LasstUpdate 2018/02/03
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総合問題1 7解説

図1は1辺の長さが6cmの正四面体である。
(1)この正四面体の体積を求めよ。
(2)図2のようにDP=2cmとなる点Pを
辺AD上にとり、面PBCでこの正四面体
を切断する。
①切断面△PBCの面積を求めよ。
②点Aから面PBCにおろした垂線の
長さを求めよ。
A B C D 図1 図2 P

(1)
BCの中点をEとして面AEDで正四面体を2等分する。
切断面の△AEDはAD=6, AE=DE=33の二等辺三角形である。
この△AEDは底辺をADとすると高さが32なので
面積は92
立体C-AEDは△AEDを底面とした三角錐で高さは3cm
すると体積は3×92÷3=92
これが正四面体の半分なので正四面体の体積は182
E
6 3√3 3√3 3√2 A D E

(2)
① 図のように点Pから辺CDに垂線をおろし、CDとの交点をQとする。
直角三角形PDQは∠PDQ=60°なのでPD=2, QD=1, PQ=3である。
直角三角形PCQで三平方の定理によりPC=27
すると△PBCはBC=6, PC=PB=27の二等辺三角形となる。
△PBCは底辺を BCとすると三平方の定理より高さが19である。
よって面積は319となる。

(1)から正四面体の体積は182
面積比 △APC:△ACD=2:3なので
体積比 B-APC:B-ACD=2:3
よって三角錐B-APCの体積は122
また①より△PBCの面積は319
Aから面PBCにおろした垂線とは△PBCを底面にしたときの三角錐の高さになる。
よって求める垂線をhとすると 319×h÷3=122
これを解いて h=121938
C D P A 1 2 5 Q
B C P 6 2√7 2√7 √19


相似と面積比 4解説

≫ 1番の解説

4. 図で、AD//EF//BC, AD=7cm,
BC=17cmである。
台形AEFDと台形EBCFの面積が等しくなるときの
EFの長さを求めよ。
A B C D E F

BAの延長線とCDの延長線の交点をPとする。  
AD//EF//BCなので△PADと△PEFと△PBCは相似な図形となる。 
7 17 7 17 A B C D E F P P P P A B C D E F 49 289 240 240 49 120 120 169
△PAD∽△PBC AD:BC=7:17より相似比が7:17なので、面積比は72:172=49:289である。  
すると台形ABCD=289-49=240となるが、  
EFが台形ABCDを二等分しているので、台形AEFD=台形EBCF=120である。  
すると△PEF=49+120=169   
つまり△PEF∽△PBCの面積比は169:289=132:172
よって相似比は13:17
BC=17なのでEF=13

方程式文章題1 (2)解説

(2) 80 円の鉛筆と 100 円のボールペンを合わせて 15 本買った。代金の合計は
1340 円だった。それぞれ何本ずつ買ったのか。

代金 = 単価(1個の値段) × 個数
合わせて15本の場合、
鉛筆10本ならボールペンは5本
鉛筆11本ならボールペンは4本
鉛筆11本ならボールペンは3本
  ・
  ・
鉛筆x本なら ボールペンは(15-x)本となる。
鉛筆の単価は80円なので鉛筆の代金は80x
ボールペンの単価は100円なのでボールペンの代金は100(15-x)となる。
鉛筆の代金とボールペンの代金を合わせて1340円なので
80x + 100(15-x) = 1340
80x + 1500 -100x = 1340
-20x = 1340 -1500
-20x = -160
x=8
答 鉛筆が8本でボールペンが7本

更新履歴

2017
11/3 例題2年 1次関数の変域1
1次関数の変域2
1次関数の変域3
1次関数の変域4

10/9 解説2年 文字式の表し方 1⑥
9/24 解説2年ダイヤグラム2 2
9/23 解説3年2乗に比例する関数4(変域) 2(4)(5)
9/19 解説3年因数分解4 2(4)
9/18 解説2年連立方程式(A=B=C)②
9/14 例題2年関数と図形 正方形
9/8 解説1年 おうぎ形 3
9/2 解説3年 2次方程式基礎2⑧
9/1 解説1年 方程式小数・分数③⑥
8/19 解説2年 直線と四角形 2
8/17 解説1年 正負の数応用
8/7 解説3年 三平方 折り返し(4)
7/29 解説1年 表面積
7/15 pcスマホ問題 1年 2数の加法
7/14 解説3年 相似と面積比1と3
6/27 解説3年 素因数分解 4
5/26 解説1年 四則計算 1④、2②④、 4
5/22 解説1年 正負の数「掛け算・割り算」 1② 2②
5/12 解説3年 放物線と面積
5/10 例題1年 グラフから比例の式を求める問題1
4/19 解説2年 式による説明4 3(1)
4/8 解説3年 放物線と直線の変域が一致するとき1 1(1)(3)
4/6 解説1年 文字式の計算3 2⑦
4/3 解説2年 式の値 3②
4/1 練習問題2年 直線の式 平行・交点 直線の式 平行・交点2
3/29 解説3年 2乗に比例する関数5(変域,変化の割合、交点) 1(3)
3/28 解説3年 2乗に比例する関数4(変域) 2(4)
3/27 要点まとめ 3年 円周角2
3/18 解説3年 2次方程式の計算2 1⑩ 解説1年 1年の復習1 1(3)
3/15 解説1年 方程式文章題(速さ) (2)
3/14 解説3年 2乗に比例する関数1(基礎)  5
3/13 解説1年 方程式文章題(速さ) (3) 解説3年 因数分解4(発展) 2(7)
3/7 解説3年 角の二等分線と辺の比 3
2/28 解説3年 角の二等分線と辺の比 2
2/23 解説3年 平方根問題7 1(6)①
2/21 解説2年 直線と四角形 3
2/20 要点まとめ 3年 円周角1
2/18 解説1年 方程式文章題1 (1)
2/13 解説3年 復習問題 4①
2/11 解説3年 相似の証明1 1(2)
2/8 解説3年 総合問題1 7  円周角2 ⑤ ⑥
2/5 解説2年 連立(A=B=C) ①
  解説1年 おうぎ形 1(2)
 解説3年 復習問題 4②
2/1 解説3年 円と相似  3
1/31 解説2年 一次関数3 1(3)  特別な平行四辺形2 2(2)
1/30
 解説1年  方程式文章題1 (5)
解説3年 相似と線分比4(発展) 2乗に比例する関数5(変化の割合、変域、交点) 1(5)(6)  放物線と直線 5
1/20
 解説2年 1次関数のまとめ3 3(4)
 解説1年  比例1 3
 解説3年 相似と面積比 4
1/19 解説3年 復習問題 2
1/14 解説2年 合同の証明2  4
1/11 解説2年 平行四辺形の性質1 (4)
解説1年  折り目の作図(発展)
1/10 解説1年 方程式文章題(速さ) (2) (5) 方程式4 ③⑤⑧⑩
1/6 解説3年 相似と線分比2 1,3,5 解説2年 直線と四角形 4
解説1年 方程式文章題(速さ基本) 3
歴史選択問題 後編
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歴史選択問題 前編
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1年

正負の数

文字式

方程式

関数

平面図形

空間図形

資料の整理

まとめ

まとめ

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連立方程式

1次関数

角度

三角形

四角形

確率

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多項式

平方根

2次方程式

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相似

三平方の定理

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