LasstUpdate 2019/03/19
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2次方程式総合問題Lv3 2(1)

2(1)
2次方程式4x2-28x+(3a+1)=0の解が1つだけのときaの値とその解を求めよ。

2次方程式の解が1つだけなのは
(ax+b)2=0
のように2乗の形に変形できるときである。

4x2-28x+(3a+1)=0 
(2x)2-2×7×(2x)+(3a+1)=0
左辺が2乗の形になるのは 3a+1=72のときなので
3a+1=49
a=16
4x2-28x+49=0
(2x-7)2=0
x=72

2次方程式総合問題Lv3 3(4)

3(4) 右の図のように1辺1cmの正方形を並べ
て、1番目、2番目、3番目、4番目、…と
図形を作っていく。 面積が105cm2になる
のは何番目の図形か、求めよ。
1番目2番目3番目4番目

図のように同じ図形をひっくり返して
上から重ねて長方形を作る。
できた長方形の面積は
順に1×2=2, 2×3=6, 3×4=12となるので、
x番目にできる長方形の面積はx(x+1)である。
各図形の面積はこれの半分なので12x(x+1)
面積が105になるときは
12x(x+1)=105

x(x+1) = 210
x2+x-210=0
(x-14)(x+15)=0
x=14, -15
x>0よりx=14

円周角1 ⑦

それぞれのxの値を求めよ。ただし、点Oは円の中心である。 Ox128°

等しい弧に対する中心角は円周角の2倍なので
円周角xの中心角は2xである。
x128°2x
よって2x+128=360
2x=232
x=116

円と接線 1④

1.直線l,mはそれぞれ点P,Qで円Oに接している。xの値を求めよ。
OPQx113°

∠xの頂点をAとする。OからP, Qにそれぞれ線を
引くと接線は接点を通る半径と垂直なので
∠APO=90°、∠AQO=90°となる。
また、円周角113°に対する中心角が226°なので∠POQ=134°となる。
OPQx113°226°A
四角形PAQOに着目すると内角がx,90°、90°134°となる。
四角形の内角の和は360°なので
x+90+90+134=360
x=46
AOPQx134°

2乗に比例する関数 総合問題1 6

放物線m:y=x2上に点A,Bがあり、放物線n:y=13x2上に点C,Dがある。点AとBはy座標が等しく、点AとDはx座標が等しい。 ABCDが正方形になるときの点Aの座標を求めよ。xyOABCDmn

Aはy=x2上の点なので、x座標をtとするとy=t2となる。
A(t, t2)
DはAとx座標が等しいのでx=tである。
また、y=13x2上の点なのでy=13t2
D(t, 13t2)
放物線はy軸について対称なのでB(-t, t2)である。
ABCDが正方形になるのでAB = AD である。
AB = t-(-t) = 2t
AD = t2 - 13t2 = 23t2
よって 23t2=2t
t2-3t=0
t(t-3)=0
t =0, 3
t>0よりt=3
よってA(3,9)

連立文章題(速さ4)発展 (4)

(4)家から駅へいくのに、ひろし君は徒歩で、妹は兄のオートバイに乗せてもらって同時に出発した。 兄は妹を駅に降ろしてすぐに引き返して、歩いていたひろし君を乗せて再び駅に行ったところ、 ひろし君が駅に着いたのは妹より20分遅かった。オートバイは時速36km, ひろし君の徒歩は時速4kmとする。 家から駅までの距離を求めよ。

求めるのは家から駅であるが、ひろし君が歩いた距離をxkm, のこりの駅までの距離をykmとする。
また、複雑な関係をできるだけ簡素にとらえるため、ひろしと妹だけ、ひろしと兄だけでそれぞれの関係を考えてみる。
ひろし君と妹の関係
ひろしオートバイオートバイ徒歩xy ひろし君と妹は同時に家を出て、妹が20分早く駅に着く
つまり ひろし君の時間 = 妹の時間 + 20分である。
ひろし君が歩いた時間はx4(時間) ,
残りはオートバイなのでy36(時間)
妹はずっとオートバイなのでx+y36(時間)
20分を時間に直すと2060(時間)
よってx4 +y36 =x+y36 +2060 …①


ひろし君と兄の関係
徒歩xyひろしオートバイ ひろし君と兄は同時に家を出る。
兄は駅まで行ってすぐ戻りひろし君に出会う。
つまり、ひろし君が歩いた時間と、兄が家を出てから
ひろし君に会うまでの時間は同じ長さになる。
ひろし君が歩いた時間はx4(時間)
兄がオートバイで走ったのは(x+y+y)kmなので、
その時間はx+2y36(時間)
よってx4 =x+2y36 …②


