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LasstUpdate 2020/07/09

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新着 解説

連立文章題1 (1)解説

(1)
大小二つの整数がある。大きいほうの整数は小さいほうの整数の4倍より2小さく、 大きいほうの整数の2倍から小さいほうの整数の7倍を引くと1になるという。 このような2つの整数を求めよ。

大きい方の整数をx, 小さい方の整数をyとして、文章からxとyの関係を等式で表す。
「大きいほうの整数は小さいほうの整数の4倍より2小さく」
大きい方の整数…x, 小さい方の整数の4倍…4y
xのほうが2小さいので x=4y-2…①

「大きいほうの整数の2倍から小さいほうの整数の7倍を引くと1になる」
大きいほうの整数の2倍…2x, 小さい方の整数の7倍…7y
2xから7yを引くと1になるので 2x-7y=1…②

①を②に代入すると
2(4y-2)-7y=1
8y-4-7y=1
y=5…③
③を①に代入すると
x = 4×5-2
x = 18

連立文章題1 (2)解説

(2)
2けたの整数がある。十の位と一の位の数を入れ替えた数はもとの整数より36小さい。 また、もとの整数と入れ替えた数の和は110である。もとの整数を求めなさい。

2けたの整数は十の位の数をx, 一の位の数をyとすると
10x+yと表せる。

十の位の数をx, 一の位の数をyとすると
2けたの整数は 10x+yとなる。
十の位の数と一の位の数を入れ替えると
10y+xである。

「十の位と一の位の数を入れ替えた数はもとの整数より36小さい。」
→ 10y+x = 10x+y -36 …①

「もとの整数と入れ替えた数の和は110である。」
→ (10x+y)+(10y+x) =110…②

①を整理すると
-x+y=-4…①'
②を整理すると
x+y = 10…②'
①'+②'
-x+y=-4+)x+y=10 2y=6 y=3…③
③を②'に代入すると
x+3=10
x=7
よって2けたの整数は
73

平方根の計算2 5④解説

80 + 45

平方根の計算では、√の中は常にできるだけ簡単にしておく。
a2b = ab

80 + 45
= 42×5 + 32×5
= 45 + 35
= (4+3)5
=75

1・2年の復習Lv3_2 6①解説

6 印をつけた角度の合計は何度になるか求めよ。

図形を3つの部分に分ける。
△ACFと△BDGはそれぞれ内角の和が180°である。
180°×2 = 360°
ABCDEFG
残りの部分のそれぞれの角度に名前をつける CDEFGcdefgHI
三角形の外角はそれと隣り合わない2つの内角の和に等しい ので
∠d+∠f = ∠GHI, ∠c+∠e=∠GIH
よって∠c+∠d+∠e+∠f+∠g が△GHIの内角の和に等しいので
∠c+∠d+∠e+∠f+∠g=180°
CDEFGcdefgHI∠d+∠f∠c+∠e
よって印をつけた角度の合計は
360°+180°=540°

式の計算 総合問題2 2②解説

2②a=-4,b=6のとき、次の式の値を求めよ。
145ab÷(-21a3b)×15ab

式を計算して
簡単にしてから代入
 145ab÷(-21a3b)×15ab
=145ab×(-121a3b)×15ab
=-14ab×1×15ab5×21a3b
=-210a2b2105a3b
=-2ba
ここで a=-4, b=6を代入
-2ba
= - 2×6÷(-4)
= 3

連立文章題(速さ) (3)解説

(3) 太郎が4時に家を出て自転車で6km離れた図書館へ向かった。途中で花子に会ったので自転車を降りて花子と一緒に図書館まで歩いていった。 図書館には4時46分に着いた。自転車の速さは毎時15km、歩く速さは毎時4kmで常に一定である。太郎が花子と会った時刻を求めよ。

太郎の行動に着目すると
家からはじめ自転車で走り、途中から図書館まで歩いている。
道のり自転車で走った歩いた道のり合計6km図書館
求めるものが時刻なので、自転車で走った時間をx時間、歩いた時間をy時間とすると合計が46分
時間に直すと 4660 時間である。
※分ではなく時間にするのは速さが「毎時〜km」のため。
自転車徒歩 速さ154 時間xy←合計4660時間道のり15x4y←合計6km
よって連立方程式は
{15x+4y=6…①x+y=2330 …②
①×2 - ②×30
30x+8y=12 -)30x+30y=23 -22y=-11 y=12…③
③を①に代入すると
15x+4×12=6
15x+2=6
15x=4
x=415
415時間 = 16分なので 答 4時16分

