LasstUpdate 2019/02/15
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新着 解説

連立方程式総合問題3 3(3)

3(3)
ある特急列車が長さ800mの鉄橋を渡り始めてから渡り終えるまでに46秒かかった。また、この列車がホームにたっている人の前を通過するのに6秒かかった。この特急列車の長さと時速を求めよ。

移動距離 = 速さ×時間
列車の長さをxm, 速さを時速ykmとする。
長さのある列車が鉄橋を渡り始めてから渡り終えるまでの移動距離は「鉄橋の長さ+列車の長さ」である。
鉄橋特急列車800mx(m)特急列車が移動した距離
移動距離 = 速さ×時間の公式にあてはめて式を作るが、そのとき単位をそろえる必要がある。
時速ykmなので、 移動距離 (800+x)mをkmにすると 800+x1000(km)
46秒は463600(時間)
よって 800+x1000 = 463600y

また、人の前を通過するときの移動距離は、列車自身の長さである。
長さx(m) は x1000(km)
そのときにかかった時間6秒は 63600(時間)
よって x1000 = 63600y
【式】800+x1000=463600y…(1) x1000=63600y…(2)
(1)に36000をかけて整理すると 36x -460y=-28800…(1)'
(2)に36000をかけて整理すると 36x -60y =0…(2)'
(1)'-(2)'
36x-460y=-28800-)36x-60y=0 -400y=-28800 y=72
(2)'に代入すると
36x -60×72 =0
x = 120

平面図形・面積(発展) 2

2. 影をつけた部分の面積を求めよ。
5cm 4cm 3cm 4cm 3cm 72° 4cm 4cm

影をつけた部分の面積  全体から引く

外側の円の直径は 3+4+5 =12 なので半径6cm
よって面積は6×6×π =36π
中の白い円は直径が順に3,4,5なので
それぞれ面積を求めると
32 × 32 × π =94π
2×2×π =4π
52 × 52 × π =254π
これらを36πから引くと
36π-94π -4π -254 = 472π

中心角x°のおうぎ形の面積 円の面積× x360
半径7cm、中心角72°のおうぎ形の面積は 49π×72360 = 495π
半径4cm ,中心角72°のおうぎ形の面積は 16π×72360 = 165π
大きい方から小さい方を引くと
(495 165)π = 335π


影の部分は図の赤い部分と同じものが4つでできている。
2cm 2cm 2等分 さらに赤い部分を2等分した図形の面積を求める。
この部分は半径2cm、中心角90°のおうぎ形から
直角三角形を引いた図形である。

2cm 2cm =
おうぎ形(半径2cm 中心角90°)の面積 2×2×π×90360
直角三角形 2×2×12=2
よって π-2
影の部分全体はこれの8倍なので (π-2)×8=8π-16

体積2 1,3

1. 次の体積を求めよ。
① ∠ABC=∠ABD=∠CBD=90°、
  AB=6cm, BC=8cm, BD=10cm

A B C D
② ∠AEB=∠AED=∠BED=∠EDC=90°
  AE=8cm, ED=6cm, BE=4cm, CD=10cm

A B C D E


3. 図1は底面が直角三角形(∠CBE=90°) の三角柱で、AB=12cm, BC=3cm, BE=8cmである。図2のように三角柱 の辺CD上にCG=5cmとなる点Gをとり 3点B,E,Gを通る平面でこの三角柱を 2つに分ける。2つに分けたそれぞれの 立体の体積を求めよ。
図1 A B C D E F 図2 A B C D E F G

角錐の体積 = 底面積 × 高さ × 13
1.
① AB⊥BD, AB⊥BCよりABと面DBCが垂直なことがわかる。
よって、△DBCを底面とするとABが高さとなる。
△DBCは∠CBD=90°の直角三角形で、BD=10, BC=8なので面積は 10×8÷2=40
AB = 6 より 三角錐A-BCDの体積は 40 × 6 × 13 =80

② AE⊥BE, AE⊥EDよりAEが面EBCDと垂直なことがわかる。
よって台形EBCDを底面とするとAEが高さとなる。
台形の面積は(上底+下底)×高さ÷2
よってEBCDの面積は (4+10)×6÷2 =42
B C D E 4cm 10cm 6cm
よって四角錐A-BCDEの体積は 42×8×13 = 112

