LasstUpdate 2019/06/17
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連立文章題(速さ4) 発展 (2)解説

連立方程式をたてて解きなさい。
(2) 兄と弟が家から2600m離れたショッピングセンターに向かった。弟は10:00に家を出て歩いて向かい、兄は10:09に家を出て自転車で向かった。兄は10:15に弟に追いつきそこで自転車を降り、弟と一緒に10分歩いたあと、また自転車に乗って10:28にショッピングセンターに着いた。弟が歩く速さと兄が歩く速さは同じで一定、また自転車の速さも一定とする。 歩く速さと、自転車の速さをそれぞれ分速で求めよ。

ショッピングセンター徒歩(15分)徒歩(10分)徒歩(10分)自転車(6分)自転車(3分)追いついた地点2600m
自転車の速さをxm/分、 歩く速さをym/分とする。
兄が弟に追いつくのは10:15、弟は10:00に家を出ているので15分間歩いて、兄は10:09から6分間自転車で走った。
兄の走った距離は6x, 弟の歩いた距離は15yでそれぞれ家から追いついた地点までの距離(同じもの)を表しているのでイコールで結べる。
6x = 15y…①
10:15に追いついた後兄と弟が一緒に歩いたのが10分間なので、再び兄が自転車に乗ったのが10:25、ショッピングセンターについたのが10:28なので3分走ったことになる。
よって兄は6分間自転車、10分間歩き、3分自転車で家から2600mを移動した。
6x+10y+3x = 2600 これを整理すると
9x+10y =2600…②

①を整理すると
2x-5y=0…①'
①'×2+②
4x-10y=0-)9x+10y=2600 13x =2600 x =200…③
③を①'に代入する
400-5y=0
5y=400
y=80

展開(おきかえ) 2⑤解説

2.次の式を展開しなさい。
⑤ (5x-2y+1)(5x+2y-1)

(5x-2y+1)(5x+2y-1) = {5x-(2y-1)}{x+(2y-1)}と考えて
2y-1=Aと置き換えて展開すると計算が楽にできる。

(5x-2y+1)(5x+2y-1)
= {5x-(2y-1)}{x+(2y-1)}
= (5x-A)(5x+A)
= 25x2 -A2
= 25x2 -(4y2-4y+1)
= 25x2 -4y2+4y-1

連立方程式(分数4) ⑧解説

1. 次の連立方程式を解きなさい。
2x+85-2y-63=-25 9x10-5y-166=-133

2x+85-2y-63=-25・・・(1) 9x10-5y-166=-133・・・(2)
(1)の両辺に15をかけて整理すると
3(2x+8)-5(2y-6) = -6
6x+24-10y+30=-6
6x-10y=-60
3x-5y=-30…(1)'
(2)の両辺に30をかけて整理すると
27x-5(5y-16) = -130
27x-25y+80 = -130
27x-25y = -210…(2)'
(1)'×5 - (2)'
15x-25y=-150-)27x-25y=-210 -12x =60 x =-5…(3)
(3)を(1)'に代入
-15-5y=-30
-5y=-30+15
-5y=-15
y=3

展開(おきかえ) 1⑤解説

1.次の式を展開しなさい。
⑤ (x+y-7)(x-y+7)

(x+y-7)(x-y+7) = {x+(y-7)}{x-(y-7)}と考えて
y-7=Aと置き換えて展開すると計算が楽にできる。

(x+y-7)(x-y+7)
= {x+(y-7)}{x-(y-7)}
= (x+A)(x-A)
= x2 -A2
= x2 -(y2-14y+49)
= x2 -y2+14y-49

式の計算総合問題4 4

4.
2つの自然数A,Bがある。Aを4で割ると商がmで余りが3, Bを7で割ると商がnで余りが3mとなる。 A+Bを7で割ったときの商と余りを求めよ。

aで割ると商がxで、余りがyとなる数は ax+yと表せる
例えば、5で割ると商が3であまりが1なのは 5×3+1=16

4で割ると商がmで余りが3となる数は 4m+3 よって A =4m+3と表せる
7で割ると商がnで余りが3mとなる数は 7n+3m よって B = 7n+3mと表せる
すると 
A+B
= (4m+3)+(7n+3m)
= 4m+3m+7n+3
= 7m+7n+3
= 7(m+n)+3
m, nはともに整数なので(m+n)は整数となる。
すると 7(m+n)+3 は7で割ると3余る数で、商は(m+n)である

y=ax2のグラフ3 4

図の放物線lはy=ax2、放物線mはy=-18x2、 放物線nはy=-12x2のグラフである。 それぞれの放物線と直線y=-3との交点をA,B,Cとする。AB:BC=2:1のときのaの値を求めよ。
ABClmny=-3Oxy

Cのx座標 -3=-12x2 より x=6
Bのx座標 -3=-18x2 より x=26
よってBC = 26-6=6
Aのx座標を pとすると AB=p -26
AB:BC = 2:1なので
(p-26):6 = 2:1
p-26=26
p =46
(46, -3)を y=ax2に代入すると
-3 = a(46)2
-3=96a
a = -132

式による説明 1(4)

(4) 2けたの自然数Aがある。この自然数の一の位と十の位の数を入れ替えた数をBとする。
  AとBの差が9の倍数になることを式で説明せよ。

まずAとBを文字で表す
Aは2けたの自然数なので、十の位をa, 一の位をbとすると 10a+b と表せる。
BはAの一の位と十の位を入れ替えた数なので 10b+aと表せる。

