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LasstUpdate 2020/10/28

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2乗に比例する関数 総合問題4 1(6)解説

1(6)
放物線y=ax2と直線m>0のy=mx-4について-4≦x≦8でyの変域が一致する。aとmの値をそれぞれ求めよ。

y=mx-4は切片が-4なので,最小値は負である。
よってy=ax2のグラフもy<0の範囲にあるので a<0となる。
y=ax2のグラフを-4≦x≦8の範囲でかくと図のようになる。

最大値はy=0, 最小値はx=8のときのyの値 y=64aで
,変域は緑色の四角形の部分である。
-48Oxy(8, 64a)
y=mx-4は傾きmが正なので
グラフは変域の左下の点(-4, 64a)と右上の点(8,0)を通る。
点(8,0)をy=mx-4に代入すると
0=8m-4
m=12
y=12x-4に点(-4,64a)を代入すると
64a=12×(-4)-4
a=-332
-48Oxy(8, 64a)

関数と 図形2 3

図で点Pはy=2x-6のグラフ上にあり、y座標が正の
点である。 y=2x-6のグラフとx軸との交点をAと
し、 x軸上に点B(7, 0)をとる。 △PABの面積が4に
なるときのPの座標を求めよ。
ABOpy=2x-6xy(7,0)

点Aはy=2x-6のグラフとx軸との交点なので
y=2x-6にy=0を代入して
0=2x-6
x = 3
A(3,0)

点Pはy=2x-6のグラフ上の点なので
Pのx座標をtとすると
y = 2t-6
P(t, 2t-6)
ABOpy=2x-6xy(7,0)底辺高さ △PABで底辺をABとすると,Pからx軸に
おろした垂線の長さが高さとなるので
底辺(AB)= 7-3 = 4
高さ = 2t-6
△PABの面積=4 より
4×(2t-6)÷2 = 4
4t-12 =4
t = 4
よって P(4, 2)

放物線と直線の変域が一致するLv2 (1)解説

(1) 放物線y=ax2と直線m<0のy=mx+18について-6≦x≦4でyの変域が一致する。 aとmの値をそれぞれ求めよ。

直線の切片が18なので,-6≦x≦4の範囲でグラフの最大値は18より大きくなる。
よって,a>0とわかる。

-6≦x≦4で a>0の放物線をかくと図のようになる。
-64Oxy-6最大最小
図より,放物線の最小値はy=0,
最大値はx=-6のときのyの値なので
y= a×(-6)2 = 36a である。

直線は傾きが負なので,xが大きくなるほどyが小さくなる。
よって x=4のときy=0, x=-6のときy=36aである。

y = mx+18にx=4,y=0を代入すると
0 = 4m+18
m = -92
y = -92x+18にx=-6,y=36aを代入すると
36a = -92×(-6)+18
36a = 45
a = 54

相似と線分比1 1(3)

(3)DE//BC, AE=8cm, ED=10cm, BC=15cm, DB=5cmのとき
ADの長さを求めよ。
CEの長さを求めよ。
ABCDE

ABCDE5cm8cm10cm15cm
DE//BCより同位角が等しいので∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB
よって2組の角がそれぞれ等しいので△ADE∽△ABCである。

ABCDEADE8cm10cm15cm8cm5cmxyx EDとCBが対応する辺なので相似比は
ED:CB = 10:15 = 2:3
ADに対応する辺はABである。
AD=xとすると, AB = x+5 となるので
x:(x+5) = 2:3
3x = 2(x+5)
3x = 2x+10
x = 10
よって AD = 10cm

AEに対応する辺はACである。
CE=yとすると AC= 8+yなので
8:(8+y) = 2:3
2(8+y) = 8×3
16+2y = 24
2y = 8
y =4
よってCE=4cm

直角三角形3 2証明

2
∠BCD=90°で、BDは∠ADCの二等分線である。点AからBDに垂線を引き、その交点をEとする。BD=ADのとき△BCD≡△AEDを証明せよ。
A B C D E

