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1. グラフはA駅とB駅の間の列車の運行を表すダイヤグラムである。
10:00からx分後のA駅からの道のりをymとしてある。列車は常に一定の速さだとする。
10:00にB駅を出た列車は10:20にA駅に着き、すぐ折り返してB駅に10:40に着く。
太郎君が10:04にA駅を出て線路沿いの道をA駅からB駅に向かって分速200mの自転車で走る。
途中B駅からくる列車と10:16にすれ違い、そのあとA駅で折り返してきた列車に追い抜かれた。
(1)太郎君の式を出す。
① 太郎君のグラフの傾きはいくつか。
② 「太郎君がA駅を10:04に出発した」このときのxとyを求めよ。
③ 太郎君の式を求めよ。
(2) 太郎君が列車（B駅10:00発）とすれ違ったのはA駅から何ｍか。
(3) 列車（B駅10:00発）の式を求める。
① この列車のグラフが通る座標を2つ求めよ。
② この列車の式を求めよ。
(4) 列車（A駅10:20発）の式を求める。
① この列車のグラフの傾きと、座標を1つ求めよ。
② この列車の式を求めよ。
(5) 太郎君が列車（A駅10:20発）に追い抜かれた時刻を求めよ。
(6) A駅からB駅までは何ｍか。

(1)
　 ① 分速200mで基準のA駅から離れるので　傾きは200
② 時間の基準が10:00なのでx=4, 道のりの基準がA駅なのでy=0
③ 傾き200で(4,0)を通る直線の式を求めると y=200x-800
(2)
　太郎君は10:16にB駅からくる列車のすれ違っているので
(1)でだした太郎くんの式にx=16を代入する。
y=200×16-800 =2400
(3)
　 ① グラフからわかる唯一の点(20,0),
(2)で出した太郎くんとすれ違う点(16, 2400)
② (20,0)と(16, 2400)の2点を通る直線の式を求めると
y =-600x+12000
(4)
　 ① (3)で出した式から列車の速さは毎分600m
列車は常に一定の速さなのでA駅発の速さも同じ。
ところがA駅から離れていく場合傾きはプラスなので 600
またグラフから(20,0)を通ることがわかる。
② 傾き600で(20,0)を通る直線の式を求めると
y=600x-12000
(5)
　追いぬかれた点は太郎君のグラフとA駅発の列車のグラフの交点。
よって式を連立させて解く
{y=200x-800y=600x-12000
これを解くと x=28, y=4800
追いぬかれた時刻は10:28
(6)
　 A駅からB駅までの道のりは
B駅発の列車のx=0のときのy
またはA駅発の列車のx=40のときのy
どちらでも同じ値になるはずである。
y=-600x+12000にx=0を代入するとy=12000
答12000m

2乗に比例する関数総合問題2　1(4）

1(4) 関数y=-6x²で、xの変域が-2≦x≦sのときのyの変域が-54≦y≦tだった。s,tの値をそれぞれ求めよ。

yの変域 -54≦y≦tから y=-54に対応するxの値を求める。
y=-6x²にy=-54を代入すると
-54 = -6x²
6x² = 54
x²=9
x = ±3
xの値は+3または-3だが,
xの変域は -2≦x≦sなので -3は不適。つまり y=-54に対応するxの値は x=3となる。
よって xの変域は -2≦x≦3 したがって s=3
xの変域が負から正の範囲まであるときには放物線は原点を含むので
y=-6x²の最大値はy=0となる。
よって yの変域は -54≦y≦0 つまり t=0

おうぎ形(半径と中心角から弧や面積を出す)

次の問いに答えよ。半径6cmで中心角90°のおうぎ形の弧の長さを求めよ。半径5cmで中心角30°のおうぎ形の弧の長さを求めよ。半径16cmで中心角31.5°のおうぎ形の弧の長さを求めよ。半径12cmで中心角80°のおうぎ形の面積を求めよ。半径10cmで中心角20°のおうぎ形の面積を求めよ。半径92cmで中心角160°のおうぎ形の面積を求めよ。