等式の変形2 2⑧解説

2 次の等式を(  )内の文字について解きなさい。
12a+13c=5 (a)

12a+13c=5 ↓両辺に6をかける
3a+2c=30↓2cを移項
3a=-2c+30↓両辺を3で割る
a=-2c+303
a=-23c+10

復習問題 1解説

次の条件を満たす点 P と点 Q を作図せよ。
四角形 PAQB は平行四辺形である。 AP > PB 点Pは直線l上にある。 ∠APB = 30° lAB

まず④∠APB=30° をどう作ればよいかを考える。
Pが固定されていないことから、
中心角60°に対する円周角として30°を作る。
60°30°
A,Bがともに円周上にあって、
∠AOB=60°となるには
正三角形OABを作れば良い。
△OABの頂点Oを中心として
A,Bを通る円を描く。
直線lと円Oとの交点は2つあるが、
AP>PBとなる点がPである。
lABOP
平行四辺形は対辺の長さが等しいので
線分BPの長さを半径とする円(弧)を点Aを中心に描き
線分APの長さを半径とする円(弧)を点Bを中心に描いて
その交点をQとする。
lABPQ
作図に使った線を残すと下図のようになる。
lABPQ

関数と図形(面積を二等分する直線2) 3,4解説

3
A(-4,7),B(-9,4),C(2,-1),D(7,2)のABCDがある。 傾きが2で、ABCDの面積を2等分する直線の式を求めよ。 ABCDOxy


4
四角形AOBCは平行四辺形、四角形DEFGは正方形で、 各座標はA(2,6), B(10,2), C(12,8), D(3,4), E(3,2), F(5,2), G(5,4)である。
影の部分の面積を2等分する直線の式を求めよ。
ABCDEFGyxO

平行四辺形の対角線の交点(中点)を通る直線は
その平行四辺形の面積を二等分する

→ 中点の求め方
3
A(-4,7), C(2, -1)より ACの中点は (-1, 3)
傾き2で点(-1,3)を通る直線を求める。
y=2x+bに(-1,3)を代入
3=2×(-1)+b
b=5
よって y=2x+5

4
平行四辺形AOBCの対角線の中点と、正方形DEFGの対角線の中点を
通れば、それぞれの図形の面積を2等分するので
影の部分の面積を2等分出来る。
O(0,0),C(12,8)よりOCの中点は(6,4)
D(3,4),F(5,2)よりDFの中点は(4,3)
2点(6,4)と(4,3)を通る直線を求める。
傾き=(4-3)÷(6-4)=12
y=12x+bに(4,3)を代入
3=12×4+b
b=1
よってy=12x+1

関数と図形(面積を二等分する直線2) 2解説

2. A(-8,6), B(10, -12), C(12,11)の△ABCで、辺AC上にP(4,9)がある。 点Pを通り、△ABCの面積を2等分する直線の式を求めよ。 ABCOPxy


A(-8, 6), C(12, 11), P(4, 9)より
AとPのx座標の差=4-(-8)=12
PとCのx座標の差=12-4=8
よってAP:PC=12:8=3:2
ABCOPxy23
Pを通り、△ABCの面積を2等分する直線と
ABとの交点をKとする。
AP:PC=3:2なので面積比△AKP:△PKC=3:2
△AKP:四角形PKBC=1:1=3:3なので
△CKBを1として△ACK:△CKB=5:1である。
よって線分比AK:KB=5:1となる
ABCOPxyK23
Aのx座標-8, Bのx座標10なので
Kのx座標をxとすると
x-(-8):10-x=5:1
5(10-x)=x-(-8)
50-5x = x+8
-6x = -42
x = 7
Aのy座標6, Bのy座標-12なので
Kのy座標をyとすると
6-y:y-(-12)=5:1
5(y+12)=6-y
5y+60=6-y
6y=-54
y=-9
よってK(7,-9)
P(4,9), K(7,-9)を通る直線を求める。
傾き = (-9-9)÷(7-4)=-18÷3=-6
y=-6x+bに(4,9)を代入
9=-6×4+b
b=9+24
b=33
よって直線y=-6x+33

円と接線 1⑦解説

1. 各図で、直線l,mはそれぞれ点P,Qで円Oに接している。xの値を求めよ。
lOPQ48°xm

円外の1点からその円に引いた2本の
接線の長さは等しいので AQ=APである。
すると△APQは二等辺三角形なので、
底角が等しい。(∠AQP=∠APQ)
よって ∠APQ = (180-48)÷2=66
lOPQ48°xmA