3.
BE⊥BC, BE⊥ABよりBEが面ABCDと垂直だとわかる。
よって、図2の小さい方の立体BCGEは
△BCGを底面とすると高さがBEとなる。
A B D E F G C 8
三角柱の側面はすべて長方形なので、
∠BCG=90°、BC=3, CG=5より
△BCGの面積は3×5÷2=152
三角錐E-BCGの体積は
152 × 8 ×13 = 20
B C G 3 5

図1の三角柱の体積
底面の△BCEは∠CBE=90°,BC=3, BE=8より面積 3×8÷2=12
三角柱の高さAB = 12より 体積12×12=144
図2の大きい方の立体はこの三角柱から、三角錐E-BCGを引けば出るので
144-20=124

連立方程式 総合問題3 2(2), 3(2)

2. 次の問いに答えよ。
(2)
連立方程式 7x+ay=2a 11x-9y=-12 の解の比が x : y = 3 : 4のとき、aの値を求めよ。


3. 連立方程式をたてて答えよ。
(2) A中学校で、全校生徒360人のうち3年生はその30%である。1年生と2年生の人数の比は4:5のとき、1年生と2年生の人数をそれぞれ求めよ。

2(2)
x:y=3:4なので 4x = 3y
y=43y
これを 11x-9y=-12に代入すると
11x-9×43x = -12
11x-12x =-12
-x=-12
x=12
これを y=43xに代入すると
y = 43×12 = 16
x=12, y=16を 7x+ay=2aに代入すると
7×12 +16a =2a
16a -2a = -84
14a=-84
a=-6


3(2)
1年生をx人、2年生をy人とすると、その比が4:5なので
x:y = 4:5
全校生徒360人の30%が3年生なので 360×30100=108
よってx+y+108=360
x:y = 4:5…(1) x+y+108=360…(2)

(1)より 5x = 4y
5x-4y=0…(1)'
(2)を整理して
x+y = 252…(2)'
(1)'+4×(2)'
5x-4y=0+)4x+4y=1008 9x =1008 x =112…(3)
(3)を(2)'に代入すると
112+y=252
y = 140

方程式文章題(割引・割増 基礎) 2

2.
(1) 一昨年に比べて昨年は生徒数が10人増加した。昨年にくらべて今年は生徒数が5%減少した。今年の生徒数は228人だった。 一昨年の生徒数をx人として問いに答えよ。
① 「一昨年に比べて昨年は生徒数が10人増加した。」ことから 昨年の生徒数をxを用いて表せ。
②「昨年にくらべて今年は生徒数が5%減少した。」ことから今年の生徒数をxを用いて表せ。
③方程式をたててxを求めよ。
(2) ある品物を仕入れて、仕入れ値の5割の利益を見込んで定価をつけた。定価では全く売れなかったので定価の3割引で売った。品物1個につき10円の利益になった。仕入れ値をx円として問いに答えよ。 ① 定価をxを用いて表せ。
②定価の3割引きの値段をxを用いて表せ。
③ 「仕入れ値+利益=売った値段」の関係を使って方程式をたてて、xを求めよ。
(3) ある商品を100個仕入れた。原価の6割の利益を見込んで定価をつけた。定価では60個売れた。残った商品を全て定価の2割引で売った。すると利益の総額が4720円だった。商品1個の原価をx円として問いに答えよ。
① 仕入れの総額をxを用いて表せ。
② 定価をxを用いて表せ。
③定価の2割引きをxを用いて表せ。
④ 方程式をたててxを求めよ。

Aから5%の減少すると 100-5=95
95100

(1)
① 一昨年がx人なので、それから10人増やすと x+10(人)
② 昨年がx+10(人)なので、5%の減少は 95100(x+10) = 1920(x+10)
③今年の生徒数が228人なので
1920(x+10) = 228
19(x+10)=4560
19x + 190 = 4560
19x = 4370
x = 230

Aの5割増し 1510A
Bの3割引き 710B
仕入れの値段 + 利益 = 売った値段

(2)
① 定価は仕入れの5割の利益を見込んでいるので、xの5割増
1510x = 32
② 安売りは定価の3割引なので定価に710をかける。
710 × 32x = 2120x
③ 仕入れ値はx, 利益は10円、売った値段は2120x
よって x+10 =2120x
20x +200 = 21x
20x-21x =-200
-x=-200
x=200

