LasstUpdate 2019/11/11
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円周角2③ 解説

1. それぞれのxの値を求めよ。
x52°24°

BEに補助線を引く。
∠AFBと∠AEBはともに弧ABに対する円周角なので等しくなる。
∠AEB=24°
すると∠BEC=52-24=28
∠BECと∠BDCはともの弧BCに対する円周角なので等しくなる。
よって x=28
x52°24°ABCDEF

相似の証明2 1解説

1.
∠ABC=90°の直角三角形の頂点A, Cから直線mにそれぞれ垂線を
おろし、交点をD, Eとする。このとき△ADB∽△BECを証明しなさい。
ABCDEm

ABCDEm 点D,B,Eは直線m上の点なので
∠ABD(黄色)、∠ABC(直角)、∠CBE(緑色)の3つの角の和が直線になり180°である。
∠ABD+∠ABC+∠CBE=180°
このうち∠ABC=90°なので代入すると
∠ABD+90°+∠CBE=180°
∠ABD(黄色)+∠CBE(緑色) = 90°…①

次に△ADBで内角の和を考える。
△ADBの内角は ∠ABD(黄色)、∠ADB(直角)、∠DAB(赤色)の3つである。
三角形の内角の和は180°なので
∠ABD+∠ADB+∠DAB=180°
∠ADB=90°とわかっているので代入すると
∠ABD+90°+∠DAB=180°
∠ABD(黄色)+∠DAB(赤色)=90°…②

①と②の式をくらべると
黄色+緑色=90°
黄色+赤色=90° となる。
つまり、緑色の∠CBEと赤色の∠DABの大きさが等しいとわかる。
∠CBE = ∠DAB…③

△ADBと△BECでは ∠ADBと∠BECがともに直角だと仮定からわかるので
∠ADB=∠BEC=90°…④
③、④の式から「2組の角がそれぞれ等しい」という相似条件が成り立つ。

2乗に比例する関数 変域1 2(1)解説

2(1)
関数y=4x2で、xの変域が1≦x≦sのときのyの変域がt≦y≦36だった。s,tの値をそれぞれ求めよ。

y=4x2のグラフを 1≦x≦sの範囲で描く。

すると xの最小値のときにyが最小値になり、
xの最大値のときyが最大値になることがわかる。
よって x=1, y=tを y=4x2に代入すると
t=4
x=s, y=36をy=4x2に代入すると
36=4s2
s2 = 9
s=±3
1<sよりs=3
Oxy

2乗に比例する関数 総合問題4 5解説

5.
図1のような台形ABCDがある。点Pは頂点Dを出発して
毎秒2cmでD→A→B→Cと進み、Cで止まる。点QはPと同時
に頂点Aを出発し、 毎秒1cmでA→B→Cと進む。出発から
x秒後の点D, P, Qを頂点とする三角形の面積をycm2とする。
図2はxとyの関係をグラフにしたものである。
8cm14cmacmPQDABC図1
(1)aの値を求めよ。

(2)次のそれぞれの変域のときのyをxの式で表わせ。
① 0≦x≦4

② 4≦x≦8

③ 8≦x≦15

④ 15≦x≦22

xyO481522図2
(3)点A, P, Qを頂点とする三角形の面積が8cm2となるのは出発から何秒後か。すべて求めよ。

(1)
点Pは毎秒2cmで 8cm+acm+14cmを進むので
全体でかかる時間は 11 + a2
点Qは毎秒1cmでacm+14cmを進むので
全体でかかる時間は 14 + a 秒
a > 0なので QのほうがあとにCに到着する
よって 14+a =22
a=8

(2)
0≦x≦4での△DPQは底辺がPD=2x, 高さがAQ=xなので
面積 y= 2x×x÷2 =x2
8cm14cm8cmPQDABCxcm2xcm
出発から4秒でPがAに到着するので
4≦x≦8ではP,Qともに辺AB上にある。
よって△DPQは
底辺がPQ=x-(2x-8)=-x+8,高さがAD=8なので
面積 y=(-x+8)×8÷2 =-4x+32
8cm14cm8cmDABCPQ
出発から8秒でP,Q同時に点Bに到着するので、
8≦x≦15ではP,Qともに辺BC上にあり、Pのほうが先を進む。
△DQPは、高さがAB=8
底辺はQP=2x-(x+8)=x-8
よって面積 y=(x-8)×8÷2 = 4x-32
8cm14cm8cmDABCPQ
出発から15秒で点PがCに到着するので
15≦x≦22ではPがCと一致していて、
QだけがBC上を動く。
よって△DQPは高さがAB=8、
底辺が QP=22-x
よって面積 y=(22-x)×8÷2=88-4x
8cm14cm8cmDABP(C)Q

円周と面積 3⑤解説

3. 次の図の影をつけた部分の周の長さと面積を求めよ。
10cm 10cm 2cm 2cm

図形は3つの半円が組み合わさってできている。
最大は半径6cm, 次が半径5cm, 最小が半径1cmである。
10cm10cm2cm2cm
面積を求める。
面積は半径6の半円と半径1の半円の和から半径5の半円の面積を引く
12×6×6×π+12×1×1×π-12×5×5×π=18π+12π-252π=6π

