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LastUpdate 2021/09/10

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円周角6 1②

それぞれのxの値を求めよ。ただし、点Oは円の中心である。
68°111°xO

補助線BCをひく。
ACは直径なので∠ABC=90°(直径の円周角)
すると∠EBC=90°-68°=22°
△EBCの内角の和が180°なので
∠ECB = 180°-22°-111° =47°
∠ECBと∠ADBはともに弧ABに対する円周角なので
∠ADB=47°
68°111°xOABCD22°47°E

1・2年の復習Lv2_2 6②

6②
図の直線lとABは平行である。線分ABを弦として、直線lに接する円を作図せよ。ABl

求める円の中心をO,円Oと直線lの接点をPとする。
ABが円Oの弦なので,ABの垂直二等分線は円の中心Oを通る。
また,中心Oから接線lに引いた垂線の交点が接点Pになるが,
AB//lなので,ABの垂直二等分線とOからlに引いた垂線は一致する。
よって,ABの垂直二等分線と直線lの交点が接点Pとなる。
すると,A,B,Pの3点が円Oの円周上の点なので,ABの垂直二等分線と
PBの垂直二等分線の交点が点Oとなる。

【作図の手順】
① ABの垂直二等分線を引く。 ② ①と直線lとの交点をPとする。
③ PBの垂直二等分線を引く。 ④ ③と①の交点がOとなる。
⑤ Oを中心として半径OP(またはOA,OB)の円をかく。
ABlOP

1・2年の復習Lv4_4 6②

頂点Bから辺ACに垂線を引き、辺ACとの交点をDとする。 線分BD上にあり、 ∠ABD=12∠APDとなる点Pを作図せよ。 ABC

BからACに垂線BDをおろす。
ABCD
BD上のどこに点Pがあるかわからないので
仮の点Pをとって△ABPをつくる
ABCDP
図を見ると∠APDが△APBの外角になっていることがわかる。
三角形の外角はそれと隣り合わない2つの内角の和に等しいので
∠APD=∠PBA+∠ABPである。
ABCDP
問題文で与えられた条件 ∠ABD=12∠APD を変形して, ∠APD = 2∠ABD
これを満たすために, ∠PBA =∠ABP となる必要がある。
つまり,△ABPはPA=PBの二等辺三角形である。


【作図】
BからACに垂線をおろして交点をDとする。
ABCDBからACにおろした垂線
△ABPが二等辺三角形なので
Pは線分ABの垂直二等分線上にある。
つまりABの垂直二等分線とBDの交点がPとなる。
ABCDPABの垂直二等分線

1・2年の復習Lv4_4 6①

6. 次の問いに答えよ。

AE:ED=3:4, BD:DC=3:2のとき△AEC:△ABCの面積比を求めよ。 ABCDE

AE:ED=3:4より
△AEC:△EDCの面積比 = 3:4
ABCDE3434
△AEC=3とすると△EDC=4なので
△ADC=7 となる。

△ADC=7で
BD:DC=3:2 より
△ABD:△ADC = 3:2
△ABD:7 = 3:2
△ABD = 212
ABCDE343423212
△ABC=△ABD+△EDC+△AEC なので
△ABC = 212 + 4 + 3
= 352

よって
△AEC:△ABC = 3:352
= 6:35

y=ax2のグラフ1③

1. A,Bの座標が次のそれぞれの場合において、y=ax2のグラフが線分AB(両端を含む)と交わるようなaの値の範囲を求めよ。
③ A(-6, 9), B(1,3)

A(-6, 9)B(1,3)←点Aを通るとき↓aの絶対値が大きいほど開き方が小さいxyOaの絶対値が小さいほど↓開き方が大きい y=ax2のグラフは, aの絶対値が小さいほどグラフの開き方が大きくなる。 そのため, 図のようにグラフが点Aを通るときにaの値が最小となる。
y=ax2にA(-6, 9)を代入すると
9=a×(-6)2
36a=9
a=14

