LasstUpdate 2019/04/22
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円周角3 ⑪

xの値を求めよ。ただし、点Oは円の中心である。
Ox68°56°

∠CABは弧CBに対する円周角である。
弧CBに対する中心角∠COB=68°、
円周角は中心角の半分なので∠CAB=34°
三角形の外角はそれと隣り合わない2つの内角の和に等しいので
∠BDC = ∠DAB+∠DBA=34+56=90
よって∠BDC=∠DOC+∠DCO
90 = 68+x
x=22
Ox68°56°ABCD34°90°

方程式総合問題L4 3(5)

3.方程式をたてて求めよ。
(5)
2%の食塩水が何gかある。これに食塩を10g入れて、そのあと水を120g加え、さらに12%の食塩水を750g加えてよくかき混ぜたら、 10%の食塩水ができた。2%の食塩水は何gあったのか。

食塩の質量 = 食塩水全体の質量×濃度(%)100
2%の食塩水xgに含まれる食塩は2100x(g)
食塩は100%の食塩水と考えて、
全体の質量=含まれる食塩の質量 = 10(g)
水は0%の食塩水と考えて、含まれる食塩は0(g)
12%の食塩水750gに含まれる食塩は12100×750=90(g)
全体の質量はx+10+120+750=880+xなので、
混ぜた後の10%の食塩水は(880+x)(g)で、
そこに含まれる食塩は10100(880+x)(g)
濃度(%)210001210全体の質量x10120750880+x食塩の質量2100x10012100×75010100(880+x)

混ぜる前の食塩の和と混ぜた後に含まれる食塩は等しいので、
2100x+10+90=10100(880+x)

2x+1000+9000=10(880+x)
2x+10000 = 8800+10x
-8x = -1200
x = 150

因数分解4 2(1)

2(1)
x2+15x+n を因数分解したら(x+5)(x+a) となった。aとnの値を求めよ。

因数分解は展開の逆なので、
「x2+15x+n を因数分解したら(x+5)(x+a)になる。」は
「(x+5)(x+a)を展開したらx2+15x+nになる。」と同じである。

(x+5)(x+a)を展開すると (x+5)(x+a)=x2+(a+5)x+5a
これがx2+15x+nとなるので、
a+5=15, 5a=n
よってa=10, n=50

連立方程式 総合問題2 3(1)

3.連立方程式をたててもとめよ。
(1)
百の位が3である3けたの自然数がある。この自然数の各位の数の和は16で、十の位の数と一の位の数を入れ替えてできる数は もとの数より9大きくなる。もとの自然数を求めよ。

百の位がa, 十の位がb, 一の位がcの3けたの自然数は
100a+10b+c
と表せる。

百の位の数が3で、十の位の数がx, 一の位の数がyの3けたの自然数は
 300+10x+yと表せる。これがもとの数。
百の位の数が3で、十の位の数がy, 一の位の数がxの3けたの自然数は
300+10y+xと表せる。これが十の位と一の位を入れ替えた数。
これがもとの数より9大きいので
300+10x+y + 9 = 300+10y+x
また、各位の数の和が16なので
 3+x+y =16

300+10x+y+9=300+10y+x…① 3+x+y=16 …②
①を整理すると 9x-9y=-9
x-y=-1…①'
②を整理すると
x+y=13…②'
①'+②'
x-y=-1+)x+y=13 2x =12 x =6
x=6を②'に代入すると 6+y=13
y=7
よって求める3けたの自然数は367

放物線と直線の変域が一致する8 (8)

(8)a<0の放物線y=ax2とm<0の直線y=mx-32について-4≦x≦16でyの変域が一致する。
aとmの値をそれぞれ求めよ。

a<0の放物線を-4≦x≦16の範囲で描くと図1のようになる。
オレンジの長方形が変域で、yの最大値は0, yの最小値はx=16の点である。
16-40xy図1
同じ変域に傾きが負の直線を描くと図2のようになる。
図から明らかなようにこの直線は
点(-4,0)を通り、
x=16の点は放物線と共通である。
16-40xy図2
y=mx-32に(-4,0)を代入すると
0=-4m-32
4m=-32
m=-8
よって直線はy=-8x-32
これにx=16を代入すると
y=-8×16-32=-160
y=ax2に (16,-160)を代入すると
-160 = a×162
a = -58