おうぎ形の弧の長さ=円周×中心角360°
おうぎ形の面積=円の面積×中心角360°
(1)
　円周=2×6×π=12π,中心角90°　より　
　弧の長さ=12π×90360=3π

(2)
　円周=2×5×π=10π,中心角30°　より
　弧の長さ=10π×30360=56π

(3)
　直径=16×2=32,中心角31.5°より
　　32π×31.5÷360=145π

(4)
　円の面積=12×12×π=144π,中心角80°より
　おうぎ形の面積=144π×80360=32π

(5)
　円の面積=10×10×π=100π,中心角20°より
　　おうぎ形の面積=100π×20360　=509π

(6)
　円の面積=92×92×π=814π,中心角160°より
　　おうぎ形の面積=814π×160360　=9π

1次関数_変化の割合3 2 解説

2. 次のように点Aと点Bがある。それぞれの場合についてAからBまで変化するときの変化の割合を求めよ。
A(11, 8)　B(12, 11)A(5, 7)　B(8, 13) A(10, 15)　B(12, 11) A(7, 2)　B(8, －6) A(12, 13)　B(15, 4) A(－1, －7)　B(2, 8)

変化の割合=yの増加量xの増加量
A(11, 8)　B(12, 11)
yの増加量 = 11-8=3
xの増加量 = 12-11=1
変化の割合 = 31
= 3 A(5, 7)　B(8, 13)
yの増加量 = 13-7=6
xの増加量 = 8-5=3
変化の割合 = 63
= 2 A(10, 15)　B(12, 11)
yの増加量 = 11-15=-4
xの増加量 = 12-10=2
変化の割合 =- 42
= -2 A(7, 2)　B(8, －6)
yの増加量 = -6-2=-8
xの増加量 = 8-7=1
変化の割合 =- 81
= -8 A(12, 13)　B(15, 4)
yの増加量 = 4-13=-9
xの増加量 = 15-12=3
変化の割合 =- 93
= -3 A(－1, －7)　B(2, 8)
yの増加量 = 8-(-7)=8+7=15
xの増加量 = 2-(-1)=2+1=3
変化の割合 = 153
= 5

2次方程式 (解の公式利用)類題1 解説

1. 次の２次方程式を解きなさい。
x²-8x+9= 0

ax²+bx+c=0の解の公式は　x=-b±b²-4ac2aなので
x²-8x+9= 0では, a=1,b=-8,c=9を解の公式に代入すると

x =8±64-4×1×92×1
=8±64-362
=8±282
=8±272
=4±7

因数分解_標準問題1 3

3. 次の式を因数分解せよ。
(x+2y)²-(3x+y)²a(x-2)+b(2-x)(x-3y)²+2x-6y-482a(2x+5)²-28a(2x+5)+80a

(x+2y)²-(3x+y)²
x+2yをAに, 3x+yをBに置き換える。

(x+2y)²-(3x+y)² = A²-B²　　↓平方の差は和と差の積に因数分解できる
= (A+B)(A-B)　↓A,Bをもとにもどす
= (x+2y+3x+y){x+2y-(3x+y)}　↓-の符号に注意する
= (4x+3y)(x+2y-3x-y)
= (4x+3y)(-2x+y) a(x-2)+b(2-x)
2-x =-(x-2)　のようにマイナスをくくりだすと　x-2が共通になる

a(x-2)+b(2-x) = a(x-2)-b(x-2) ↓x-2をAとおく
= aA-bA ↓Aをくくりだす
= A(a-b) ↓Aをx-2にもどす
= (x-2)(a-b) (x-3y)²+2x-6y-48
2x-6y=2(x-3y) として x-3yを文字に置き換える