周の長さを求める
図の曲線部分の和が周の長さなので
12×12π+12×10π+12×2π=12π

2次方程式応用(図形の問題) (5)解説

正方形の紙の4すみから1辺4cmの正方形を切り取り、直方体の容器を作る。直方体の容積が100cm3のとき、もとの正方形の紙の1辺の長さを求めよ。

もとの正方形の紙の1辺をxcmとする。
4x4x-8
組み立てて直方体の容器にすると
底面は1辺 (x-8)cmの正方形で
高さが4cmの直方体になる。
x-8x-84
個の容器の容積は (x-8)×(x-8)×4
これが100 cm3なので
4(x-8)2=100
4(x2-16x+64)=100
x2-16x+64=25
x2-16x+39=0
(x-3)(x-13)=0
x = 13 , 3
x > 8 より x=13

比例式 2 解説

2. 次の比例式でxの値を求めなさい。
(1)2:3=x:12(2) 10:x = 4:18(3)x:7=5:14 (4) 5:9=20:x(5)2:5=8:(x-2)(6) (x+5):9=4:3(7)x:(x-6) = 4:3(8) x:3=(x+2):5

比例式は 中と中、外と外の積を方程式にする。
a:b = m:n なら an = bm


2:3=x:12
24=3x
-3x=-24 両辺を-3で割る
x=8

10:x=4:18
180=4x
-4x=-180 両辺を-4で割る
x=45

x:7=5:14
14x=35 両辺を14で割る
x=52

5:9=20:x
5x=180 両辺を5で割る
x=36

2:5=8:(x-2)
2x-4=40 移項して同類項をまとめる
2x=4+40
2x=44 両辺を2で割る
x=22

(x+5):9=4:3
3x+15=36 移項して同類項をまとめる
3x=-15+36
3x=21 両辺を3で割る
x=7

x:(x-6)=4:3
3x=4x-24 移項して同類項をまとめる
3x-4x=-24
-x=-24 両辺を-1で割る
x=24

x:3=(x+2):5
5x=3x+6 移項して同類項をまとめる
5x-3x=6
2x=6 両辺を2で割る
x=3

文字式の表し方 3④解説

3次の式を×、÷の記号を使った計算に直しなさい。
a+2xy

割り算に直す前にかけ算を考えてみる。
その後、割り算と逆数のかけ算が同じであることを利用して割り算に直す

a+2xy=(a+2)×1xy

ここで1xy  だけ考えてみると
1xy=1x×1y
すると
(a+2)×1xy
=(a+2)×1x×1y
=(a+2)÷x÷y

2乗に比例する関数 総合問題2 4解説

4. 図のように直線l:y=12x+12と
放物線m:y=14x2が2点A, Bで交わっている。
次の問いに答えよ。

(1)点Aを通り、△AOBの面積を2等分する直線の式を求めよ。

(2)放物線m上のOからBの間に点Pをとり、△AOB=△APBとする。
このときPの座標を求めよ
OABxy

(1)
三角形の頂点と、その対辺の中点を通る直線は三角形の面積を2等分する
A,Bの座標を求める。
点A,Bはy=12x+12とy=14x2の交点なので
12x+12=14x2
2x+48=x2
x2-2x-48=0
(x-8)(x+6)=0
x=-6, 8
よってA(-6, 9), B(8, 16)
OBの中点は (4, 8)になるので
(4,8)とA(-6, 9)の2点を通る直線は
傾き8-94-(-6)=-110
y=-110x+bに(4,8)を代入すると
8=-110×4+b
b=8+25
b=425
よって直線の式はy=-110x+425

(2)
等積変形
底辺YZに平行で頂点Xを通る直線上に点Pをとると
△XYZと△PYZの面積は等しくなる。 XYZP

直線ABに平行で、点Oを通る直線上にPをとると
△AOBと△APBの面積は等しくなる
直線lの傾きは12なので直線ABに平行で
点Oを通る直線はy=12x
点Pは放物線m上の点なので
y=12xとy=14x2の交点がPである。
12x=14x2
2x = x2
x2-2x=0
x(x-2)=0
x=0, 2
0<x<8よりx=2
よってP(2, 1)
OABxyP

2次方程式 解と係数の問題  (7) 解説

(7) 2次方程式 x2+ax+6=0の解がともに整数となるようなaの値をすべて求めよ。

因数分解して (x-m)(x-n)=0
の形になる2次方程式は解が x=m, nである。
このときm, nが両方整数なら解がともに整数といえる。
x2+ax+6を因数分解して (x+□)(x+△)となるなら
□と△の積が6である。
積が6になる整数の組み合わせは
1×6
2×3
-1×(-6
-2×(-3
の4つである。
解がx=1,6のときの2次方程式は
(x-1)(x-6)=0なので
これを展開すると x2-7x+6=0
よって a=-7
同様に x=2,3のときは
x2-5x+6=0 より a=-5
x=-1, -6のときは
x2+7x+6=0 より a=7
x=-2, -3のときは
x2+5x+6=0 より a=5
よって a=-7,-5, 7,5