仮定を図に1つずつ描き入れる。
∠BCD=90°ABCDE
BDは∠ADCの二等分線 ABCDE
AEとBDが垂直 ABCDE
BD=ADABCDE
2つの三角形BCDとAEDを向きをそろえて並べると
ABCDED
両方とも直角三角形となり,斜辺が等しく,鋭角も1つ等しくなる。
等しい辺や角を式にして理由をつければ証明となる。
△BCD と△AED において
BD=AD(仮定)
∠BCD=∠AED=90°(仮定)
∠BDC=∠ADE(角の二等分線)
よって直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しいので△BCD≡△AED

2乗に比例する関数 変域2 3(1)

3(1)
関数y=ax2で、xの変域が-6≦x≦-2のときのyの変域が2≦y≦18だった。aの値を求めよ。

-6-2182xyO y=ax2のグラフで、yの変域が正なのでa>0である。
-6≦x≦-2 の範囲でグラフを描くと
x=-6のときに最大値y=18, x=-2のとき最小値y=2となる。
y=ax2に(-2,2)を代入すると
2=a×(-2)2
a=12

円周角4 1④

xの値を求めよ。ただし、点Oは円の中心である。
Ox22°86°

半径は等しいので△AOB, △BOCは
ともに二等辺三角形である。
二等辺三角形の底角は等しいので
∠OAB=∠OBA=x
∠OCB=∠OBC=22°となる。
∠ABCは弧ACに対する円周角で、
弧ACに対する中心角が∠AOC=86°である。
等しい弧に対する円周角は
中心角の12なので

∠ABC=86°÷2=43
x+22° = 43°
x = 21°
Ox22°86°22°xABC

いろいろな計算(分数)3 1①②③途中式

1.次の計算をせよ。
x+23+3x-12+3x   5a-4a+33+2a-36    m-n2-3m-4n6+2n


  x+23+3x-12+3x
= 2(x+2)+3(3x-1)+6×3x6
= 2x+4+9x-3+18x6
= 29x+16
= 296x+16


5a-4a+33+2a-36
=6×5a-2(4a+3)+2a-36
=30a-8a-6+2a-36
=24a-96
=4a-32


m-n2-3m-4n6+2n
=3(m-n)-(3m-4n)+6×2n6
=3m-3n-3m+4n+12n6
=136n

1・2年の復習Lv4_1 6① 解説

AB=BC=CD=DE=EFのとき∠xの大きさを求めよ。
82°xABCDEF

AB=BCなので△ABCは二等辺三角形
二等辺三角形の底角は等しいので
∠BAC=∠BCA=x
△ABCで三角形の外角はそれととなり
あわない2つの内角の和に等しいので
∠CBD=x+x=2x
82°xABCDEFx2x

CD=CBなので△CDBは二等辺三角形
二等辺三角形の底角は等しいので
∠CBD=∠CDB=2x
82°ABCDEF2x2x

△CDAで三角形の外角はそれととなり
あわない2つの内角の和に等しいので
∠ECD = x+2x = 3x
82°xABCDEF2x3x

CD=DEより△DCEは二等辺三角形
二等辺三角形の底角は等しいので
∠DCE=∠DEC=3x
82°ABCDEF3x3x

△EADで三角形の外角はそれととなり
あわない2つの内角の和に等しいので
∠EDF=x+3x=4x
82°ABCDEFx3x4x

DE=EFより△DEFは二等辺三角形
二等辺三角形の底角は等しいので
∠EDF=∠EFD=4x
82°ABCDEF4x4x

△FAEで三角形の外角はそれととなり
あわない2つの内角の和に等しいので
4x+x =82°
5x=82°
x=16.4°
82°xABCDEF4x

1・2年の復習Lv4_4 6③解説

6③
図のような底面が直角三角形(∠ABC=90°)の三角柱がある。AB=6㎝、BC=8㎝、CA=10㎝、AD=14㎝である。この三角柱の辺BE上にBP=8㎝となる点Pをとり、点A,P,Fを通る平面でこの立体を2つに分けてできるそれぞれの立体の体積を求めよ。
ABCDEFP