またaの絶対値が大きいほどグラフの開き方がせまくなるので, 図のように線分ABがy軸を横切っている場合, aの値がいくら大きくても線分ABと放物線は交わる。


よって, グラフが線分ABと交わるときのaの値の範囲は
14 ≦ a となる。

平方根の問題7 3④

3.次の計算をしなさい。
2 3 6 ÷ 4 3 2 × 7 2 5

平方根を含む数字のかけ算は、ルートの外どうし、中どうしそれぞれ掛け算する。
 236÷432×725 ↓割り算を逆数のかけ算に
= 236×342×725 ↓ルートの外どうし,中どうしそれぞれ
= 2×3×73×4×2×6×52 ↓約分
= 7415

因数分解4 1⑦

1.因数分解しなさい。
⑦ (5x-1)2-y2

5x-1=Aと置き換えると, 2乗の差になるので,
公式 a2-b2 = (a+b)(a-b) にあてはめて因数分解する

(5x-1)2-y2 = A2 - y2
= (A+y)(A-y)
= (5x-1+y)(5x-1-y)

式による説明 (3)

(3)
  4つの連続する奇数の和は8の倍数になることを説明しなさい。

式による説明は3つの部分でできている。
1つ目は文字で表す。 2つ目は計算。 3つ目は結論

4つの連続する奇数 の和は 8の倍数になる。 └───────┘ └──┘ └─────┘ A B C
Aの部分を文字で表し、計算はB(和)を行い、最後に計算の結果がC(結論)となることを説明する。
Aを文字で表す
奇数は2で割ると1あまる数のことなので 「2×整数 + 1」になる。
つまり, 整数=n とすると 2n+1 と表すことができる。
また, 連続する奇数は 2, 5, 7・・・のように2つずつ増えていく。
よって 2n+1のとなりの奇数は 2n+1 + 2 =2n+3, そのとなりは2n+3 + 2 =2n+5,
さらにそのとなりは 2n+5 + 2 = 2n+7となる。
つまり, 4つの連続する奇数は、nを整数として,
2n+1, 2n+3, 2n+5, 2n+7と表せる。

上で作った文字式の和を計算する
  (2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+(2n+7) = 8n+16 = 8(n+2)
計算の結果がC(結論)となっていることを説明。
nが整数なのでn+2も整数となり, 8(n+2)は8×整数だから8の倍数である。
よって4つの連続する奇数の和は8の倍数となる。


【説明】
nを整数とすると4つの連続する奇数は2n+1,2n+3,2n+5,2n+7となる。
これらの和は(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+(2n+7)=8n+16
                     =8(n+2)
nは整数なので(n+2)も整数となり8(n+2)は8の倍数となる。
よって4つの連続する奇数の和は8の倍数となる。

式の計算 総合問題1 5

5.  5つの連続した偶数の和は10の倍数になることを説明せよ。

式による説明は3つの部分でできている。
1つ目は文字で表す。 2つ目は計算。 3つ目は結論

5つの連続した偶数 の和は 10の倍数になる。 └───────┘ └──┘ └─────┘ A B C
Aの部分を文字で表し、計算はB(和)を行い、最後に計算の結果がC(結論)となることを説明する。
Aを文字で表す
偶数とは2の倍数のことなので 「2×整数」になる。
つまり, 整数=n とすると 2n と表すことができる。
また, 連続する偶数は 2, 4, 6, 8・・・のように2つずつ増えていく。
よって 2nのとなりの偶数は 2n+2, そのとなりは2n+4である。
逆に小さい方のとなりは 2n-2, そのとなりは2n-4である。
すると, 5つの連続する偶数は、nを整数として,中央の偶数が2nとすると
2n-4, 2n-2, 2n, 2n+2, 2n+4と表せる。

上で作った文字式の和を計算する
  (2n-4)+(2n-2)+2n+(2n+2)+(2n+4) = 10n
計算の結果がC(結論)となっていることを説明。
nが整数なので10nは10×整数となり10の倍数である。
よって5つの連続した偶数の和は10の倍数となる。


【説明】
nを整数とすると偶数は2nと表せる。この2nを真ん中の数とすると5つの連続した偶数は
2n-4, 2n-2, 2n, 2n+2, 2n+4となる。
これらの和は (2n-4)+(2n-2)+(2n)+(2n+2)+(2n+4) = 10n
nは整数なので10nは10の倍数である。
よって5つの連続した偶数の和は10の倍数になる