(x-3y)²+2x-6y-48 = (x-3y)²+2(x-3y)-48 ↓x-3yをAとおく
= A²+2A-48 ↓積が-48,和が2となる2数は -6と8なので
= (A-6)(A+8) ↓Aをx-3yにもどす
= (x-3y-6)(x-3y+8) 2a(2x+5)²-28a(2x+5)+80a 2aが共通因数なので、まず2aをくくり出し、さらに2x+5を文字に置き換えて因数分解する。

2a(2x+5)²-28a(2x+5)+80a = 2a{(2x+5)²-14(2x+5)+40} ↓2x+5をAとおく
= 2a(A²-14A+40) ↓積が+40,和が-14となる2数は -4と-10なので
= 2a(A-4)(A-10) ↓Aを2x+5にもどす
= 2a(2x+5-4)(2x+5-10)
= 2a(2x+1)(2x-5)

円周角6 1②

それぞれのxの値を求めよ。ただし、点Oは円の中心である。
⑤

補助線BCをひく。
ACは直径なので∠ABC=90°(直径の円周角)
すると∠EBC=90°-68°=22°
△EBCの内角の和が180°なので
∠ECB = 180°-22°-111° =47°
∠ECBと∠ADBはともに弧ABに対する円周角なので
∠ADB=47°

1・2年の復習Lv2_2　6②

6②
図の直線lとABは平行である。線分ABを弦として、直線lに接する円を作図せよ。

求める円の中心をO,円Oと直線lの接点をPとする。
ABが円Oの弦なので,ABの垂直二等分線は円の中心Oを通る。
また,中心Oから接線lに引いた垂線の交点が接点Pになるが,
AB//lなので,ABの垂直二等分線とOからlに引いた垂線は一致する。
よって,ABの垂直二等分線と直線lの交点が接点Pとなる。
すると,A,B,Pの3点が円Oの円周上の点なので,ABの垂直二等分線と
PBの垂直二等分線の交点が点Oとなる。

【作図の手順】
① ABの垂直二等分線を引く。 ② ①と直線lとの交点をPとする。
③ PBの垂直二等分線を引く。 ④ ③と①の交点がOとなる。
⑤ Oを中心として半径OP(またはOA,OB)の円をかく。

1・2年の復習Lv4_4 6②

頂点Bから辺ACに垂線を引き、辺ACとの交点をDとする。　線分BD上にあり、 ∠ABD=12∠APDとなる点Pを作図せよ。

BからACに垂線BDをおろす。

BD上のどこに点Pがあるかわからないので
仮の点Pをとって△ABPをつくる
図を見ると∠APDが△APBの外角になっていることがわかる。
三角形の外角はそれと隣り合わない2つの内角の和に等しいので
∠APD=∠PBA+∠ABPである。
問題文で与えられた条件 ∠ABD=12∠APD を変形して, ∠APD = 2∠ABD
これを満たすために,　∠PBA =∠ABP　となる必要がある。
つまり,△ABPはPA=PBの二等辺三角形である。

【作図】
BからACに垂線をおろして交点をDとする。

△ABPが二等辺三角形なので
Pは線分ABの垂直二等分線上にある。
つまりABの垂直二等分線とBDの交点がPとなる。

1・2年の復習Lv4_4 6①

6. 次の問いに答えよ。
①
AE:ED=3:4, BD:DC=3:2のとき△AEC:△ABCの面積比を求めよ。

AE:ED=3:4より
△AEC:△EDCの面積比 = 3:4
△AEC=3とすると△EDC=4なので
△ADC=7　となる。

△ADC=7で
BD:DC=3:2　より
△ABD:△ADC = 3:2
△ABD:7 = 3:2
△ABD = 212
△ABC=△ABD+△EDC+△AEC なので
△ABC = 212 + 4 + 3
= 352

よって
△AEC:△ABC = 3:352
= 6:35

y=ax2のグラフ1③

1. A,Bの座標が次のそれぞれの場合において、y=ax²のグラフが線分AB(両端を含む)と交わるようなaの値の範囲を求めよ。
③ A(-6, 9), B(1,3)

y=ax²のグラフは, aの絶対値が小さいほどグラフの開き方が大きくなる。そのため, 図のようにグラフが点Aを通るときにaの値が最小となる。
y=ax²にA(-6, 9)を代入すると
9=a×(-6)²
36a=9
a=14