次に計算する
AとBの差を計算すると
A-B
= 10a+b - (10b+a)
= 10a +b -10b -a
= 9a -9by
= 9(a-b)

最後に結論をまとめる
a, bともに整数なので(a-b)も整数で、9(a-b)は 9×整数なので9の倍数である。
よってAとBの差は9の倍数になる

正負の数 総合問題 標準4 5

5. 表のア〜キには-3,-2,-1,0,1,2,3のいずれかの数が1つずつ入る。縦、横、斜めに並んだ数の和が全て等しくなるようにア〜キにあてはまる数を答えよ。
54

3×3の魔法陣では
縦、横、斜めそれぞれ3数の和は 9つ全ての数の和÷3
中央の数は 9つ全ての数の和÷9
となる。

表にはすでに4,5が入っていて、残りのア〜キには-3,-2,-1,0,1,2,3が入るので
9つの数全ての和は -3+(-2)+(-1)+0+1+2+3+4+5=9
よって縦、横、斜めそれぞれ3数の和は 9÷3=3
中央の数 オは 9÷9=1
中段横 エ + 1+5 = 3 より エ=-3
左縦 ア-3+4 =3 より ア=2
右上がり斜め ウ+1+4=3 より ウ=-2
上段横 2+イ-2 より イ=3
中縦 3+1+カ =3より カ=-1
下段 4-1+キ =3より キ =0

連立文章題(速さ) (4)

連立方程式をたててこたえよ。
(4) A君の家からB君の家まで1600mで途中に図書館がある。ある日同時に家を出て図書館に向かった。A君は毎分50mでB君は毎分80mの速さだった。A君のほうが7分早く着いた。それぞれの家から図書館までの道のりを求めなさい。

A君の家から図書館までをx(m), B君の家から図書館までをy(m)とする。
A〜図B〜図速さ(m/分)5080道のり(m)xy時間x50 y80
道のりの関係では、A君の家からB君の家まで1600mで途中に図書館があるので、
Aの家図書館Bの家xy1600
つまり x+y=1600…①
時間の関係では、A君のほうが7分早くついたので
x50+7 = y80…②
②×400
8x+2800=5y
8x-5y = -2800…②'
②'+①×5
8x-5y=-2800+)5x+5y=8000 13x =5200 x =400…③
③を①に代入
400+y=1600
y=1200

いろいろな因数分解2 2②③④

2.次の式を因数分解しなさい。
② 25(x+3)2-y2
③(x+y)2-(a+b)2
④ 4(x+1)2-9(y-2)2

A2-B2 = (A+B)(A-B)

25(x+3)2 は{5(x+3)}2と表せるので
5(x+3)=Aと置き換えて、和と差の積の因数分解をする。
25(x+3)2-y2
= A2-y2
= (A+y)(A-y)
= {5(x+3)+y}{5(x+3)-y}
= (5x+15+y)(5x+15-y)


x+y=A, a+b=Bと置き換えて和と差の積の因数分解をする
(x+y)2-(a+b)2
= A2-B2
= (A+B)(A-B)
={(x+y)+(a+b)}{(x+y)-(a+b)}
= (x+y+a+b)(x+y-a-b)


4(x+1)2 は {2(x+1)}2と表せる。
また9(y-2)2 は{3(y-2)}2と表せる。
よって2(x+1)=A、3(y-2)=Bと置き換えて和と差の積の因数分解をする。

4(x+1)2-9(y-2)2
=A2 - B2
= (A+B)(A-B)
= {2(x+1)+3(y-2)}{2(x+1)-3(y-2)}
= (2x+2+3y-6)(2x+2-3y+6)
= (2x+3y-4)(2x-3y+8)

いろいろな因数分解2 1①② ④

1.次の式を因数分解しなさい。
① x(x+1)+4(x+1)
② (x-y)2+(x-y)
④ (x-y)(a+4)+(x-y)(a-1)


x+1=Aとして置き換え
その後Aを共通因数としてくくりだし、
Aを(x+1)にもどす。

x(x+1)+4(x+1)
= xA +4A
= A(x+4)
= (x+1)(x+4)


x-y=Aとして、置き換え
その後Aを共通因数としてくくり出し、
Aを(x-y)にもどす

(x-y)2+(x-y)
= A2+A
= A(A+1)
= (x-y)(x-y+1)


x-y=Aとして、置き換え
その後Aを共通因数としてくくり出し、
Aを(x-y)にもどす

(x-y)(a+4)+(x-y)(a-1)
= A(a+4)+A(a-1)
= A(a+4+a-1)
= A(2a+3)
=(x-y)(2a+3)

平行線の錯角・同位角 標準問題(9)

l//mのとき∠xの大きさを求めよ。
(9) l m x 61° 111° 80° 50°

lm61°111°50°80°50°30°x61°119° 図のようにl,mと平行な補助線を2本引く。(赤と青)
61°の同位角が図の位置にあるので、180-61=119
∠xを含む三角形の1つの内角が119°になる。
また、50°の錯角を80°から引いて 80-50=30
この30°の錯角と111°の和 30+111=141°が
∠xを含む三角形の外角になるので、
x+119=141
x=22

中学数学の要点をわかりやすく説明

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