LasstUpdate 2020/04/10
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正負の数 総合問題 標準5 4解説

a-b>0, a×b<0のとき、常に負になるものをすべて選んで記号で答えよ。
ア. a+b イ. -a+b  ウ. a エ. b オ. -a-b
a×b>0、a×c<0、b<cのとき、常に正になるものをすべて選んで記号で答えよ。
ア. a+b イ. -a+c ウ. a-b エ. a-c オ. -b+c カ. a+b+c キ. c-(a+b)
a÷b<0、a<bのとき常に負になるものをすべて選んで記号で答えよ。
ア. a×b+a イ. b-a×b ウ. a×(a-b) エ. (a-b)÷b オ. 2a-b カ. 4a+b

正負の足し算では
負の数+負の数 の答は 必ず負の数
正の数+正の数の答は 必ず正の数となる。
正の数+負の数 の答は正の数の場合も、負の数の場合もある。

a×b<0(aとbを掛け算すると答が負)より aとbのどちらか一方が負、他方が正である。
ところがa-b>0(aからbを引くと答が正)より aが正で、bが負とわかる。

アa+b  aが正で、bが負なので a+b=正+負 この答は正にも負にもなるので「常に負」とはならない。
イ-a+b  aが正なので -aは負である。 bも負なので (-a)+b=負+負 となるので「常に負」である。
ウa a は正である。
エb   bは負なので、「常に負」といえる。
オ-a-b -aは負、 -bは正 なので -a-b = (-a)+(-b) = 負+正 この答は正にも負にもなるので「常に負」とはいえない。
よって常に負になるのは イ、エ


a×b>0よりaとbの符号は等しい。 a×c<0よりa,cのどちらか一方が正、他方が負である。 aとbの符号が等しいことから bとcでも一方が正、他方が負となる。
ところが b<cよりbが負、cが正となるので、aとbが負で、cが正である。

ア a+b a,bともに負なので a+b=負+負 この計算の答は「常に負」となる。
イ -a+c -aは正、cも正なので -a+c = 正+正 この計算の答は「常に正」である。
ウ a-b aは負、-bは正なので a-b = a+(-b) = 負+正 この答は正にも負にもなる。
エ a-c aは負、 -cは負なので a-c = a+(-c) = 負+負 この答は「常に負」である。
オ -b+c -bは正、cは正なので -b+c = 正+正  この計算の答は「常に正」である。
カ a+b+c a+bは負+負なので答は負、cは正である。 a+b+c = (a+b)+c = 負+正 この答は正にも負にもなる。
キ c-(a+b) a+bは負+負なので答は負、すると -(a+b)は正である。cも正なので c-(a+b) = 正+正 常に正となる。
よって常に正となるのは イ、オ、キ


a÷b<0よりa,bの一方が正で他方が負である。 a<bより aが負、bが正とわかる。

ア a×b+a a×bは負×正=負なので a×b+a = 負+負 なので「常に負」である。
イ b-a×b a×b=負なので -a×b=正である。 bも正なので b-a×b = 正+正 なので「常に正」である。
ウ a×(a-b) a-b=負+負=負 よって a×(a-b) = 負×負 なので「常に正」である。
エ (a-b)÷b a-b = 負 よって (a-b)÷b = 負÷正 なので「常に負」である。
オ 2a-b aが負なので2aは負、 -bも負なので 2a-b=負+負 なので「常に負」
カ 4a+b aが負なので4aは負、 bが正なので 4a+b = 負+正 答は負にも正にもなる。
よって常に負となるのは ア、エ、オ


1・2年の復習Lv4_3 6②解説

6②
図1で点Pは線分ABを直径とする半円Oの円周上にある点である。 円O'は点Pを通り半円Oの直径ABに接している。 点Pにおける円Oの接線と円O'の接線は一致している。 下に示した図をもとに円O'の中心O'を作図で求めよ。 POO'OPABAB図1

円Oと円O'の点Pにおける接線が共通しているので
この共通接線をTとすると
「接線は接点を通る半径と垂直である」ことから
T⊥PO、T⊥PO'である。
よって点O'は線分OP上にある。
POO'T

ABとTの交点をCとする。
円O'が直線ABと直線Tに接すことから
点O'は∠PCOの二等分線上にある。
POO'CT

【作図の手順】
直線OPの、Pを通る垂線Tを引く。 OPABT
BAを延長し、直線Tとの交点をCとする。 OPABCT ∠PCOの二等分線を引き、
OPとの交点をO'とする。
OPABCTO'