等式の変形3 ⑫解説

( )内の文字について解きなさい。
⑫ a(2x+y)=ct(x)

a(2x+y)=ct  分配法則でかっこを開く
2ax+ay=ct   +ayを移項
2ax=ct-ay  両辺を2aで割る
x=ct-ay2a
x=ct2a-y2

いろいろな因数分解2 2⑤⑥解説

⑤4(x+2y)2+12(x+2y)+9
⑥9(2a-3b)2-30(2a-3b)+25

x+2y=Aとおきかえて因数分解する。
4(x+2y)2+12(x+2y)+9
=4A2+12A+9
=(2A)2+2×3×(2A)+32
= (2A+3)2
= {2(x+2y)+3}2
= (2x+4y+3)2


2a-3b=Aとおきかえて因数分解する。
9(2a-3b)2-30(2a-3b)+25
=9A2-30A+25
= (3A)2-2×5×(3A)+52
= (3A-5)2
= {3(2a-3b)-5}2
= (6a-9b-5)2

円周角6 ⑫解説

xの値を求めよ。ただし、点Oは円の中心である。
29°64°xO

29°64°xOABCDE BCに補助線を引く。
∠ABCは直径の円周角なので∠ABC=90°
△ABCで∠ABC=90°、∠BAC=64°なので
∠ACB=180°-90°-64°=26°
∠ACBと∠ADBはともに弧ABに対する円周角である。
「等しい弧に対する円周角は等しい」ので
∠ADB=∠ACB=26°
△AEDで「三角形の外角はそれと隣り合わない2つの内角の和に等しい」ので
∠AEB= 29°+26° = 55°

円周角5 ⑪⑫解説

それぞれのxの値を求めよ。ただし、点Oは円の中心である。
Ox21°   24°x48°O


Ox21°ABCDE DEに補助線を引く。
∠EDAは弧AEに対する円周角だが、
∠ABEも同じく弧AEに対する円周角なので
∠EDA=∠ABE=21°である。
また、∠EDCは直径に対する円周角なので
∠EDC=90°となる。
よって ∠x = ∠EDC - ∠EDA
= 90° - 21°
= 69°



24°x48°OABCD24° ∠ADBは弧ABに対する円周角だが、
∠ACBも同じく弧ABに対する円周角なので
∠ADB=∠ACB=24°
また、∠BACは直径に対する円周角なので
∠BAC=90°
△ABDの内角の和を考えると
48°+24°+90°+x=180°
x = 180°-48°-24°-90°
= 18°

平行四辺形 折り返し1 1解説

1. 正方形ABCDで、辺AD,BCの
それぞれの中点をP,Qとする。
頂点Bが直線PQ上にくるように折り返す。
そのときの折り目FCとPQの交点をGとする。
∠EGCの大きさを求めよ。
PQABCDEFG

PQABCDEFG BEに補助線を引く。
直線PQは辺BCの垂直二等分線なので
EB=ECとなる。
ところが、ECは辺BCを折り返したものであるから
BC=EC=EBとなり△EBCは正三角形となる。
よって∠BEC=∠EBC=∠BCE=60°
∠ECG=∠QCG(折り返した角)より∠QCG=30°
直線PQは辺BCの垂直二等分線なので∠GQC=90°
すると、三角形の外角はそれと隣り合わない内角の和に等しいので
∠EGC = ∠QCG+∠GQC
= 30°+90°
= 120°

中学数学の要点をわかりやすく説明

全く初めて勉強する分野や、習ったけれど忘れてしまったような事柄でも理解できるように基本事項を説明しています。  学校で習ったけれど理解できていない場合や、理解しているつもりでも得点に結びついていないような場合でも基本事項をよく理解した上で問題に取り組むことをおすすめします。

基礎から発展まで多数の問題を掲載

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更新履歴

5/19
2年問題 関数と図形(面積を二等分する直線2)
4/14
2年問題 平行四辺形 折り返し1 2年問題 平行四辺形 折り返し2
3/4
例題 共通接線
2/26
例題 三平方_座標(点と直線の距離) 例題 三平方_座標(最短距離)
2/21
例題 三平方の定理_座標平面の三角形
2/15
例題 三平方の定理_二等辺三角形の面積 例題 三平方の定理_台形の面積
2/14
例題 三平方の定理_最短経路

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