた時間と文明の利器を上手に使って効率よく勉強しましょう。

更新履歴

6/17
2年 例題 連立方程式 文章題 割合の増減
5/9
3年練習問題 多項式総合問題Lv4-1 Lv4-2Lv3-1 Lv3-2Lv2-1 Lv2-2Lv1-1 Lv1-2
4/23
3年例題 式の値(発展) 因数分解_項の組み合わせ
3年練習問題 因数分解_項の組み合わせ
4/22
3年練習問題  式の計算の利用_基本問題式の計算の利用_標準問題
4/19
3年練習問題 式の値
4/18
3年例題数の計算のくふう 式の値
4/16
1年練習問題 正負の数大小
4/15
1年例題 素数・素因数分解
1年練習問題 素数・素因数分解1 素数・素因数分解2素数・素因数分解3
3/31
3年 練習問題  式の展開_標準問題
3/30
3年 練習問題  式の展開_基本問題
3/28
2年 練習問題 式の計算_標準問題
3/25
2年 練習問題 式の計算_基本問題
3/20
1年 練習問題 整数の性質正負の数_基本問題
2/8
3年 例題 円周角 作図問題(入試レベル) 円周角と中心角 作図問題 円周角 作図問題
2/5
3年練習問題 円周角 作図問題

学習 コンテンツ

練習問題 各単元の要点 pcスマホ問題 数学の例題

学習アプリ

中2 連立方程式 計算問題アプリ
連立の計算問題 基礎から標準問題までの練習問題と、例題による解き方の説明

© 2006- 2022 SyuwaGakuin All Rights Reserved