1・2年の復習Lv4_2 2④解説

2④ 2つの自然数A,Bがある。Aを7で割ると商がmで余りが6, Bを4で割ると商がnで余りがmとなる。A+Bを4で割ったときの商と余りを求めよ。

Aは7で割ると商がmであまり6となる自然数なので
A=7m+6となる。
Bは4で割ると商がnであまりがmとなる自然数なので
B=4n+mとなる。
よって A+B = 7m+6+4n+m
= 8m+4n+6
= 4(2m+n+1)+2

よって A+Bを4で割ると 商が (2m+n+1) であまりが2である。

>> 【参考】整数の割り算で商、あまりの関係

1・2年の復習Lv4_2 6③解説

6③
図のように 1辺12cm の立方体がある。AJ=AK=3cm である。4点J,K,H,Fを通る平面で2つの 立体に分ける。頂点Aを含むほう(小さいほう)の 立体の体積を求めよ。 BACDEFGHJK

求める立体はAJKEFHである。 AEFHJK12cm12cm12cm3cm3cm
このAJKEFHをさらに面JEHで切断すると
四角錐JKAEHと三角錐JEFHに分けられる。

四角錐JKAEHは、
高さがAJ=3cmで、底面が台形KAEHである。
底面の面積
AK=3cm, EH=12cm, AE=12cmより
面積 = (3+12)×12÷2 = 90cm2
よって  四角錐JKAEHの体積 = 90×3÷3 =90cm3

三角錐JEFHは、
高さがJからEFに下ろした垂線=12cm、
底面が直角二等辺三角形EFHである。
底面の面積
EF=12cm, EH=12cmより
面積 = 12×12÷2 =72cm2
三角錐JEFHの体積 = 72×12÷3=288cm3

よって立体AJKEFHの体積 = 378cm3
AEFHJK12cm12cm12cm3cm3cm

反比例1 4(4)解説

4(4) y は x に反比例し、x=-2 のとき y=3 でした。
 ① y を x の式で表せ
 ② x の変域が 2≦x≦6のときの y の変域を求めよ。

反比例の比例定数はxとyの積で出せるので
比例定数 = -2×3 = -6
よって式は y = - 6x
xの変域2≦x≦6のときのyの値を表にすると
x23456y-3-2-1.5-1.2-1
yの最小値は -3, 最大値は -1なので
yの変域は -3≦y≦-1

円周角6 ⑪解説

xの値を求めよ。ただし、点Oは円の中心である。

Ox109°

BDに補助線を引く
ABが直径なので∠ADB=90°(直径の円周角)
Ox109°ABCD ∠BDC = ∠ADC - ∠ADB
= 109°-90° =19°

∠BDCは弧BCに対する円周角で、∠BOCは弧BCに対する中心角である。
等しい弧に対する中心角は円周角の2倍なので
∠BOC=19°×2 =38°

1・2年の復習Lv3_2 6③解説

6③
底面の半径6cmの円錐を頂点Oを中心として平面上で転がしたところ、図に示した円の上を1周して戻るまでに2回転半した。 この円錐の表面積を求めよ。 O

円錐の底面の半径が6cmなので、底面の周の長さは12πcm
平面上を2回転半(2.5回転)で1周なので 12π×2.5 = 30π
つまりグレーの円周の長さは30πcmとなる。
O12πcm30πcm
グレーの円周の長さが30πcmなので、
半径は15cmとなる。
これが円錐の母線の長さである。
円錐を展開すると側面のおうぎ形は半径15cm,
弧の長さ12πcmなので
中心角 = 360°× 1230 = 144°
よって、
側面積 = 15×15×π× 144360
= 90πcm2

底面積 = 6×6×π = 36πcm2
表面積 = 側面積+底面積より
表面積 = 90π+36π = 126πcm2
6cm15cm12πcm6cm

円周角6 ④解説

xの値を求めよ。ただし、点Oは円の中心である。

Ox55°44°

BCに補助線を引く。
∠ADBと∠ACBはともに弧ABに対する円周角なので
∠ADB=∠ACB=44°(等しい弧に対する円周角は等しい)
ACは直径なので、∠ABC=90°(直径に対する円周角)
Ox55°44°ABCDE
△ABCで∠ACB=44°、∠ABC=90°より
∠BAC=180°-90°-44°=46°

△ABEで、∠BAE=46°、∠AEB=55°より
∠ABE=180°-46°-55°=79°
Ox55°44°ABCDE44°46°

三平方の定理5 (4)解説

長方形ABCDの頂点Cが辺AD上にくるように折り返す。BEはそのときの折り目である。また、Fは頂点Cが移った点である。AB=9cm, DF=3cmのとき、BEの長さを求めよ。
A B C D E F

