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LasstUpdate 2020/11/20

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合同の証明2 2

2.図で点Dは辺ABの中点で、DF//BC、DF=BEと
なって いる。このとき△ADF≡△DBEを証明せよ。
ABCDEF

仮定などをひとつひとつ図に描き入れる。
「Dは辺ABの中点」
ABCDEF
「DF=BE」
ABCDEF
「DF//BC」はそのままではなく、平行線の同位角または錯角を探す
すると∠ADFと∠DBEがDF//BCの同位角になっているので
∠ADF=∠DBE
ABCDEF

図からわかるとおり,△ADFと△DBEは「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」ので合同である。

【証明】
△ADFと△DBEにおいて
AD=DB(DはABの中点)
∠ADF=∠DBE(平行線の同位角は等しい)
DF=BE(仮定より)
よって2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ADF≡△DBE

比例のグラフ(基本問題) 1

1. 次の比例のグラフをかけ。
y=5x y=2x y=-4x y=-x x y O

比例のグラフは原点を通る直線なので,原点以外に通る点を見つけて,
その点と原点を通る直線を引く

y= 5x にx=1を代入すると
y=5×1 = 5
よってグラフは(1,5)を通る。
点(1,5)と原点(0,0)を通る直線が
y=5xのグラフである。
xyO(1,5)
y= 2x にx=1を代入すると
y=2×1 = 2
よってグラフは(1,2)を通る。
点(1,2)と原点(0,0)を通る直線が
y=2xのグラフである。
xyO(1,2)
y= -4x にx=1を代入すると
y=-4×1 = -4
よってグラフは(1,-4)を通る。
点(1,-4)と原点(0,0)を通る直線が
y=-4xのグラフである。
xyO(1,-4)
y= -x にx=1を代入すると
y=-1×1 = -1
よってグラフは(1,-1)を通る。
点(1,-1)と原点(0,0)を通る直線が
y=-xのグラフである。
xyO(1,-1)

放物線と直線の変域が一致するLv2 (5)

(5) 放物線y=ax2とm<0の直線y=mx-16について-8≦x≦4でyの変域が一致する。
aとmの値をそれぞれ求めよ。

直線は切片が -16(負)なので
-8≦x≦4の範囲でグラフが負の部分にある。
これと変域が一致する放物線y=ax^2はa<0である。

-8≦x≦4の範囲で放物線をかくと図のようになり
x=-8で最小値 y= 64a,
x=0で最大値 y=0である。
xyO-8464a16a これと変域が一致するように 直線y=mx-16(m<0)をかくと
2点(-8,0)と(4, 64a)を通ることがわかる
xyO-8464a16a
y=mx-16に (-8,0)を代入すると
0= -8m-16
m = -2

y=-2x-16
に(4, 64a)を代入すると
64a = -2×4-16
64a = -24
a = -38

平行線の錯角・同位角 標準問題 (3) (5)

1 l//mののちきそれぞれ∠xの大きさを求めよ。
(3) 115° 122° x l m (5) l m x 44° 57° 35°

(3) 115°の頂点を通るようにl,mと平行な直線を引く。
122°の錯角が図のようになるので
180°-122°=58° となりあう角度が58°
115°-58°=57° xの錯角が57°なので
x = 57
115°122°xlm122°58°57°錯角錯角

(5) 57°の頂点,∠xの頂点をそれぞれ通るように,l,mと平行な直線を引く。
35°の同位角が57°の上側にくるので,下側が57°-35°=22°となる。
この22°の錯角がxの上側になる。
44°の錯角がxの下側になるので
x = 44°+22° =66°
lmx44°57°35°44°35°22°22°錯角錯角同位角

相似と線分比3 1(3)