ABCDEFP6881414668 四角錐A-BPFCについて ∠ABC=90°,∠ABE=90°より
直線ABは面BEFCと垂直である。
よって四角錐A-BPFCは底面が台形BPFCで
高さがAB=6cmである。
台形BPFCの面積= (8+14)×8÷2 = 882
四角錐A-BPFCの体積 = 88×6÷3 = 176cm3

四角錐F-ADEPについて
∠DEF=90°,∠BEF=90°より
直線FEは面ADEBと垂直である。
よって四角錐F-ADEPは底面が台形ADEPで
高さがFE=8cmである。
台形ADEPの面積 = (6+14)×6÷2 = 60cm2
四角錐F-ADEPの体積 = 60×8÷3=160cm3

平方根の応用問題(代入) 3解説

x=3+7, y=3-7のとき次のそれぞれの式の値を求めよ。
①x2-6x+9  ②x2-2xy+y2  ③1x+1y

式を整理してから代入する
x2-6x+9 = (x-3)2
= {(3+7)-3}2
= (7)2
= 7
与えられた式を因数分解
してから代入する


x2-2xy+y2 = (x-y)2
= {(3+7)-(3-7)}2
= (3+7-3+7)2
= (27)2
= 28
与えられた式を因数分解
してから代入する


1x+1y =yxy+xxy
=y+xxy
=3-7+3+7(3+7)(3-7)
=69-7
=62
=3
通分して一つの分数に
変形してから代入する


三平方の定理練習3 1③解説

③△ABCの面積が6で,AB=10,BC=4のときACの長さを求めよ。
A B C

ABCD410 頂点AからBCの延長上に垂線をおろし、交点をDとする。
ADはBCを底辺としたときの高さとなる。
△ABCの面積が6なので 4×AD÷2 = 6 より
AD=3


ABCD4103 直角三角形ADBでAB=10,AD=3なので
三平方の定理より
32+DB2=(10)2
DB2 = 10-9
よって DB=1


ABCD431 直角三角形ADCでAD=3, DC=1+4=5 なので
三平方の定理より
32+52=AC2
AC2 = 9+25
よって AC = 34

三平方の定理練習3 1②解説

1②
△ABCの面積が64で、
AB=413, BC=16のとき
 ACの長さを求めよ。 A B C

ABC41316xD AからBCに垂線をおろし,交点を Dとする。
ADはBCを底辺としたときの△ABCの高さである。
△ABCの面積は64なので
16×AD÷2 = 64
AD = 8

ABC41316xD8 △ABDは直角三角形なので,三平方の定理より
82+BD2 = (413)2 BD2 = 208-64
BD2 = 144
BD>0なので BD =12
DC = 16-12=4
△ADCは直角三角形なので,三平方の定理より
x2 = 82+42
x2 = 80
x=45

1・2年の復習Lv3_3 4解説

4
直線lはy=2x+2, mはy=-23x+26のグラフである。
点Aは直線l上にあり、点Dは直線m上にある。
また、点B,Cをx軸上にとり長方形ABCDを作る。
長方形ABCDの辺ABとADの比が3:4のとき
点Aの座標を求めよ。
ABCDlmOxy

Aのx座標をpとおく。 Aは直線l上の点なのでlの式にx=pを代入すると
y=2p+2 となる。
よってA(p, 2p+2)

Dは直線m上にあり,y座標がAのy座標と等しいので
mの式に y=2p+2を代入してx座標を求めると
2p+2=-23x+26
23x=-2p+24
x= -3p+36
よって D(-3p+36, 2p+2)

線分ABの長さはAとBのy座標の差なので
AB = 2p+2-0 = 2p+2
線分ADの長さはDとAのx座標の差なので
AD = -3p+36 - p = -4p+36
AB:AD = 3:4 より
(2p+2):(-4p+36) = 3:4
3(-4p+36) = 4(2p+2)
-12p+108 = 8p+8
-20p = -100
p = 5
2p+2 = 2×5+2 = 12 よって Aの座標 (5, 12)

