中学校数学・学習サイト

LastUpdate　2023/06/05

Index

更新履歴

6/5
1年　例題最大公約数と最小公倍数
5/26
連立方程式の基本的な解き方
5/13
解説 2年
等式の変形2
5/2
解説
因数分解_標準問題2 3の解説 因数分解_標準問題2 4の解説
3/28
1年例題
素因数分解の応用　整数の平方にする
最大公約数・最小公倍数の応用 タイルをならべる
球の表面積・体積
2年例題
1次関数応用　ダイヤグラム
1次関数応用　ダイヤグラム(道のりの差)
3年例題
おきかえを使った展開
展開のいろいろな問題(少し難)
3/3
1年例題
展開図と体積 円錐の側面積　応用 切断した立体の体積 回転体の体積 円周・円の面積 円周・円の面積2
2年例題
箱ひげ図とヒストグラム 平行四辺形の性質 直角三角形の合同証明 正三角形の性質を使った証明 二等辺三角形になるための証明 二等辺三角形の性質を利用した証明 正三角形の性質　角度
3年例題
座標上で移動した図形の面積 三角錐の高さ 直方体の対角線 立体表面の最短経路(入試レベル) 入試対策問題　平方根
2/6
3年例題
接線の長さ 三平方の定理とは
1/17
3年円周角　例題
円周角 基本問題1
円周角 基本問題2
円周角基本問題3
円周角と弧
円周角の逆

新着 解説

因数分解_標準問題2 3解説

3. 因数分解せよ。
(x+2y)2-(3x+y)2 a(x-2)+b(2-x) (x-3y)2+2x-6y-48 2a(2x+5)2-28a(2x+5)+80a


①(3a-5b)2+14(3a-5b)+49
3a-5bを文字に置き換えて因数分解する。

(3a-5b)2+14(3a-5b)+49 ↓3a-5bをAとおく
=A2+14A+49　　　↓14=2×7, 49=72なので2乗の公式で因数分解
=(A+7)2　　　　　↓Aを3a-5bにもどす
=(3a-5b+7)2

②(2a-b)x2+(b-2a)y2
マイナスをくくりだすと同じ形の式になる

(2a-b)x2+(b-2a)y2 ↓b-2a = -(2a-b)なので
=(2a-b)x2-(2a-b)y2　　↓2a-b=Aとおく
=Ax2-Ay-2 　　　　　　↓共通因数Aをくくりだす
=A(x2-y2) 　　　　　↓かっこの中が2乗の差なのでこれを因数分解
=A(x+y)(x-y)　　　　↓Aをもどす
=(2a-b)(x+y)(x-y)


③x2+8x+16+4(x+4)-77
x2+8x+16を因数分解すると　(x+4)2なので x+4=Aと置き換えて因数分解する。

x2+8x+16+4(x+4)-77 ↓x2+8x+16=(x+4)2なので
=(x+4)2 +4(x+4) -77　↓x+4 =Aとおく
= A2+4A -77　　↓積が-77, 和が+4となるのは -7, +11なので
= (A-7)(A+11)　↓Aをもどす
= (x+4-7)(x+4+11)
= (x-3)(x+15)



④2x(x+y)2-2x(2x-3y)2
共通因数をくくりだしてから, 置き換えを使って因数分解する。

2x(x+y)2-2x(2x-3y)2 　↓共通因数2xをくくりだす
=2x{(x+y)2-(2x-3y)2} ↓x+y=A, 2x-3y=Bとおく
=2x(A2-B2)　　　　↓かっこのなかを因数分解
=2x(A+B)(A-B) 　　↓A,Bをもとにもどす
=2x(x+y+2x-3y){x+y-(2x-3y)} ↓かっこの中を計算
=2x(3x-2y)(x+y-2x+3y)
= 2x(3x-2y)(-x+4y)