(3)l//m//nでDE=3㎝,EF=5㎝
  AC=10㎝,AG=2cmのとき
  GBの長さを求めよ。
ABCDEFGlmn

DFに平行な直線を点Bをとおるように引き,
lとの交点をD', mとの交点をE', nとの交点をF'とする。
四角形DEBD',四角形EFF'Bはともに平行四辺形なので
DE=D'B=3, EF=BF'=5である。
△ABD∽△CBF'において
D'BとBF'が対応するので相似比は 3:5となる。
また,ABとBCも対応する辺で,
GB=xとすると,AB=2+x, BC=10-(2+x)=8-xなので
2+x : 8-x = 3:5
3(8-x) = 5(2+x)
24-3x = 10+5x
-8x = -14
x=74
ABCDEFGlmnD'(E')F'

放物線と直線の変域が一致する7 (2)

(2)
a<0の放物線y=ax2とm>0の直線y=mx-37について9≦x≦12でyの変域が一致する。
aとmの値をそれぞれ求めよ。

a<0の放物線を 9≦x≦12の範囲でかくと,図のようになる。 Oxy91281a144a
直線の傾きは,プラスなので,
変域が一致するためには左下の点(9,144a)と右上の点(12,81a)を通る。
Oxy91281a144a
y=mx-37に (9,144a)を代入して整理すると
144a = 9m-37
144a-9m = -37…①
y=mx-37に (12, 81a)を代入して整理すると 
81a = 12m-37
81a-12m = -37 …②
①と②を連立方程式として解く。
①×4 - ②×3
576a-36m=-148-)243a-36m=-111 333a =-37 a =-19
これを ①に代入すると
144×(-19) = 9m-37
-9m = -37+16
m =73

2乗に比例する関数 変域3 3(6)

3(6)
関数y=ax2で、xの変域が-5≦x≦6のときのyの変域が-63≦y≦bだった。a,bの値をそれぞれ求めよ。

yの変域が負にあるので,a<0である。
a<0のy=ax^2の放物線を-5≦x≦6の範囲でグラフに表すと図のようになる。
Oxy-56-63
xの変域が負から正まであり、グラフに原点が含まれるので,原点のy=0がyの最大値である。
よってb=0
xの両端のうち絶対値の大きい方のx=6のときに
yは最小値をとるので,x=6のときy=-63である。
これを y=ax^2に代入すると
-63 = a×6^2
a = - 74

2乗に比例する関数 総合問題3 1(4)

1(4)
関数y=ax2で、xの変域が-5≦x≦8のときのyの変域がb≦y≦4だった。a,bの値をそれぞれ求めよ。

yの変域がプラスなのでa>0である。
a>0のグラフを-5≦x≦8の範囲でかくと図のようになる。
xy-58O最大最小
yの最小値はy=0なので b=0
yの最小値はx=8のときで、y=4なので
x=8, y=4をy=ax2に代入すると
4 = a×82
a = 116

2次方程式総合問題Lv.1 3(4)

3(4) 図はAB=20cm, BC=30cm, ∠ABC=90°の直角三角形で
ある。点Pは頂点Bを出発して毎秒2cmで辺AB上をAま
で動く。 点Qは点Pと同時に頂点Cを出発して毎秒3cm
で辺CB上をBまで動く。四角形APQCの面積が228cm2
になるのは出発から何秒後か。
ABCPQ

ABCPQ2x3x3030-3x 出発してからの時間をx秒とすると
点PはBを出発して毎秒2cmで動くので, PB=2x
点QはCを出発して毎秒3cmで動くので, QC=3xである。
するとBQ=30-3xなので
△PBQの面積= (30-3x)×2x÷2 = x(30-3x) となる。
四角形APQCは△ABCから△PBQを引いたものである。
△ABCの面積= 30×20÷2 = 300 より
300 - x(30-3x) = 228
これを解くと
300-30x+3x^2 =228
3x^2-30x+72=0
x^2 -10x +24=0
(x-4)(x-6)=0
x = 4, 6
答4秒後と6秒後

合同の証明5 1

1. 図の△ABCはAB=AC,∠BAC=90°の
 直角二等辺三角形である。
 ∠ABE=∠ACDのとき
 BE=CDとなることを証明せよ。
ABCDE

仮定を図に描き入れる
AB=AC, ∠BAC=90°
∠ABE=∠ACE
また、∠BAC=90°なので
∠DAC=180°-90°=90°
である。
ABCDE
証明するBEとCDはそれぞれ△ABEと△ACDの1つの辺なので
△ABEと△ACDの合同を証明する。
△ABEと△ACDを抜き出して
方向をそろえてかく。
ABCDEA
図から明らかなように
1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので△ABEと△ACDは合同となる。