EC=xcmとすると、ECを折り返した部分がEFなのでEF=xcm
DC=9cmより DE=(9-x)cm
ABCDEF9cmxcm3cmxcm(9-x)cm
直角三角形DEFで三平方の定理を使うと
32+(9-x)2 = x2
9+81-18x+x2=x2
-18x =-90
x=5
よってEC=5cm


BC=ycmとすると、BCを折り返した部分がBFなのでBF=ycm
AD=BC(長方形の対辺)よりAD=ycmなので AF=(y-3)cm
ABCDEF(y-3)cm9cmycmycm
直角三角形ABFで三平方の定理を使うと
92+(y-3)2=y2
81+y2-6y+9=y2
-6y = -90
y = 15
よってBC=15cm

直角三角形EBCで三平方の定理を使うと
BE2= 52+152
BE2 = 250
BE>0よりBE=510cm
ABCDEF15cm5cm

1・2年の復習Lv1_3 4解説

4.
A, B2つの給水管のついた水そうがある。 Aは毎分1lの割合で給水し、Bは毎分2lの割合で給水する。 水そうが空の状態からAだけを使って給水し、途中でBも開いてAとBの両方で給水した。 グラフは給水開始からx分後の、水そうにたまった水の量をylとしてxとyの関係を表している。
(1) AとBの両方を使って給水しているときのxとyの関係を式で表わせ。 (2) Bを開いたのは給水開始から何分後か。
給水管A給水管B 4870(分)xy(l)O

4870(分)xy(l)OAだけで給水Bを開くA,B両方で給水 (1) Aは毎分1l、Bは毎分2lの割合で給水するので、
両方使って給水するときには毎分3lになる。
よって、変化の割合=3である。
またグラフよりx=48でy=70なので
y=3x+bにx=48, y=70を代入すると
70 = 3×48 +b
b = -144+70
b =-74
よって y=3x-74


(2) Bを開いたのは、グラフで2つの直線の交点である。
Aだけを使って給水したときのxとyの関係は
変化の割合=1で、x=0のときy=0なので
y=xとなる。
y=xとy=3x-74の交点のx座標を求めると
3x-74=x
x = 37
答 37分後

1・2年の復習Lv1_2 4解説

4.
図はAB=8cm, BC=6cm, CD=6cmの台形である。点PはAを出発して毎秒4cmで辺AB上をBまで行って止まる。 点Qは点Pと同時にDを出発して毎秒3cmで辺DC上、辺CB上をBまで動く。 2つの点が出発してからx秒後の△APQの面積をycm2とする。
ABCDPQ (1)次のそれぞれの変域についてyをxの式で表わせ。
0≦x≦2 2≦x≦4
(2)グラフに表せ (3)△APQの面積が18cm2となるのは出発から何秒後か。全て求めよ。

(1)
Pは毎秒4cmなので、Aを出発してBに着くまで2秒、
Qは毎秒3cmなのでDを出発してCに着くまで2秒である。
したがって0≦x≦2でPはAB上、QはDC上にある。
△APQの底辺APはx秒間でPの進んだ道のり 4x(cm)
高さはBC=6cmなので
面積 = 4x×6÷2 = 12x
よって y=12x
ABCDQ8cm6cm6cmP4x cm 2≦x≦4で、PはBにとどまり、QはBC上にある。
△APQの底辺AP=8cm
高さPQは BC+CDから
Qの進んだ道のり3xを引いたものなので
高さ = 12-3x (cm)
したがって面積 = 8×(12-3x)÷2 = 48-12x
よって y=-12x+48
ABCD8cm6cm6cm(P)3x cm

(2)
グラフは y=12x(0≦x≦2)、y=-12x+48(2≦x≦4)ともに直線である。
したがって、端の点を出して直線で結ぶ。
y=12xにx=0を代入するとy=0 →  (0,0)
y=12xにx=2を代入すると y=24 (y=-12x+48に代入してもおなじ) →(2, 24)
y=-12x+48にx=4を代入すると y=0 → (4,0)

点をとって
4812162024O1234xy(0,0)(2,24)(4,0)
直線で結ぶ
4812162024O1234xy


(3)
y=18をそれぞれの式に代入する。
18=12x
x = 1.5
18=-12x+48
12x = 30
x=2.5
よって面積が18cm2になるのは1.5秒ごと2.5秒後

