LasstUpdate 2020/01/24
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新着 解説

角の二等分線と辺の比 1解説

∠BACの二等分線と辺BCの交点をDとする。次の問いに答えよ。

AB=4,AC=10,BC=7のとき
BDを求めよ。
A B C D

AC=9,BD=3,DC=4
のときABを求めよ。
A B C D

AB=12,AC=8,DC=5の
ときBCを求めよ。
A B C D

ABCD △ABCで、∠BACの二等分線と辺BCとの交点をDとすると、
AB:AC=BD:DCとなる。

ABCDv4107x7-x BC=7なのでBD=xとするとDC=7-x
AB:AC=BD:DCなので
4:10 = x:(7-x)
10x =4(7-x)
10x = 28-4x
14x =28
x=2
ABCDx934 AB:AC=BD:DCなので
AB=xとすると
x:9 = 3:4
4x = 27
x=274
ABCDx5812x-5 BC=xとすると DC=5なので BD=x-5
AB:AC=BD:DCなので
12:8=(x-5):5
8(x-5)=60
8x-40 =60
8x=100
x=252

円周角4 1①解説

1.xの値を求めよ。ただし、点Oは円の中心である。

25°18°xO

AOに補助線を引くと OA=OB(半径)より、△OABが二等辺三角形になり
二等辺三角形の底角は等しいので ∠OBA=∠OAB=18°

OA=OC(半径)より△OACが二等辺三角形になり、
二等辺三角形の底角は等しいので ∠OCA=∠OAC=25°

すると弧BCに対する円周角の∠BAC=18+25=43°となる。
等しい弧に対する中心角は円周角の2倍になるので、
弧BCに対する中心角である∠BOC = 43°×2 =86°
25°18°xOABC18°25°

確率2 1(4)解説

1から5までの数を書いた5枚のカードがある。
この中から1枚カードを引くときに奇数が出る確率を求めよ。
2枚連続で引くときに両方とも奇数になる確率を求めよ。ただし、1回目に引いたカードはもとにもどさない。

1 2 3 4 5 5枚のうち奇数は1,3,5の3枚なので、確率は 35
最初に取り出したカードが1の場合、樹形図は図のようになる。
1 2 3 4 5
このうち、両方とも奇数なのは(1,3), (1,5)の2通り
同じように最初に取り出したカードが2の場合、3の場合、4の場合、5の場合のそれぞれの樹形図をかく。
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
するとこの中で両方奇数なのは(3,1),(3,5),(5,1),(5,3)の4通り
つまり全20通りのうち、両方奇数が6通りなので
確率は620=310となる。

三平方の定理5 (7)解説

図の円錐は底面の半径が6cm、 母線の長さが9cmである。 体積を求めよ。

母線の長さ9cm, 底面の半径6cm、円錐の高さをxとする。
三平方の定理にあてはめると
x2+62=92
x2 = 45
x>0よりx=35
また、底面の面積は
6×6×π = 36π
よって円錐の体積は 36π×35÷3 = 365π
96x

連立文章題 割合の 問題 2(5)解説

(5)昨年のテニス部は男子の人数が女子より10人多かった。今年は去年に比べて男子が20%減り、女子が30%増えたので、女子の人数が男子の人数よりも2人多くなった。今年のテニス部の男子、女子のそれぞれの人数を求めよ。

求めるものは今年の人数だが、割合のもとになっているのが去年の人数なので、去年の人数をx,yにする。
去年の男子の人数をx人、去年の女子の人数をy人とする。
今年は男子が20%減ったので80100x、 女子が30%増えたので130100yである。
 男子女子去年xy←男子が10人多い今年80100x130100y←女子が2人多い
去年は男子が10人多いので x-y=10
今年は女子が2人多いので 130100y-80100x=2
これを解く
x-y=10…①
130100y-80100x=2…②
②の両辺に10をかけて整理する
-8x+13y = 20…②'
①×8+②'
8x-8y=80+)-8x+13y=20   5y=100   y=20…③
③を①に代入すると
x-20=10
x=30
去年の男子が30人なので今年は 80100×30=24
すると女子は 24+2 =26