【証明】
△ABEと△ACDにおいて
AB=AC(仮定)
∠ABE=∠ACD(仮定)
∠BAE=∠CAD=90°(仮定)
よって1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△ABE≡△ACD
合同な図形の対応する辺は等しいので
BE=CD

2乗に比例する関数 基礎1 4

次のア〜キの関数のグラフについて、(1)〜(4)の問いに答えよ。
ア. y=-x2  イ. y=12x2  ウ. y=-2x2  エ. y=14x2  オ. y=4x2  カ. y=-14x2  キ. y=-18x2
(1)グラフが上に開いているものをすべて選べ。
(2)グラフの開き方が最も小さいものはどれか。
(3)グラフが点(-2, 1)を通るものはどれか。
(4)グラフがx軸について対称なのはどれとどれか。

(1) y=ax2 では
a>0のときは上に開く放物線,
a<0のときは下に開く放物線になる。
a>0a<0
よって
ア〜キのなかでa>0なのは
イ,エ,オ である。

(2) y=ax2 では
aの絶対値が大きいほど開き方が小さい。
ア〜キの中でaの絶対値が最も大きいのは
オである。

(3) ア〜キの式にx=-2を代入してy=1になるものを見つける
ア y=-4,  イ y=2,  ウ y=-8,  エ y=1,  カ y=-1,  キ y= -12
よって エ である。

(4)y=ax2 で,絶対値が等しく符号が異なる場合,x軸について対称なグラフになる。
よって エとカ である。

2乗に比例する関数 総合問題4 1(6)解説

1(6)
放物線y=ax2と直線m>0のy=mx-4について-4≦x≦8でyの変域が一致する。aとmの値をそれぞれ求めよ。

y=mx-4は切片が-4なので,最小値は負である。
よってy=ax2のグラフもy<0の範囲にあるので a<0となる。
y=ax2のグラフを-4≦x≦8の範囲でかくと図のようになる。

最大値はy=0, 最小値はx=8のときのyの値 y=64aで
,変域は緑色の四角形の部分である。
-48Oxy(8, 64a)
y=mx-4は傾きmが正なので
グラフは変域の左下の点(-4, 64a)と右上の点(8,0)を通る。
点(8,0)をy=mx-4に代入すると
0=8m-4
m=12
y=12x-4に点(-4,64a)を代入すると
64a=12×(-4)-4
a=-332
-48Oxy(8, 64a)

関数と 図形2 3

図で点Pはy=2x-6のグラフ上にあり、y座標が正の
点である。 y=2x-6のグラフとx軸との交点をAと
し、 x軸上に点B(7, 0)をとる。 △PABの面積が4に
なるときのPの座標を求めよ。
ABOpy=2x-6xy(7,0)

点Aはy=2x-6のグラフとx軸との交点なので
y=2x-6にy=0を代入して
0=2x-6
x = 3
A(3,0)

点Pはy=2x-6のグラフ上の点なので
Pのx座標をtとすると
y = 2t-6
P(t, 2t-6)
ABOpy=2x-6xy(7,0)底辺高さ △PABで底辺をABとすると,Pからx軸に
おろした垂線の長さが高さとなるので
底辺(AB)= 7-3 = 4
高さ = 2t-6
△PABの面積=4 より
4×(2t-6)÷2 = 4
4t-12 =4
t = 4
よって P(4, 2)

放物線と直線の変域が一致するLv2 (1)解説

(1) 放物線y=ax2と直線m<0のy=mx+18について-6≦x≦4でyの変域が一致する。 aとmの値をそれぞれ求めよ。

直線の切片が18なので,-6≦x≦4の範囲でグラフの最大値は18より大きくなる。
よって,a>0とわかる。

-6≦x≦4で a>0の放物線をかくと図のようになる。
-64Oxy-6最大最小
図より,放物線の最小値はy=0,
最大値はx=-6のときのyの値なので
y= a×(-6)2 = 36a である。