式の展開(多項式と単項式の乗除) 1⑨

1.次の計算をしなさい。
(43x2y-89y2+6)×(-94xy)

abc×m()++= am+bm+cm
(43x2y-89y2+6)×(-94xy)
カッコ内の各項に-94xyをかける
=43x2y×(-94xy)-89y2×(-94xy)+6×(-94xy)
乗法を計算
= -3x3y2+2xy3-272xy

三平方の定理2 (7)

(7)
∠ACB=135°AB=5cm、AC=2cmのときBCの長さを求めよ。
ABC

AからBCの延長に垂線をおろし、交点をDとする。
∠ACD=45°なので△ACDは直角二等辺三角形である。
AC=2なのでAD=CD=1である。
ABC135°45°√2D11
すると直角三角形ABDはAD=1で、斜辺AB=5なので
三平方の定理よりBD2+12 = 52
BD2 = 5-1 =4
よってBD=2
BC = 2-1 =1
11ABDC√5

正負の数 総合問題 標準3 5

次の表で、縦、横、斜めに並んだ3つの数の和がすべて等しくなるようにア〜オにあてはまる数を書け。
-32-2-1

色をつけた部分(斜め)の3数の和を求めると -3+(-2)+(-1) =-6となる。
次に数字が2つわかっている部分 上段 -3+2+ア=-6となるので アは-5
真ん中の縦 2+(-2)+オ =-6となるので オは-6
-3-2-12
ア、オに数字を入れると、右の縦 -5+ウ+(-1) =-6 より ウは0
下段 エ +(-6)+(-1) =-6より エは1
-3-2-12-5-6
すると 中段 イ+(-2)+0=-6なので イは-4 -3-2-12-5-601

連立方程式 総合問題2 2(2)

2つの連立方程式5x+9y=3 2ax+6y=2b 3x-ay=b-1 2x+4y=1 が等しい解をもつとき、定数a, bの値を求めよ。

2つの連立方程式のなかでa,bを含まない 5x+9y=3と2x+4y=1を連立方程式として解き、x,yを残りの式に代入してa,bを出す。
5x+9y = 3 …① 2x+4y = 1 …②
①×2 - ②×5
10x+18y=6-)10x+20y=5 -2y=1 y=-12…③
③を②に代入
2x-2=1
2x=3
x=32…④
③、④を2ax+6y=2bに代入して整理する
2a×32+6×(-12)=2b
3a-3=2b
3a-2b=3…⑤
③、④を3x-ay=b-1に代入して整理する
32-a×(-12)=b-1
92+12a=b-1
9+a=2b-2
a-2b=-11…⑥
⑤と⑥を連立方程式として解く
3a-2b=3…⑤ a-2b=-11…⑥
⑤-⑥
3a-2b=3-)a-2b=-11 2a =14 a =7…⑦
⑦を⑥に代入
7-2b=-11
-2b=-18
b = 9

方程式 分数3 2⑤

2.次の方程式を解きなさい。
6x-169+5x-712=-2

6x-169+5x-712=-2両辺に36をかける4(6x-16)+3(5x-7)=-72カッコをひらく24x-64+15x-21=-72-64と-21を移項24x+15x=-72+64+21両辺それぞれ計算39x=13両辺を39でわるx= 13

関係を表す式(不等式) (10)

数量の関係を不等式で表わせ。
(10)定価x円の商品を定価の2割引で売ったら、商品は40個売れて、売上の総額はy円以上になった。

売上金額 = 単価 × 個数
定価x円の2割引き x×810=45x (円)
40個売れたので売上の総額は 45x × 40 =32x(円)
これがy円以上なので
32x ≧ y

正負の数 総合問題 標準1  5

5. 表は生徒A〜Eのそれぞれの身長を、基準160cmとの差で表したものである。
5人の生徒の身長の平均を求めよ。

生徒ABCDE基準との差(cm)+4+7-1+2-9

基準との差を用いた平均の出し方
平均 = 基準 + 基準との差の合計個数

基準との差の合計は (+4)+(+7)+(-1)+(+2)+(-9)= 3
人数は5人なので、 3÷5 =0.6
これを基準に足す 160+0.6 = 160.6

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