因数分解_標準問題2 4解説

4. 因数分解せよ。
2ax-ay-6x+3y 4a2-12ab+9b2-36 x2y-x2+2x-4y


①　2ax-ay-6x+3y
2ax-ayと　-6x+3yの組合せでそれぞれを因数分解する

2ax-ay-6x+3y　　　↓2ax-ay=a(2x-y), -6x+3y=-2(2x-y)なので
= a(2x-y)-2(2x-y)　↓2x-yが共通なのでこれをAと置く
= aA -2A　　　　　↓Aをくくりだす
= A(a-2)　　　↓Aを2x-yにもどす
= (2x-y)(a-2)


②　4a2-12ab+9b2-36
4a2-12ab+9b2だけ先に因数分解すると
4a2-12ab+9b2 =(2a)2-2×(2a)×(3b)+(3b)2 =(2a-3b)2なので
-36=-62とすれば
平方の差になるので因数分解できる

4a2-12ab+9b2-36
=(2a-3b)2 - 62 ↓2a-3b=Aとおく
= A2 - 62 ↓平方の差は和と差の積に因数分解
= (A+6)(A-6)　　↓Aをもどす
= (2a-3b+6)(2a+-3b-6)

③x2y-x2+2x-4y
x2y-4yと-x2+2xの組み合わせでそれぞれを因数分解する

x2y-x2+2x-4y ↓ x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2), -x2+2x=-x(x-2)なので
=y(x+2)(x-2)-x(x-2) ↓(x-2)が共通なのでこれをAに置き換える
= y(x+2)A-xA ↓Aをくくりだす
=A{y(x+2)-x} 　　↓{ }内を展開, Aを(x-2)にもどす
=(x-2)(xy+2y-x)

ダイヤグラム2 1解説

≫ 2の解説

xはいつからの時間か？　yはどこからの距離か？
ダイヤグラムでは直線の傾きは速さ
基準の地点から離れて行く時は傾きはプラス、逆に近づいてくるときはマイナス
すれ違う、出会う、追い抜かれる点は直線の交点

1. グラフはA駅とB駅の間の列車の運行を表すダイヤグラムである。
10:00からx分後のA駅からの道のりをymとしてある。列車は常に一定の速さだとする。
10:00にB駅を出た列車は10:20にA駅に着き、すぐ折り返してB駅に10:40に着く。
太郎君が10:04にA駅を出て線路沿いの道をA駅からB駅に向かって分速200mの自転車で走る。
途中B駅からくる列車と10:16にすれ違い、そのあとA駅で折り返してきた列車に追い抜かれた。 A駅 B駅 0 10 20 30 40 50 (分) x y
(1)太郎君の式を出す。
① 太郎君のグラフの傾きはいくつか。
② 「太郎君がA駅を10:04に出発した」このときのxとyを求めよ。
③ 太郎君の式を求めよ。
(2) 太郎君が列車（B駅10:00発）とすれ違ったのはA駅から何ｍか。
(3) 列車（B駅10:00発）の式を求める。
① この列車のグラフが通る座標を2つ求めよ。
② この列車の式を求めよ。
(4) 列車（A駅10:20発）の式を求める。
① この列車のグラフの傾きと、座標を1つ求めよ。
② この列車の式を求めよ。
(5) 太郎君が列車（A駅10:20発）に追い抜かれた時刻を求めよ。
(6) A駅からB駅までは何ｍか。

(1)
　 ① 分速200mで基準のA駅から離れるので　傾きは200
② 時間の基準が10:00なのでx=4, 道のりの基準がA駅なのでy=0
③ 傾き200で(4,0)を通る直線の式を求めると y=200x-800
(2)
　太郎君は10:16にB駅からくる列車のすれ違っているので
(1)でだした太郎くんの式にx=16を代入する。
y=200×16-800 =2400
(3)
　 ① グラフからわかる唯一の点(20,0),
(2)で出した太郎くんとすれ違う点(16, 2400)
② (20,0)と(16, 2400)の2点を通る直線の式を求めると
y =-600x+12000
(4)
　 ① (3)で出した式から列車の速さは毎分600m
列車は常に一定の速さなのでA駅発の速さも同じ。
ところがA駅から離れていく場合傾きはプラスなので 600
またグラフから(20,0)を通ることがわかる。
② 傾き600で(20,0)を通る直線の式を求めると
y=600x-12000
(5)
　 追いぬかれた点は太郎君のグラフとA駅発の列車のグラフの交点。
よって式を連立させて解く
{y=200x-800y=600x-12000
これを解くと x=28, y=4800
追いぬかれた時刻は10:28
(6)
　 A駅からB駅までの道のりは
B駅発の列車のx=0のときのy
またはA駅発の列車のx=40のときのy
どちらでも同じ値になるはずである。
y=-600x+12000にx=0を代入するとy=12000
答12000m