直線は傾きが負なので,xが大きくなるほどyが小さくなる。
よって x=4のときy=0, x=-6のときy=36aである。

y = mx+18にx=4,y=0を代入すると
0 = 4m+18
m = -92
y = -92x+18にx=-6,y=36aを代入すると
36a = -92×(-6)+18
36a = 45
a = 54

相似と線分比1 1(3)

(3)DE//BC, AE=8cm, ED=10cm, BC=15cm, DB=5cmのとき
ADの長さを求めよ。
CEの長さを求めよ。
ABCDE

ABCDE5cm8cm10cm15cm
DE//BCより同位角が等しいので∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB
よって2組の角がそれぞれ等しいので△ADE∽△ABCである。

ABCDEADE8cm10cm15cm8cm5cmxyx EDとCBが対応する辺なので相似比は
ED:CB = 10:15 = 2:3
ADに対応する辺はABである。
AD=xとすると, AB = x+5 となるので
x:(x+5) = 2:3
3x = 2(x+5)
3x = 2x+10
x = 10
よって AD = 10cm

AEに対応する辺はACである。
CE=yとすると AC= 8+yなので
8:(8+y) = 2:3
2(8+y) = 8×3
16+2y = 24
2y = 8
y =4
よってCE=4cm

直角三角形3 2証明

2
∠BCD=90°で、BDは∠ADCの二等分線である。点AからBDに垂線を引き、その交点をEとする。BD=ADのとき△BCD≡△AEDを証明せよ。
A B C D E

仮定を図に1つずつ描き入れる。
∠BCD=90°ABCDE
BDは∠ADCの二等分線 ABCDE
AEとBDが垂直 ABCDE
BD=ADABCDE
2つの三角形BCDとAEDを向きをそろえて並べると
ABCDED
両方とも直角三角形となり,斜辺が等しく,鋭角も1つ等しくなる。
等しい辺や角を式にして理由をつければ証明となる。
△BCD と△AED において
BD=AD(仮定)
∠BCD=∠AED=90°(仮定)
∠BDC=∠ADE(角の二等分線)
よって直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しいので△BCD≡△AED

2乗に比例する関数 変域2 3(1)

3(1)
関数y=ax2で、xの変域が-6≦x≦-2のときのyの変域が2≦y≦18だった。aの値を求めよ。

-6-2182xyO y=ax2のグラフで、yの変域が正なのでa>0である。
-6≦x≦-2 の範囲でグラフを描くと
x=-6のときに最大値y=18, x=-2のとき最小値y=2となる。
y=ax2に(-2,2)を代入すると
2=a×(-2)2
a=12

円周角4 1④

xの値を求めよ。ただし、点Oは円の中心である。
Ox22°86°

半径は等しいので△AOB, △BOCは
ともに二等辺三角形である。
二等辺三角形の底角は等しいので
∠OAB=∠OBA=x
∠OCB=∠OBC=22°となる。
∠ABCは弧ACに対する円周角で、
弧ACに対する中心角が∠AOC=86°である。
等しい弧に対する円周角は
中心角の12なので

∠ABC=86°÷2=43
x+22° = 43°
x = 21°
Ox22°86°22°xABC

いろいろな計算(分数)3 1①②③途中式

1.次の計算をせよ。
x+23+3x-12+3x   5a-4a+33+2a-36    m-n2-3m-4n6+2n


  x+23+3x-12+3x
= 2(x+2)+3(3x-1)+6×3x6
= 2x+4+9x-3+18x6
= 29x+16
= 296x+16


5a-4a+33+2a-36
=6×5a-2(4a+3)+2a-36
=30a-8a-6+2a-36
=24a-96
=4a-32


m-n2-3m-4n6+2n
=3(m-n)-(3m-4n)+6×2n6
=3m-3n-3m+4n+12n6
=136n

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