文字式カッコのある計算1 2

2.次の計算をしなさい。
2(3x+4)+4(2x+6) 5(2a+1)+3(a-5) 4(5x-2y)+3(6x+7y) 9(-x-3)+6(2x-4) -2(3x+1)+5(x+8) -7(-2x+4)+3(5x-11)

分配法則でかっこを開いてから同類項をまとめる。
2(3x+4)+4(2x+6) = 6x+8+8x+24
= (6+8)x+8+24
= 14x+32
5(2a+1)+3(a-5) = 10a+5 +3a-15
= (10+3)a+5-15
= 13a-10
4(5x-2y)+3(6x+7y) = 20x-8y+18x+21y
= (20+18)x+(-8+21)y
= 38x+13y
9(-x-3)+6(2x-4) = -9x-27+12x-24
= (-9+12)x-27-24
= 3x-51
-2(3x+1)+5(x+8) = -6x-2+5x+40
= (-6+5)x-2+40
= -x+38
-7(-2x+4)+3(5x-11) = 14x-28+15x-33
= (14+15)x-28-33
= 29x-61

2次方程式応用4(割合) (4)

(4)
あ ある銀行に預金すると1年でx%の利息がつく。そのままにしておくと次の1年後には利息も含めたすべての預金に対して x%の利息がつく。この銀行に10000円預けたら2年後に10404円になっていた。x の値を求めよ。

1年でx%の利息がつくので
10000円預けたときの1年後の利息=10000×x100=100x
よって
1年後の預金=10000+100x

2年後はこの(10000+100x)にx%の利息がつくので
2年後の利息=(10000+100x)×x100=100x+x2
よって
2年後の預金=10000+100x+100x+x2 =10000+200x+x2
これが10404円なので
10000+200x+x2=10404
これを解くと
10000+200x+x2=10404
x2+200x-404=0
(x-2)(x+202)=0
x=2, -202
x>0より x=2

特別な直角三角形_練習2 ⑤⑥

xの値を求めよ。

135° 4 4 x 5

4 14 x 150°


135°44x5ABCD AからBCの延長上に垂線をひき,
その交点をDとする。

ACD42245°45° ∠ACB=135°なので,∠ACD=45°となり,
△ACDは直角二等辺三角形になる。
AC=4, CD:AD:AC=1:1:2より
CD=AD=22となる。


135°44x5ABCD22 直角三角形ABDでAB=45, AD=22より
(45)2 = (22)2 + BD2
BD2 = 80-8
BD2=72
BD=±62
BD>0より BD=62
BD= x+22に代入すると
62= x+22
x=42



414x150°ABCD AからBCの延長上に垂線をひき,
その交点をDとする。

ACD30°60°4223 ∠ACB=150°なので,∠ACD=30°となり,
△ACDは各角が30°,60°,90°の直角三角形になる。
AC=4, AC:AD:CD=2:1:3より
AD=2, CD=23となる。


414x150°ABCD223 直角三角形ABDでAB=14, AD=2より
142=22+BD2
BD2=196-4
BD2=192
BD=±83
BD>0よりBD=83
BD=x+23に代入すると
83=x+23
x=63

1・2年の復習Lv2_2 6②

6②
図の直線lとABは平行である。線分ABを弦として、直線lに接する円を作図せよ。ABl

求める円の中心をO,円Oと直線lの接点をPとする。
ABが円Oの弦なので,ABの垂直二等分線は円の中心Oを通る。
また,中心Oから接線lに引いた垂線の交点が接点Pになるが,
AB//lなので,ABの垂直二等分線とOからlに引いた垂線は一致する。
よって,ABの垂直二等分線と直線lの交点が接点Pとなる。
すると,A,B,Pの3点が円Oの円周上の点なので,ABの垂直二等分線と
PBの垂直二等分線の交点が点Oとなる。

【作図の手順】
① ABの垂直二等分線を引く。 ② ①と直線lとの交点をPとする。
③ PBの垂直二等分線を引く。 ④ ③と①の交点がOとなる。
⑤ Oを中心として半径OP(またはOA,OB)の円をかく。
ABlOP

連立文章題(速さ3) (2)