1次関数総合問題Lv.2 1解説

2. 1次関数3x+4y-1=0について次の問いに答えよ。
①傾きと切片を答えよ。
②xが2増加するときのyの増加量を求めよ。
③xの変域が3≦xのときのyの変域を求めよ。

1次関数の式
y=ax+b   a…傾き, b…切片

変化の割合 = yの増加量xの増加量

1次関数では変化の割合は一定で,傾きaに等しい

 3x+4y-1=0をyについて解くと
 y=-34x+14
 よって傾き-34,切片14


 変化の割合=yの増加量xの増加量 より
 yの増加量=変化の割合×xの増加量
よって -34×2 = -32

 1次関数3x+4y-1=0グラフを3≦xの範囲で書くと次のようになる
xyO3-2
 xが最小値3のとき yは最大値-2となる。
 y≦ -2

1・2年の復習Lv3_1 6③解説

6③図は1辺の長さが9cmの立方体である。この立方体の各面の対角線の交点を頂点として作られる正八面体の体積を求めよ。 9cm

9cmABCDEFGHOPQRST見取図 正八面体を面PQRSで切断して
2つの正四角錐に分ける

立面図平面図(正面から見た図)(真上から見た図)OPTRQ(S)PQRSO(T)9cm9cm9cm 正四角錐O-PQRSの高さは 92cm である。



図を真上からみると四角形PQRSは
対角線が9cmの正方形だとわかる。
よって PQRSの面積 = 9×9÷2 = 812cm2
正四角錐O-PQRS=812×92÷3=2434cm3
正四角錐T-PQRSも同じ体積になるので
正八面体の体積=2434×2=2432cm3

1・2年の復習Lv1_5 6③解説

6③ 底面の半径4cm, 高さ6cmの円柱の表面積と体積を求めよ。

円柱の表面積 = 側面積 + 底面積×2
円柱の体積 = 底面積×高さ

半径4cm高さ6cm見取図展開図4cm6cm8πcm 表面積
展開図を描くと、側面は縦6cm, 横8πcmの長方形なので
側面積 = 6×8π = 48πcm2
底面は半径4cmの円なので
底面積 = 4×4×π =16π(cm2)
表面積 = 48π+16π×2 = 80π(cm2)

体積
底面積 = 16π(cm2)で、高さ6cmなので
体積 = 16π×6 = 96π(cm3)

いろいろな計算(分数)2 1⑦途中式

1.次の計算をせよ。
⑦ -2a-b5+-3a+2b

-2a-b5+-3a+2b
= -(2a-b)+5(-3a+2b)5
= -2a+b-15a+10b5
= -17a+11b5
= -175a+115b

2次方程式総合問題Lv.2 2(2)解説

2. 次の問いに答えよ。
(2)2つの2次方程式x2+ax+b=0…①とx2-2(a+b)x+10b=0…②はどちらも解の1つがx=-3である。 ①, ②のもう1つの解をそれぞれ求めよ。

①,②それぞれにx=-3を代入する。
①に代入すると
(-3)2+a×(-3)+b=0
これを整理して
9-3a+b=0
-3a+b=-9…③

②に代入すると
(-3)2-2(a+b)×(-3)+10b=0
これを整理して
9+6a+6b+10b=0
6a+16b=-9…④
③と④を連立方程式として解く
③×2+④
-6a+2b=-18+)6a+16b=-9 18b=-27 b=-32
b=-32 を③に代入
-3a-32 = -9
a = 52
a,bを①に代入すると
x2+52x -32=0
2x2+5x-3=0
解の公式より
x = -5±52-4×2×(-3)2×2
 = -5±74
 = -3, 12
よって①のもう一つの解は x=12

a,bを②に代入すると
x2-2(52-32)x+10×(-32)=0
x2-2x-15=0
(x+3)(x-5)=0
x= -3, 5
よって②のもう一つの解はx=5

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