LasstUpdate 2018/07/23
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新着 解説

連立文章題(濃度) (5)解説

(5)濃度のわからない食塩水AとBがある。Aを150gとBを100g混ぜてそこに水を200gいれ、さらに食塩を10g加えたら5%の食塩水になった。また、Aを100gとBを200g混ぜてそこから水を100g蒸発させたら11%の食塩水になった。A,Bそれぞれの濃度を求めなさい。

濃度100×全体の質量(g) = 食塩の質量(g)
混ぜる前の全体の質量の合計 = 混ぜた後の全体の質量
混ぜる前の食塩の質量の合計 = 混ぜた後の食塩の質量の合計

Aの濃度をx%, Bの濃度をy%とする。
「Aを150gとBを100g混ぜてそこに水を200gいれ、さらに食塩を10g加えたら5%の食塩水になった」
全体の質量は150g+100g+200g+10=460gとなる。
A150gに含まれる食塩は x100×150
B100gに含まれる食塩は y100×100
水200gの中には食塩は0, 食塩はそのまま10g
よって混ぜる前の食塩の合計はx100×150+y100×100+10
混ぜた後の濃度は5%なのでそこに含まれる食塩は5100×460
よって1つ目の式は x100×150+y100×100 +10 = 5100×460
つぎに
「Aを100gとBを200g混ぜてそこから水を100g蒸発させたら11%の食塩水になった」
全体の質量(蒸発の分は引く) 100+200-100 = 200
A100gに含まれる食塩はx100×100
B200gに含まれる食塩はy100×200
水が蒸発しても食塩は減らないので 混ぜる前の食塩は
x100×100+y100×200
混ぜた後は11%になるのでそこに含まれる食塩は
11100×200
よって2つ目の式はx100×100+y100×200 = 11100×200
【式】
{x100×150+y100×100+10=5100×460x100×100+y100×200=11100×200
これを解くとx=2, y=10


平方根の計算3 4②⑥ 解説

4.分母にルートのない形にしなさい。
312  ⑥ 1218

ルートの計算では、ルートの中は常にできるだけ簡単にしておく
有理化する前にルートの中を簡単にします。

12 = 2×2×3 = 23
よって 
312
= 323
= 323×3
= 332×3
= 32

18 =3×3×2 = 32
よって
1218
= 1232
= 42
= 22×2
= 422
= 22

総合問題1 7解説

図1は1辺の長さが6cmの正四面体である。
(1)この正四面体の体積を求めよ。
(2)図2のようにDP=2cmとなる点Pを
辺AD上にとり、面PBCでこの正四面体
を切断する。
①切断面△PBCの面積を求めよ。
②点Aから面PBCにおろした垂線の
長さを求めよ。
A B C D 図1 図2 P

(1)
BCの中点をEとして面AEDで正四面体を2等分する。
切断面の△AEDはAD=6, AE=DE=33の二等辺三角形である。
この△AEDは底辺をADとすると高さが32なので
面積は92
立体C-AEDは△AEDを底面とした三角錐で高さは3cm
すると体積は3×92÷3=92
これが正四面体の半分なので正四面体の体積は182
E
6 3√3 3√3 3√2 A D E

(2)
① 図のように点Pから辺CDに垂線をおろし、CDとの交点をQとする。
直角三角形PDQは∠PDQ=60°なのでPD=2, QD=1, PQ=3である。
直角三角形PCQで三平方の定理によりPC=27
すると△PBCはBC=6, PC=PB=27の二等辺三角形となる。
△PBCは底辺を BCとすると三平方の定理より高さが19である。
よって面積は319となる。

(1)から正四面体の体積は182
面積比 △APC:△ACD=2:3なので
体積比 B-APC:B-ACD=2:3
よって三角錐B-APCの体積は122
また①より△PBCの面積は319
Aから面PBCにおろした垂線とは△PBCを底面にしたときの三角錐の高さになる。
よって求める垂線をhとすると 319×h÷3=122
これを解いて h=121938
C D P A 1 2 5 Q
B C P 6 2√7 2√7 √19

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