1周3㎞の円の道がある。A君とB君が同時に反対方向に走ると10分で出会い、同じ方向に走ると30分でA君がB君に1周差をつける。A君とB君の速さを求めなさい。

A君B君スタート地点反対方向1周3km(3000m) 反対方向に回ると,
2人の走った道のりの合計が 3000mになる。

スタート地点同じ方向1周3km(3000m) 同じ方向に回ると
2人の走った道のりの差が3000mになる。

A君の速さを毎分xm, B君の速さを毎分ymとすると
道のり = 速さ×時間 なので
反対方向に走って出会うまでの10分で
A君は 10xm, B君は 10ym の道のりを走る。
2人の道のりの合計が 3000mなので
10x+10y = 3000 …①

同じ方向に走って1周差がつく30分で
A君は 30xm, B君は 30ym の道のりを走る。
2人の道のりの差が3000mなので
30x - 30y = 3000…②

①②の式を連立方程式として解く。
①÷10 + ②÷30
x+y=300+)x-y=100 2x =400 x =200…③
③を①に代入
10×200+10y=3000
10y = 1000
y = 100
よって
A君 毎分200m, B君 毎分100m

1・2年の復習Lv3_3 6①

6 ① 印をつけた角度の合計は何度になるか求めよ。

三角形の外角は
それと隣り合わない2つの内角の和に等しい。
m n m+n


eagdcfba+ed+gc+f a+e+d+g 「三角形の外角はそれと隣り
合わない2つの内角の和に等しい」
を利用すると
a+e d+g c+f d+g+a+e a+b+c+d+e+f+g
が1つの三角形の内角の和
となるので
印のついた角の和は180°


おうぎ形(半径と弧、または面積から中心角を出す) 5

5. 次の問いに答えよ。
(1) 半径152㎝、面積10π㎝2のおうぎ形の弧の長さを求めよ。
(2) 半径5cm,面積2πcm2のおうぎ形の弧の長さを求めよ。
(3) 半径7cm,面積42πcm2のおうぎ形の弧の長さを求めよ。

おうぎ形の面積  = 半径 × 半径 × π × 中心角360°

おうぎ形の弧の長さ = 直径 × π × 中心角360°

(1)
まず,中心角を求める。
面積をもとめる式を使い,中心角をa°として方程式をつくる。
面積 = 半径 × 半径 × π × 中心角360°
この式に 面積=10π, 半径=152, 中心角=a° を代入すると
10π = 152 × 152 × π × a360
10 = 532a
a = 64
中心角が64°とわかったのでこの中心角を使って弧の長さをもとめる。
弧の長さ = 直径 × π × 中心角360° より
弧の長さ =15×π×64360
=83π (cm)


(2)
面積 = 半径 × 半径 × π × 中心角360°
この式に面積=2π, 半径=5, 中心角=a°を代入すると
2π=5×5×π×a360
2=572a
a=1445
中心角1445°として弧の長さを求める。
弧の長さ = 直径 × π × 中心角360° より
中心角360°=1445×1360=1441800なので
弧の長さ =10×π×1441800
=45π (cm)


(3)
面積 = 半径 × 半径 × π × 中心角360°
この式に面積=42π, 半径=7, 中心角=a°を代入すると
42π=7×7×π×a360
42=49360a
a=21607
中心角21607°として弧の長さを求める。
弧の長さ = 直径 × π × 中心角360°より
中心角360°=21607×1360=67なので
弧の長さ = 14 ×π× 67
=12π (cm)

二等辺三角形2 2

2. 右の図で△ABCはAB=ACの二等辺三角形で、BD=CEである。また、CDとBEの交点をFとするとき△FBCは二等辺三角形になることを証明しなさい。
A B C D E F

【二等辺三角形になるための条件】
・2辺が等しい(定義)
・2角が等しい

△FBCが二等辺三角形になることを証明するために、∠FBC=∠FCBを示す。
そのために△DBCと△ECBの合同を証明する。

仮定より DB=CE
BCが共通
ABCDEFBCDEBC

もう1つの仮定
△ABCがAB=ACの二等辺三角形なので
∠ABC=∠ACBである。
これは△DBCと△ECBでは
∠DBC=∠ECBとなる。
ABCDEFBCDEBC

すると「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」
という条件を満たすので△DBC≡△ECBである。
BCDEBC