(3)
① 原価x円で100個なので 100x
② 原価の6割の利益を見込んでいるので原価の6割増
1610x = 85x
③ 定価の2割引なので定価に810をかける。
810×85x = 3225x
④ 定価で60個売れたので、その売上は60×85=96x
安売りでは40個売れたのでその売上は 40×3225=2565
仕入れの金額 + 利益 = 売った金額なので
100x + 4720 = 96x + 2565x
500x + 23600 = 480x + 256x
500x -480x -256x = -23600
-236x = -23600
x =100

2乗に比例する関数 変化の割合Lv3 2(4)〜(7)

2. 次の問いに答えよ。
(4) 関数y=ax2と1次関数12x+2y-5=0でxが-4から2まで増加するときの変化の割合が等しくなる。aの値を求めよ。 (5) 関数y=ax2でxが-1から9まで増加するときの変化の割合と、関数y=-2x2でxが-6から4まで増加するときの変化の割合と等しい。aの値を求めよ。 (6) xがtから4まで増加するとき、関数y=14x2と1次関数y=-x+12の変化の割合が等しい。tの値を求めよ。 (7) xがpからp+2まで増加するとき、関数y=-16x2と1次関数y=-2x-8の変化の割合が等しい。pの値を求めよ。

(4)
12x+2y-5=0をyについて解くと
y=-6x+52
よって変化の割合は-6である。
y=ax2でx=-4のときy=16a, x=2のときy=4aなので、変化の割合は 4a-16a2-(-4)
これらの変化の割合が等しいので
4a-16a2-(-4)=-6
-12a = -36
a=3

(5)
y=ax2でx=-1のときy=a, x=9のときy=81aなので 変化の割合は 81a-a9-(-1)
y=-2x2でx=-6のときy=-72, x=4のときy=-32なので 変化の割合は -32-(-72)4-(-6)=4
これらの変化の割合が等しいので
81a-a9-(-1)=4
8a = 4
a=12

(6)
y=14x2で、x=tのときy=14t2、x=4のときy=4 よって 変化の割合は (4-14t2)÷(4-t)となる。
y=-x+12の変化の割合は-1なので
(4-14t2)÷(4-t)=-1
(4-14t2)=-(4-t)
16-t2=-16+4t
16-t2+16-4t=0
-t2-4t+32=0
t2+4t-32=0
(t-4)(t+8)=0
t = 4, -8
t<4より t=-8

(7)
y=-16x2でx=pのとき y=-16p2、x=p+2のときy=-16(p+2)2
よって変化の割合は {-16(p+2)2-(-16p2)}÷(p+2-p) ={-16(p2+4p+4)+16p2}÷2=-13p-13
y=-2x-8の変化の割合は-2なので
-13p-13=-2
-p-1=-6
-p=-5
p=5

体積1 3

3. 図は大きな円錐から小さな円錐を
  切り取った図形である。
  この立体の体積を求めよ。
12cm 12cm 8cm 4cm

錐の体積
底面積×高さ×13

大きな円錐の体積から、小さな円錐の体積を引く。
大きな円錐は底面の半径8cm, 高さ24cmである。
体積は 8×8×π×24÷3 = 512π
12cm 12cm 8cm 4cm
小さな円錐は底面の半径4cm, 高さ12cmである。
体積は 4×4×4×12÷3=64π
512π - 64π =448π
12cm 12cm 8cm 4cm

合同の証明1 2

2. 右の図で、AB//DC, AB=DCならば、
 △ABO≡△DCOとなることを証明せよ。
ABCDO

三角形の合同条件
3組の辺がそれぞれ等しい。
2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。
1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。

問題で仮定や、図形の性質によってわかる「等しい角」「等しい辺」を図に描き入れ、どの合同条件を満たすか見つける
この問題では仮定は2つあるが、1つ目の「AB=DC」を図に描き入れる。

ABCDO
2つ目の仮定は「AB//DC」だが、「平行」は合同条件に含まれていないので、「平行線の性質」を考える
この場合、「平行線の錯角は等しい」という性質が使えるので図に描き入れる。
ABCDO
すると、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しくなったので、証明できたといえる。
証明の答案では図に描き入れた「等しい辺」や「等しい角」を式に表し、必ず理由をつける。