連立方程式総合問題3 3(1)解説

3. 連立方程式をたてて答えよ。
(1) 大小2つの自然数がある。2数の和は65で、大きいほうの数を小さい方の数で割ると商が7であまりが1になる。 この2数を求めよ。

ある数を整数で割ったときの商とあまり
ある数 = 割る数×商 + あまり
>>詳しく

大きい方をx, 小さい方をyとする。
「2数の和は65」なので x+y=65 …①
「大きいほうの数を小さい方の数で割ると商が7であまりが1」なので
x = 7y+1 …②

②を①に代入
7y+1 + y =65
8y = 64
y=8…③
③を②に代入
x=7×8+1 = 57
答 大きい数57, 小さい数8

1・2年の復習Lv4_5 6①③解説

6
AD:DB=1:4, BE:EC=3:2のとき△ADF:四角形DBEFの面積比を求めよ。 ABCDEF

図の直方体は AB=12cm, BC=5cm, BF=8cm である。BQ=6cm, AP=1cm, CR=5cmである。 面D,P,Q,Rでこの直方体を2つに分けたそれぞれの立体の体積を求めよ。 ABCDEFGHPQR

Eを通り、DCに平行な直線EGを引く。
DC//EG、BE:EC=3:2より、BG:GD=3:2となる。
AD:DB=1:4、BG:GD=3:2より、BD=4に対してDG=85である。
すると、AD:DG=1:85=5:8
DF//GEなので AF:FE=5:8 となる。
ABCDEFG4112855
AD:DB=1:4より 面積比△ADE:△BDE=1:4
AF:FE=5:8より 面積比△ADF:△EDF=5:8
△ADE=△ADF+△EDF =13
△BDEは△ADEの4倍なので △BDE=13×4 =52
四角形DBEF=△BDE+△EDF=52+8=60
よって
△ADF:四角形DBEF=5:60=1:12
ABCDEF415852



立体ABCDPQRを面BQDで切断すると、
台形BQRCを底面とする四角錐DBQRCと
台形ABQPを底面とする四角錐DABQPに分けられる。
ABDEFGHPQRC5651281

四角錐DBQRCの体積
台形BQRCは上底5, 下底6, 高さ5 なので
底面積 = (5+6)×5÷2 = 55/2
四角錐の高さDC=12なので
体積 = 55/2 × 12÷3 =110
BCDQR65512
四角錐DABQPの体積
台形ABQPは上底1, 下底6, 高さ12なので
底面積 = (1+6)×12÷2 =42
四角錐の高さAD=5なので
体積 = 42 × 5÷3=70
56121ABDPQ
よって立体ABCDPQRの体積 = 110+70=180
直方体ABCDEFGHの体積は12×5×8 =480
よって立体PQRDEFGHの体積 = 480-180=300

正負の数 総合問題 標準1 4⑧解説

4.次の計算をせよ。
⑧(-4-7)×(-22)+{32-(-23)}×5

(-4-7)×(-22)+{32-(-23)}×5 累乗を計算
= (-4-7)×(-4)+{9-(-8)}×5 カッコの中を計算
= (-11)×(-4)+(+17)×5 かけ算
= 44+85 足し算
= 129

平方根の問題7 3①途中式

3. 次の計算をしなさい
3 2 + 26 3 8 3

3 2 + 26 3 8 3
=3×22×2+263-8×33×3
=62+263-263
=(12+23-23)6
=126
=62

反比例のグラフ 2解説

2. 次の双曲線の式を求めなさい。 xyO

グラフ上で、x座標、y座標ともに整数になる点を探し,
反比例の式 y=ax に代入してaを出す
xyO (5,2)(8, -2)
アの双曲線は(5,2)を通るので
2=a5
a=10
よって y=10x

イの双曲線は(8,-2)を通るので
-2=a8
a=-16
よって y=-16x

中学数学の要点をわかりやすく説明

全く初めて勉強する分野や、習ったけれど忘れてしまったような事柄でも理解できるように基本事項を説明しています。  学校で習ったけれど理解できていない場合や、理解しているつもりでも得点に結びついていないような場合でも基本事項をよく理解した上で問題に取り組むことをおすすめします。

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更新履歴

3/4
例題 共通接線
2/26
例題 三平方_座標(点と直線の距離) 例題 三平方_座標(最短距離)
2/21
例題 三平方の定理_座標平面の三角形
2/15
例題 三平方の定理_二等辺三角形の面積 例題 三平方の定理_台形の面積
2/14
例題 三平方の定理_最短経路

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