2乗に比例する関数 総合問題2　1(4）

1(4) 関数y=-6x2で、xの変域が-2≦x≦sのときのyの変域が-54≦y≦tだった。s,tの値をそれぞれ求めよ。

yの変域 -54≦y≦tから y=-54に対応するxの値を求める。
y=-6x2にy=-54を代入すると
-54 = -6x2
6x2 = 54
x2=9
x = ±3
xの値は+3または-3だが,
xの変域は -2≦x≦sなので -3は不適。 つまり y=-54に対応するxの値は x=3となる。
よって xの変域は -2≦x≦3 したがって s=3
xの変域が 負から正の範囲まであるときには放物線は原点を含むので
y=-6x2の最大値はy=0となる。
よって yの変域は -54≦y≦0 つまり t=0

おうぎ形(半径と中心角から弧や面積を出す)

次の問いに答えよ。 半径6cmで中心角90°のおうぎ形の弧の長さを求めよ。 半径5cmで中心角30°のおうぎ形の弧の長さを求めよ。 半径16cmで中心角31.5°のおうぎ形の弧の長さを求めよ。 半径12cmで中心角80°のおうぎ形の面積を求めよ。 半径10cmで中心角20°のおうぎ形の面積を求めよ。 半径92cmで中心角160°のおうぎ形の面積を求めよ。

おうぎ形の弧の長さ=円周×中心角360°
おうぎ形の面積=円の面積×中心角360°
(1)
　円周=2×6×π=12π,中心角90°　より　
　弧の長さ=12π×90360=3π

(2)
　円周=2×5×π=10π,中心角30°　より
　弧の長さ=10π×30360=56π

(3)
　直径=16×2=32,中心角31.5°より
　　32π×31.5÷360=145π

(4)
　円の面積=12×12×π=144π,中心角80°より
　おうぎ形の面積=144π×80360=32π

(5)
　円の面積=10×10×π=100π,中心角20°より
　　おうぎ形の面積=100π×20360　=509π

(6)
　円の面積=92×92×π=814π,中心角160°より
　　おうぎ形の面積=814π×160360　=9π

中学数学の要点をわかりやすく説明

全く初めて勉強する分野や、習ったけれど忘れてしまったような事柄でも理解できるように基本事項を説明しています。 　学校で習ったけれど理解できていない場合や、理解しているつもりでも得点に結びついていないような場合でも基本事項をよく理解した上で問題に取り組むことをおすすめします。

基礎から発展まで多数の問題を掲載

基本事項が理解できたら練習問題をこなしてそれを定着させましょう。「中学校数学学習サイト」には基礎問題から入試にも対応した発展問題まで幅広いレベルの問題が多数掲載されています。レベルに応じて十分な練習が可能です。

リクエストに応じて、問題を解説

特に解き方が難しいと思われる発展問題や応用問題には解説を掲載しています。まだ解説をつけていない問題でもリクエストがあれば解説を作りますのでご連絡ください。

PCやスマホで手軽にできる練習問題

問題をプリントしなくてもパソコンやスマートフォンから入力して答えられる計算問題も多数掲載しています。とくに計算問題は数をこなすことで得意になるものです。空いた時間と文明の利器を上手に使って効率よく勉強しましょう。

学習 コンテンツ

練習問題 各単元の要点 pcスマホ問題 数学の例題

学習アプリ

方程式計算アプリ 中1 計算問題アプリ　方程式
中1数学の方程式の計算問題を徹底的に練習

© 2006- 2023 SyuwaGakuin　All Rights Reserved