【証明】
△DBC と△ECB において
∠DBC=∠ECB(二等辺三角形 ABC の底角)
BC=CB (共通)
BD=CE(仮定)
よって二辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△DBC≡△ECB
対応する角は等しいので∠FCB=∠FBC
よって二角が等しいので△FBC は二等辺三角形となる。

平行四辺形折り返し1 2

2. 長方形ABCDを、対角線ACを折り目として折り返す。
Dが移る点をE, ABとECの交点をFとする。
AF=CFとなることを証明せよ。
ABCDEF

対角線ACを折り目にして折り返した図である。
図の△ACDが折り返されて△ACEとなっている。
∠ACDを折り返したのが∠ACEなので,当然∠ACD=∠ACEである。
ABCDEF
また,ABとCDは平行なので,
平行線の錯角は等しいので∠CAF=∠ACD
ABCDEF
すると ∠ACE(∠ACF)と∠ACDと∠CAFは,
みんな同じ大きさの角なので
∠ACF=∠CAF より
2角が等しいので△AFCは
∠ACFと∠CAFを底角とする二等辺三角形になる。
よってAF=CFである。
ABCDEF 【証明】

△AFCにおいて
∠FAC=∠DCA(平行線の錯角)
∠FCA=∠DCA(折り返した角)
よって∠FAC=∠FCA
2角が等しいので△FACは二等辺三角形である。
よってAF=CF

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更新履歴

7/2
四分位範囲
5/14
2年例題 式の計算 除法1(整数) 2年例題 式の計算 除法1(分数)
5/5
3年例題 式の展開 いろいろな計算 3年例題 式の展開 四則
4/28
3年例題 多項式と単項式の乗法除法 3年例題 式の展開 3年例題 乗法公式(x+a)(x+b)の展開 3年例題 乗法公式 2乗の展開 3年例題 乗法公式 和と差の積の展開
4/12
2年例題 縦の計算 2年例題 多項式と数の乗法除法 2年例題 分配法則と加法減法
4/7
2年例題 式の計算 多項式の加法・減法
4/5
2年例題 式の計算 同類項をまとめる
3/14
2年例題 平行線と面積
2/26
おうぎ形(半径と中心角から弧や面積を出す) おうぎ形(半径と弧、または面積から中心角を出す) おうぎ形(半径をもとめる)おうぎ形(総合)
2/8
2年例題 三角形の合同証明 応用(直線と内角の和)
2/2
1年平面図形 例題
作図 三角形の3頂点を通る円, 三角形の3辺に接する円
1/29
1年平面図形 例題
作図 正三角形,円の中心作図 角度60°,30°,45°作図 角度75° 作図 平行線 円の接線
12/12
例題_おうぎ形 例題_おうぎ形2 例題_おうぎ形3
12/1
2年例題 三角形の合同 証明3 角の共通 動画
11/29
2年例題 三角形の合同 証明2 辺の共通 動画
11/27
2年例題 三角形の合同 証明1
11/10
例題動画 関数と図形「正方形」
10/31
3年例題 2次方程式の解き方(因数分解利用) 例題解説動画
10/30
2年例題 連立方程式A=B=C 例題解説動画
9/15
3年例題 平方根13年例題 平方根2
9/1
3年例題 平方根の性質(自然数になる)
8/29
3年例題 平方根 式の値
8/5
3年例題 平方根の四則計算
3年例題 平方根のおよその値
3年例題 ルートの加法減法3(分数)
7/31
3年例題 循環小数1
3年例題 ルートの加法減法1
3年例題 ルートの加法減法2(変形)
7/30
3年例題 ルートの乗法除法1
7/29
3年例題 ルートの変形1ルートの変形2
7/28
3年例題 平方根の積と商
7/27
3年例題 平方根の大小1 3年例題 平方根の大小2
5/19
2年問題 関数と図形(面積を二等分する直線2)
4/14
2年問題 平行四辺形 折り返し1 2年問題 平行四辺形 折り返し2
3/4
例題 共通接線
2/26
例題 三平方_座標(点と直線の距離) 例題 三平方_座標(最短距離)
2/21
例題 三平方の定理_座標平面の三角形
2/15
例題 三平方の定理_二等辺三角形の面積 例題 三平方の定理_台形の面積
2/14
例題 三平方の定理_最短経路

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