△ABOと△DCOにおいて
AB=DC(仮定)
∠OAB=∠ODC(平行線の錯角)
∠OBA=∠OCD(平行線の錯角)
よって1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△ABO≡△DCO

連立文章題(濃度)(2)

濃度のわからない食塩水AとBがある。Aを200gと、Bを100g混ぜると10%の食塩水になり、Aを100gとBを500g混ぜると16%の食塩水になる。A,Bそれぞれの濃度を求めなさい。

濃度100×全体の質量(g) = 食塩の質量(g)
混ぜる前の全体の質量の合計 = 混ぜた後の全体の質量
混ぜる前の食塩の質量の合計 = 混ぜた後の食塩の質量の合計

A, Bの濃度をそれぞれx%, y%とする。
x%の食塩水200gに含まれる食塩の質量は 200×x100 =2x(g)
y%の食塩水100gに含まれる食塩の質量は100×y100y(g)
200gと100gを混ぜると300gになるので、10%の食塩水300gに含まれる食塩の質量は300×10100 =30gとなる。

x%の食塩水100gに含まれる食塩の質量は 100×x100 =x(g)
y%の食塩水500gに含まれる食塩の質量は500×y1005y(g)
100gと500gを混ぜると600gになるので、16%の食塩水600gに含まれる食塩の質量は600×16100 =96gとなる。 AB混ぜた後濃度xy10食塩水の質量(g)200100300含まれる食塩(g)2xy30 AB混ぜた後濃度xy16食塩水の質量(g)100500600含まれる食塩(g)x5y96
混ぜる前にAとBに含まれていた食塩の質量と、混ぜた後の食塩の質量は等しいので
{2x+y=30…①x+5y=96…②
①-②×2
2x+y=30-)2x+10y=192 -9y=-162 y=18
これを①に代入して
2x+18=30
2x=12
x=6

方程式文章題(割合) 5

5. A,B,2種類の商品をそれぞれ300円、100円であわせて100個仕入れた。ともに仕入れ値の7割の利益を見込んで定価をつけて売った。Aは仕入れた個数の8割が定価で売れて、Bは定価ですべて売れた。そこで売れ残ったAを定価の100円引きで売ったらすべて売れた。A,Bを売って得た利益は全部で10000円だった。A、Bをそれぞれ何個仕入れたか。求めよ。

利益 = 売上の金額 - 仕入れの金額
Aは仕入れ値が300円なので、これに7割の利益を見込んで定価をつけると 300×1710=510円、安売りでは100円引きなので510-100=410円
Bは仕入れ値が100円なので定価は100×1710=170円
また、Aを仕入れた個数をx個とすると定価ではその8割が売れたので、810x(個)、安売りでは残りが全て売れたので、売れた個数は210x(個)
Aの仕入れの個数がxなので、Bは(100-x)個となる。

商品A単価個数単価×個数仕入れ300x300x定価510810x 408x安売り410210x 82x 商品A単価個数単価×個数仕入れ100100-x100(100-x)定価170100-x170(100-x)
仕入れにかかった金額は300x + 100(100-x) (円)
売上金額は 408x+82x+170(100-x) (円)
利益が10000円なので
10000 = 408x+82x+170(100-x)-300x-100(100-x)
10000 = 408x+82x+17000-170x-300x-10000+100x
10000+10000-17000 = 408x+82x-170x-300x+100x
3000 = 120x
x = 25
Aの仕入れの個数が25個となる。合わせて100個仕入れたのでBの個数は100-25=75個

方程式文章題(割合) 3

3. 定価が1個40円の商品Aが300個、定価が1個60円の商品Bが400個ある。初めに商品Aと商品Bを定価で売ったところ商品Aが商品Bより10個多く売れたがどちらも売れ残った。そこで売れ残った商品をすべて定価の30%引きで売ったところすべて売り切れた。商品Aと商品Bを初めに定価で売ったときと30%引きで売ったときの売り上げ金額の合計は27000円だった。初めに定価で売ったとき、商品Aと商品Bが売れた個数をそれぞれ求めよ。