三平方の定理5 (5)解説

(5) 次の三角形の面積を求めよ。
13cm 21cm 20cm

AからBCに垂線をおろし、交点をDとする。
AD=x, BD=yとすると DC=21-yとなる。
2つの直角三角形△ABDと△ADCで三平方の定理を使うと
x2+y2=132…①
x2+(21-y)2=202…②
①を整理してx2=169-y2…①'
これを②に代入すると
169-y2+(21-y)2=400
169-y2+441-42y+y2=400
-42y = 400-169-441
-42y = -210
y = 5
これを①'に代入すると
x2=169-25=144
x > 0 より x=12
高さが12なので△ABCの面積は
21×12÷2=126
13cm21cm20cmxy21-yABCD

方程式文章題(割合基礎) 2(3)解説

(3) ビンの中にいくらかの水があった。はじめにそのうちの200mlを飲んだ。さらに残っている水の30%を飲んだ。
するとビンの中には210mlの水が残った。はじめにビンの中にはあった水をxmlとして問いに答えよ。
1回めに水を飲んだ後に残っている水の量をxを使って表わせ。
2回めに水を飲んだ後に残っている水の量をxを使って表わせ。
方程式をたててxを求めよ。

はじめx(ml)の水から、200(ml)飲んだので 残りは x-200 (ml) 30%飲んだので、残りは70%である。
x-200 (ml) の70%は 710(x-200)
 2回目に水を飲んだ後の残りが210 (ml)なので
 710(x-200) = 210
これを解くと
 7(x-200) = 2100
7x -1400 = 2100
7x = 2100+1400
7x = 3500
x=500

総合問題1 6(2)解説

6. 図で点A,B,Cは円Oの円周上の点で、OA⊥OBである。点DはACとBOの延長との交点である。また、OからBCに引いた垂線をOHとしてその延長とACの交点をEとする。
ABCDEHO
(2) OA=4cm, OD=2cmとするときAEの長さを求めよ。

OA=4より円Oの半径が4なので OB=4,
△AOBは直角二等辺三角形なのでAB = 42
また、直角三角形AODでOA=4, OD=2より、
三平方の定理から 
AD2 = 42+22 = 16+4 =20
AD >0 より AD=25
ABCDEHO4422542
(1) より△ADB∽△ODE
ADとODが対応する辺なので、
相似比は 25 : 2 = 5:1
DEと対応する辺はDBなので、
6:DE = 5:1
5×DE= 6
DE = 65 = 655
AD=25なので
AE = 25-655 = 455
254ABD6DEO45°45°2

2次方程式 計算 (いろいろな問題)類題2 2⑤解説

2. 2次方程式を解け
514x2-23x+27=0

ax2+bx+c = 0 の解の公式
x = −b± b2−4ac 2a

両辺に42をかけて分母をはらい、解の公式にあてはめて解く。

514x2-23x+27=0
15x2-28x+12=0
a=15, b=-28, c=12として解の公式に代入 x = 28±282-4×15×122×15
x = 28±6430
x = 28±830
x = 3630,2030
x=65,23

三平方の定理1 2⑥解説

ABCDでAB=10cm, BC=21cm, 高さ8cmである。対角線ACの長さを求めよ。 A B C D 高さ

AからBCにおろした垂線の交点をPとすると、
△APBは直角三角形で、AP=8, AB=10なので
三平方の定理より BP2+82=102
BP2 = 100-64 =36
BP = ±6
BP >0 よりBP=6

BC=21 なので PC=21-6=15
直角三角形APCで PC=15, AP=8なので
三平方の定理より 82+152=AC2
AC2 = 64 + 225
AC2 = 289
AC=±17
AC >0より AC=17
ABCD81021P