またaの絶対値が大きいほどグラフの開き方がせまくなるので, 図のように線分ABがy軸を横切っている場合, aの値がいくら大きくても線分ABと放物線は交わる。

よって, グラフが線分ABと交わるときのaの値の範囲は
14 ≦ a　となる。

平方根の問題7 3④

3.次の計算をしなさい。
④ 2 3 6 ÷ 4 3 2 × 7 2 5

平方根を含む数字のかけ算は、ルートの外どうし、中どうしそれぞれ掛け算する。
　236÷432×725 ↓割り算を逆数のかけ算に
= 236×342×725 ↓ルートの外どうし,中どうしそれぞれ
= 2×3×73×4×2×6×52 ↓約分
= 7415

因数分解4 1⑦

1.因数分解しなさい。
⑦　(5x-1)²-y²

5x-1=Aと置き換えると, 2乗の差になるので,
公式 a²-b² = (a+b)(a-b) にあてはめて因数分解する
(5x-1)²-y² = A² - y²
= (A+y)(A-y)
= (5x-1+y)(5x-1-y)

式による説明 (3)

(3)
　 4つの連続する奇数の和は８の倍数になることを説明しなさい。

式による説明は３つの部分でできている。
１つ目は文字で表す。　2つ目は計算。　3つ目は結論。
4つの連続する奇数の和は 8の倍数になる。 └───────┘ └──┘ └─────┘ A B C
Aの部分を文字で表し、計算はB(和)を行い、最後に計算の結果がC(結論)となることを説明する。
Aを文字で表す
奇数は2で割ると1あまる数のことなので「2×整数 + 1」になる。
つまり,　整数=n　とすると　2n+1　と表すことができる。
また, 連続する奇数は 2, 5, 7・・・のように2つずつ増えていく。
よって 2n+1のとなりの奇数は 2n+1 + 2 =2n+3, そのとなりは2n+3 + 2 =2n+5,
さらにそのとなりは 2n+5 + 2 = 2n+7となる。
つまり, 4つの連続する奇数は、nを整数として,
2n+1, 2n+3, 2n+5, 2n+7と表せる。
上で作った文字式の和を計算する
　 (2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+(2n+7) = 8n+16 = 8(n+2)
計算の結果がC(結論)となっていることを説明。
nが整数なのでn+2も整数となり, 8(n+2)は8×整数だから8の倍数である。
よって4つの連続する奇数の和は８の倍数となる。

【説明】
nを整数とすると４つの連続する奇数は2n+1,2n+3,2n+5,2n+7となる。
これらの和は(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+(2n+7)=8n+16
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　=8(n+2)
nは整数なので(n+2)も整数となり8(n+2)は８の倍数となる。
よって４つの連続する奇数の和は８の倍数となる。

式の計算総合問題1　5

5.　 5つの連続した偶数の和は10の倍数になることを説明せよ。

式による説明は３つの部分でできている。
１つ目は文字で表す。　2つ目は計算。　3つ目は結論。
5つの連続した偶数の和は 10の倍数になる。 └───────┘ └──┘ └─────┘ A B C
Aの部分を文字で表し、計算はB(和)を行い、最後に計算の結果がC(結論)となることを説明する。
Aを文字で表す
偶数とは2の倍数のことなので「2×整数」になる。
つまり,　整数=n　とすると　2n　と表すことができる。
また, 連続する偶数は 2, 4, 6, 8・・・のように2つずつ増えていく。
よって 2nのとなりの偶数は 2n+2, そのとなりは2n+4である。
逆に小さい方のとなりは 2n-2, そのとなりは2n-4である。
すると, 5つの連続する偶数は、nを整数として,中央の偶数が2nとすると
2n-4, 2n-2, 2n, 2n+2, 2n+4と表せる。
上で作った文字式の和を計算する
　 (2n-4)+(2n-2)+2n+(2n+2)+(2n+4) = 10n
計算の結果がC(結論)となっていることを説明。
nが整数なので10nは10×整数となり10の倍数である。
よって5つの連続した偶数の和は10の倍数となる。