①×36
9x+y=x+y+12
8x = 12
x = 32…③
②×36
9x=x+2y
8x=2y
これに③を代入すると
12x = 2y
y = 6
求めるのは家から駅までの道のりx+yなので
32+6=152(km)

三平方の定理6 4

4.
AB=8cm, BC=12cmの長方形で、頂点Bが辺ADの中点Mと重なるように折り返した。EMの長さを求めよ。 A B C D E F M

求めるEMをxとする。
Eから辺ADに垂線をひき、交点をGとすると
直角三角形MEGができる。
EMはEBをおりかえした部分なので、EC=12-x
Mが中点なのでMD=6
MG=MD-GD = 6-(12-x)=x-6
すると△MEGの各辺がx, 8, x-6となるので
三平方の定理にあてはめると
x2 = 82+(x-6)2
x2 = 64+x2-12x+36
12x = 100
x = 253
ABCDEFMGxx-68

1年復習 1(2)

1(2)次の方程式を解きなさい。
3x+1 2 − 3 = 7x 3

係数に分数を含む方程式は、両辺に適当な数をかけて分母をはらう

3x+1 2 ×6 − 3×6= 7x 3 ×6←両辺に6をかける3(3x+1)-18=14x←約分して計算9x+3-18=14x←カッコを分配法則でひらく9x-14x=-3+18←xの項を左辺に、数字を右辺に移項-5x=15←それぞれで計算x=-3←両辺を-5で割る

比例(文章を式にする) 4(2)

4(2) 歯数が120の歯車Aと歯数が150の歯車Bがかみ合って回っている。Aがx回転する間に、Bはy回転するとする。

歯車がかみ合っている部分を通過する歯の数を考える。
120の歯車がx回転するときにかみ合った部分を
通過する歯の数は120xである。
150の歯車がy回転するときにかみ合った部分を
通過する歯の数は150yである。
かみ合っているので、この数が同じになる。
150y = 120x
y= 45x

四則計算(整数3) 2⑧

2⑧ (-23)÷3-6×(-42)÷9

(-23)÷3-6×(-42)÷9
=(-8)÷3-6×(-16)÷9累乗を計算=-83+323 割り算・かけ算=-8+323 分子を一つにまとめる=243 分子を計算=8約分

平方根の問題7 1(2)

1.(2) 14-nが整数になるようなnのうち最小の自然数を求めよ。

14-nが整数になるには、(14-n)が整数の2乗である必要がある。
さらに、nが自然数のため(14-n)は必ず14より小さくなる
この条件にあてはまる (14-n)の値は 1, 4, 9の3つである。
14-n = 1のとき n = 13
14-n = 4のとき n = 10
14-n = 9のとき n = 5
よって最小のnは 5である。

放物線と直線 1

1. 次の式で表される放物線と直線の交点を求めよ。
(1) 放物線y=x2 直線 y=x+6 (2)放物線y=2x2 直線 y=-2x+4 (2)放物線 y = - 1 2 x2 直線 y=x-12

直線y = mx+n と 放物線y = ax2の交点
ax2 = mx + n の2次方程式をを解く。

(1)
x2 =x+6
x2 -x-6=0
(x-3)(x+2)=0
x=3, -2
x=3をy=x+6に代入すると y=3+6 = 9
よって(3, 9)
x=-2をy=x+6に代入すると y=-2+6=4
よって(-2, 4)

(2)
2x2 =-2x+4
x2 =-x+2
x2 +x-2=0
(x+2)(x-1)=0
x=-2, 1
x=-2をy=-2x+4に代入すると y=4+4=8
よって(-2, 8)
x=1をy=-2x+4に代入すると y=-2+4=2
よって(1, 2)

(3)
- 1 2 x2 = x-12
x2 = -2x+24
x2 +2x-24=0
(x-4)(x+6)=0
x=4, -6
x=4をy=x-12に代入すると y=4-12=-8
よって(4,-8)
x=-6をy=x-12に代入するとy=-6-12=-18
よって(-6, -18)

中学数学の要点をわかりやすく説明

全く初めて勉強する分野や、習ったけれど忘れてしまったような事柄でも理解できるように基本事項を説明しています。  学校で習ったけれど理解できていない場合や、理解しているつもりでも得点に結びついていないような場合でも基本事項をよく理解した上で問題に取り組むことをおすすめします。

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更新履歴

3/4
折り返しの問題 練習の解説
2/15
3年問題
円周角5 円周角6
2/7
3年問題
円周角4
1/23
解説
3年相似と線分比1 2(2)
2年 等積変形の5 式による説明1 (5)

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