1次関数総合問題Lv1 5解説

5. 図の①〜③のグラフの式をそれぞれ選んで記号で答えよ。
xyO ア y=2x-7 イ y=-23x+13 ウ y=13x-23 エ y=3x-11 オ y=5 カ x=5

① グラフ上の2点から式を求める。
A(5,4)と B(4,1) より
変化の割合 4-15-4=3
y=3x+bに (4, 1)を代入すると 1=12+b
b=-11
よって式は y=3x-11

② x軸に平行な直線は y=数字になる。
C(0,5)より y=5

③ グラフ上の2点から求める。
D(-1, 1)と E(2,-1)より
変化の割合 =1-(-1)-1-2=-23
y=-23x+bに(-1,1)を代入すると
1=23+b
b=13
よって式はy=-23x+13
xyOABCDE

方程式総合問題L4 1解説

1. 次の方程式を解け。
0.24x-0.12=1.04x+1.68 2(3x+2)=3{3x+4(x+1)}+1 13(3x+1)=23(4x-1) x+74-56x=1-3x-72 2.2x-32(x-1)=0.5+23x 2x+16:34 =(x-4):2


0.24x-0.12=1.04x+1.68 両辺に100をかけて小数をなくす
24x-12=104x+168 移項して同類項をまとめる
24x-104x=12+168
-80x=180 両辺を-80で割る
x=-94
2(3x+2)=3{3x+4(x+1)}+1 ( )を分配法則で開く
6x+4 = 3{3x+4x+4}+1 { }を分配法則で開く
6x+4 = 9x+12x+12+1 移項
6x-9x-12x = 12+1-4 同類項をまとめる
-15x = 9 両辺を -15で割る
x= -35

13(3x+1)=23(4x-1) 分配法則でカッコをひらく
1x+13=83x-23 両辺に3をかけて分母をはらう
3x+1=8x-2 移項して同類項をまとめる
3x-8x=-1-2
-5x=-3 両辺を-5で割る
x=35

x+74-56x=1-3x-72 両辺に12をかけて分母をはらう
+3(x+7)-10x=+12-6(3x-7) 分配法則でカッコをひらく
3x+21-10x=12-18x+42 移項して同類項をまとめる
3x-10x+18x=-21+12+42
11x=33 両辺を11で割る
x=3
2.2x-32(x-1)=0.5+23x 両辺に30をかけて、小数点と分母をなくす
66x-45(x-1) = 15+20x 分配法則でかっこを開く
66x-45x+45 = 15+20x 移項
66x-45x-20x = 15-45 同類項をまとめる
x = -30
2x+16:34 =(x-4):2 比例式は中と中、外と外をかけて=で結ぶ
34(x-4)=2x+13 両辺に12をかけて分母をはらう
9(x-4)=4(2x+1) 分配法則でカッコをひらく
9x-36=8x+4 移項して同類項をまとめる
9x-8x=36+4
x=40

2乗に比例する関数 変域3 3(1)解説

3(1)
関数y=ax2で、xの変域が-4≦x≦-2のときのyの変域が-20≦y≦-5だった。aの値を求めよ。

xの変域が-4≦x≦-2のときのyの変域が-20≦y≦-5になる放物線を図にする
-2-4-5-20
するとx=-2のときy=-5、x=-4のときy=-20なのでどちらかのx,yの組をy=ax2に代入する。
-5 =4a
a=-54a

平行線の錯角、同位角 確認問題 2解説

次の①〜④のなかでl//mになるものをすべて選んで記号で答えよ。
97° 83° l m l m 88° 158° 70° l m 28° 60° 75° 102° 59° l m 78° 158° 26° 136°


直線の角は180°なので 180-97=83
錯角が等しいのでl//mとなる。
97°83°lm83°

図のように補助線を引いて158°、88°を外角とする三角形を作る。
多角形の外角の和は360°なので、残りの外角は114°である。
すると70°と錯角の位置にある角は180°-114°=66°となり
錯角が等しくないので lとmは平行ではない。
lm88°158°70°114°66°

図のように補助線を引いて三角形と四角形を作る。
四角形では60°の外角が120°なので、4つ目の外角は360°-28°-59°-120°=153°である。
また、三角形では75°の隣の角が105°なので3つ目の外角は360°-102°-105°=153°となる。
よって錯角が等しいのでl//mとなる。
lm28°60°75°102°59°105°153°120°153°

図のように補助線を引いて三角形を2つ作る。
下の三角形では外角が136°、154°とわかるので
3つ目の外角は360°-136°-154°=70°である。
上の三角形では外角が158°、102°とわかるので
3つ目の外角は100°で、その隣の内角が80°となる。
この80°と70°が錯角の位置になるが、等しくならないので
lとmは平行ではない。
lm78°158°136°26°154°70°102°100°80°

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