1・2年の復習Lv4_1 4解説

4. A(3,4), B(9,0), C(8,4)の台形AOBCがある。傾き-2でこの台形AOBCの面積を二等分する直線の式を求めよ。 OABCxy

台形AOBCは上底が5, 下底が9、高さ4なので
面積は (5+9)×4÷2 = 28である。
OA(3,4)B(9,0)C(8,4)xy459
傾き-2の直線とACとの交点をP, OBとの交点をQとする。
Pの座標を(x, 4)とすると
PからOBのおろした垂線の長さが4で、
PQの傾きが-2なので、Qの座標は(x+2, 0)となる。
AP=x-3, OQ=x+2より
台形AOQPの面積は {(x-3)+(x+2)}×4÷2 = (2x-1)×4÷2 = 4x-2
これが台形AOBC(面積28)の半分なので
4x-2 = 14
4x=16
x=4
よってP(4,4), Q(6,2)
y=-2x+bに(4,4)を代入すると
4=-8+b
b=12
よって求める直線の式は y=-2x+12
OA(3,4)B(9,0)C(8,4)xyPQ42

1・2年の復習Lv4_1 6③解説

図は底面が∠CAB=∠FDE=90°の直角三角形の 三角柱である。
この立体を面 PQR で切断する。AB=8㎝、AC=6㎝、AD=10㎝、
BQ=5㎝、 AP=8㎝、CR=6㎝のとき、
切断してできる小さ いほう(下のほう)の立体の体積を求めよ。
ABCDEFPQR

ABCDEFPQR5688106図1 DEFPQR45268図2 DEFPQR45268図3 求める立体だけを取り出したのが図2である。 さらにこれを図3のように面RDE で切断する。
すると三角錐RFDEと四角錐RPDEQに分かれる。

三角錐RFDE
底面が△FDE,高さがRFである。
△FDE の面積 6×8÷2=24cm2,
RF=4cm より体積 24×4÷3=32cm3

四角錐RPDEQ
底面が台形PDEQ で、高さはRから面ADEBにおろした垂線の長さである。
直線RFと面PDEQが平行なので、Rから面ADEBにおろした垂線はFから面ADEBにおろした垂線FDと同じになる。 よって高さは6cm
台形ADEB の面積(2+5)×8÷2=28
体積 28×6÷3=56cm3
よって求める立体の体積は32+56=88 cm3

二等辺三角形 4(1)解説

4.x の大きさを求めよ。ただし、同じ印のついた角や辺は同じ大きさである。
(1)
42° x

AD=BDなので△ADBは二等辺三角形になる。
二等辺三角形の底角は等しいので
∠DAB=∠DBA=42°

AD=DCなので△ADCは二等辺三角形になる。
二等辺三角形の底角はひとしいので
∠DAC=∠DCA=x

すると△ABCの内角が 42+42+x+x=180 となる。
この方程式を解くと
84+2x=180
2x = 180-84
2x = 96
x=48
42°xABC42°xD

円周角4 ⑨⑩解説

xを求めよ。

O26°42°x

32°120°Ox


BDに補助線を引く
∠BACと∠BDCはともに弧BCの円周角なので等しい。
∠BAC=∠BDC=26°

∠CEDと∠CBDはともに弧CDの円周角なので等しい。
∠CED=∠CBD=42°

△CBDで∠CBD=42°、∠CDB=26°、三角形の内角の和180°より、
x=180-42-26=112
O26°42°xABCDE2642


BEに補助線を引く
∠BCAと∠BEAはともに弧BAに対する円周角なので等しい。
∠BCA=∠BEA=x

∠ADEと∠ABEはともに弧AEに対する円周角なので等しい。
∠ADE=∠ABE=32°

△ABEで∠BAE=120°、∠ABE=32°、三角形の内角の和180°より
x =180-120-32=28
http://www.w3.org/1999/xlink">32°120°Oxx32°ABCDE

円周角3 ①解説

xの値を求めよ。ただし、点Oは円の中心である。

O32°x

OA,OBはともに半径なので、
△OABはOA=OBの二等辺三角形である。
二等辺三角形の底角はひとしいので
∠OAB=∠OBA=32°
O32°xAB

円周角2 ⑩解説

xの値を求めよ。

32°x76°

△FCDで、∠DFC=90°、∠FDC=76°、三角形の内角の和180°より
∠FCD=14°
AEに補助線を引く。
∠DCEと∠DAEはともに弧DEに対する円周角なので等しい。
∠DCE=∠DAE=14°
よって∠CAE=∠CAD+∠DAE=32°+14°=46°
∠CBEと∠CAEはともに弧CEに対する円周角なので等しい。
∠CBE=∠CAE=46°
32°x76°ABCDEF

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解説
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