p円の3割引 710p(円)
商品Aの定価は40円なので、その3割引は40×710=28円
商品Bの定価は60円なので、3割引きは710×60=42円となる。
商品Aが定価でx個売れたとすると安売りでは(300-x)個売れたことになる。 また、定価で売れた個数はBはAより10個少ないので(x-10)個、安売りでは400-(10-x)となる。
商品A単価個数売上(単価×個数)定価の時40x40x安売りの時28300-x28(300-x) 商品B単価個数売上(単価×個数)定価の時60x-1060(x-10)安売りの時42400-(x-10)42(410-x)
売上の合計が27000円だったので
40x+28(300-x)+60(x-10)+42(410-x)=27000
40x+8400-28x+60x-600+17220-42x = 27000
40x-28x+60x-42x = 27000 -8400+600-17220
30x = 1980 x = 66
Aの個数は66個、Bはそれより10少ないので66-10 =56個

放物線と直線の変域が一致する1 1(1)

1.(1)
a>0の放物線y=ax2と直線y=-3x+bについて1≦x≦2でyの変域が一致する。
aとbの値をそれぞれ求めよ。

「直線と放物線のyの変域が一致する」とは 「直線と放物線の最大値が同じで、最小値も同じになる。」ことである。
ただし、同じ点を通るとは限らない。
a>0の放物線y=ax2のグラフにxの変域1≦x≦2を描き入れてみる
x=1をy=ax2に代入するとy=a, x=2を代入するとy=4aとなる。
原点は変域に含まれないので、aがyの最小値、4aが最大値となる。
12(1, a)(2, 4a)
xの変域が1≦x≦2のとき, yの変域がa≦y≦4aとなるように
y=-3x+bのグラフを描き入れてみる。
y=-3x+bは傾きがマイナスなので
(1, 4a)と(2,a)を通ることがわかる。
(1,4a)(2,a)12a4a
(1, 4a)と(2,a)の傾きが-3となることからaを出す。
-3 = a-4a2-1
-3 = -3a
a=1
y = -3x+bに (1,4)を代入すると
4=-3+b
b=7

1次関数総合問題Lv2 6

6.
(1)図でA(3,7), B(1,1), C(7,3)である。
Aを通り△ABCの面積を2等分する直線の式を求めよ。
OCxyBA
(2)直線l:y=2x+2, m:y=-x+4, n:y=13xがある。
点Aは直線l上のx>0の部分にあり、点Bは直線m上の
点で、点Cは直線n上の点である。
点Aと点Bのx座標は等しい。四角形ABCDが
正方形となるときのDの座標を求めよ。
xyABCDlmnO

(1) 三角形の頂点を通り、その三角形の面積をに等分する直線は、頂点の対辺の中点を通る。
Aと、BCの中点を通る直線を求める。
B(1,1), C(7,3)なのでBCの中点は(4,2)となる。
A(3,7)と(4,2)を通る直線の傾きは2-74-3 = -5
y=-5x+bに(3,7)を代入すると7=-5×3+b
b=22
よって y=-5x+22
(2)
Dのx座標をtとおくと、Cのx座標もtとなる。
Cは直線n上の点なのでx=tをnの式に代入して y =13t
C(t, 13t)
Cのy座標とBのy座標は等しいのでy =13tをmの式に代入すると
13t =-x+4
x=4-13t
B(4-13t, 13t)
BとAのx座標は等しいので x=4-13tをlの式に代入すると
y = 2(4-13t)+2
= 10- 23t
A(4-13t, 10- 23t)
するとAB =10- 23t - 13t = 10-t
また、BC = t - (4-13t) =43t -4
正方形なのでAB =BC
よって 10-t = 43t-4
30-3t=4t-12
-7t = -42
t = 6
Dのy座標はAのy座標と同じなので10- 23tに代入すると
y = 10-4=6
よってD(6,6)

中学数学の要点をわかりやすく説明

全く初めて勉強する分野や、習ったけれど忘れてしまったような事柄でも理解できるように基本事項を説明しています。  学校で習ったけれど理解できていない場合や、理解しているつもりでも得点に結びついていないような場合でも基本事項をよく理解した上で問題に取り組むことをおすすめします。

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リクエストに応じて、問題を解説

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更新履歴

2/15
3年問題
円周角5 円周角6
2/7
3年問題
円周角4
1/23
解説
3年相似と線分比1 2(2)
2年 等積変形の5 式による説明1 (5)

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