【説明】
nを整数とすると偶数は2nと表せる。この2nを真ん中の数とすると5つの連続した偶数は
2n-4, 2n-2, 2n, 2n+2, 2n+4となる。
これらの和は (2n-4)+(2n-2)+(2n)+(2n+2)+(2n+4) = 10n
nは整数なので10nは10の倍数である。
よって5つの連続した偶数の和は10の倍数になる

文字式カッコのある計算1　2

2.次の計算をしなさい。
2(3x+4)+4(2x+6) 5(2a+1)+3(a-5) 4(5x-2y)+3(6x+7y) 9(-x-3)+6(2x-4) -2(3x+1)+5(x+8) -7(-2x+4)+3(5x-11)

分配法則でかっこを開いてから同類項をまとめる。
2(3x+4)+4(2x+6) = 6x+8+8x+24
= (6+8)x+8+24
= 14x+32 5(2a+1)+3(a-5) = 10a+5 +3a-15
= (10+3)a+5-15
= 13a-10 4(5x-2y)+3(6x+7y) = 20x-8y+18x+21y
= (20+18)x+(-8+21)y
= 38x+13y 9(-x-3)+6(2x-4) = -9x-27+12x-24
= (-9+12)x-27-24
= 3x-51 -2(3x+1)+5(x+8) = -6x-2+5x+40
= (-6+5)x-2+40
= -x+38 -7(-2x+4)+3(5x-11) = 14x-28+15x-33
= (14+15)x-28-33
= 29x-61

2次方程式応用4(割合) (4)

(4)
あある銀行に預金すると1年でx％の利息がつく。そのままにしておくと次の1年後には利息も含めたすべての預金に対して x％の利息がつく。この銀行に10000円預けたら2年後に10404円になっていた。x の値を求めよ。

1年でx%の利息がつくので
10000円預けたときの1年後の利息=10000×x100=100x
よって
1年後の預金=10000+100x

2年後はこの(10000+100x)にx%の利息がつくので
2年後の利息=(10000+100x)×x100=100x+x²
よって
2年後の預金=10000+100x+100x+x² =10000+200x+x²
これが10404円なので
10000+200x+x²=10404
これを解くと
10000+200x+x²=10404
x²+200x-404=0
(x-2)(x+202)=0
x=2, -202
x>0より x=2

特別な直角三角形_練習2 ⑤⑥

xの値を求めよ。
⑤
⑥

⑤
AからBCの延長上に垂線をひき,
その交点をDとする。

∠ACB=135°なので,∠ACD=45°となり,
△ACDは直角二等辺三角形になる。
AC=4, CD:AD:AC=1:1:2より
CD=AD=22となる。

直角三角形ABDでAB=45, AD=22より
(45)² = (22)² + BD²
BD² = 80-8
BD²=72
BD=±62
BD>0より BD=62
BD= x+22に代入すると
62= x+22
x=42

⑥
AからBCの延長上に垂線をひき,
その交点をDとする。

∠ACB=150°なので,∠ACD=30°となり,
△ACDは各角が30°,60°,90°の直角三角形になる。
AC=4, AC:AD:CD=2:1:3より
AD=2, CD=23となる。

直角三角形ABDでAB=14, AD=2より
14²=2²+BD²
BD²=196-4
BD²=192
BD=±83
BD>0よりBD=83
BD=x+23に代入すると
83=x+23
x=63

1・2年の復習Lv2_2　6②

6②
図の直線lとABは平行である。線分ABを弦として、直線lに接する円を作図せよ。

中学数学の要点をわかりやすく説明

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1・2年の復習Lv2_2　6②

式の計算総合問題1　5

文字式カッコのある計算1　2

1・2年の復習Lv2_2　6②

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