LasstUpdate 2019/09/18
Mathematics Website
menu

中学校数学・学習サイト

新着 解説

2次方程式 解と係数の問題 類題4 (9) 解説

2次方程式 2x2 +11x+12=0…①の解の1つが 2x2-3nx-7n+3=0…②の解の1つになっている。n > 0のとき②の解を求めよ。

2x2 +11x+12=0を解くと
x = -11±121-4×2×124
x = -11±254
x = -11±54
x = -4, -32
x=-4を 2x2-3nx-7n+3=0に代入すると
32+12n-7n+3=0
5n = -35 n = -7
n > 0 なのでこれは適さない。
x = -32 を2x2-3nx-7n+3=0に代入すると
92 + 92n -7n+3 = 0
9 + 9n -14n + 6 = 0
-5n = -15
n=3
n=3を2x2-3nx-7n+3=0に代入すると
2x2-9x-21+3=0
2x2-9x-18=0

x = 81-4×2×(-18)4
x = 2254
x = 9±154
x= 6, -32

2次方程式 計算 (いろいろな問題)類題1 1⑦解説

1.次の2次方程式を解きなさい。
⑦ (x-2)2-72=-x+2

x-2=Aと置き換えて因数分解する。
(x-2)2-72=-x+2
(x-2)2 +x-2 -72=0
A2 +A -72 =0
(A-8)(A+9) = 0
(x-2-8)(x-2+9)=0
(x-10)(x+7)=0
x = 10, -7

2次方程式総合問題Lv.3 1⑦解説

1. 次の2次方程式を解け。
(3x-1)22=(2x+1)(3x-7)3+3

(3x-1)22=(2x+1)(3x-7)3+3 両辺に6をかけて分母をはらい、展開して整理する
3(3x-1)2 = 2(2x+1)(3x-7)+18
3(9x2-6x+1) = 2(6x2-11x-7)+18
27x2-18x+3 = 12x2-22x-14+18
(27-12)x2 + (-18+22)x +3+14-18 = 0
15x2 + 4x -1 = 0解の公式に当てはめる
x= -4±16-4×15×(-1)30
x= -4±7630
x= -4±21930
x= -2±1915

y=ax2のグラフ1 1解説

1.
A,Bの座標が次のそれぞれの場合において、y=ax2のグラフが線分AB(両端を含む)と交わるようなaの値の範囲を求めよ。
① A(2,1), B(2,8)
② A(4, -4), B(4, -8)
③ A(-3, 1), (-3, -9)

① y=ax2のグラフが点Aを通るときにaは最小になり、
点Bを通るときに最大になる。
点Aの座標(2,1)をy=ax2に代入すると
1=4a
a= 14
点Bの座標(2,8)をy=ax2に代入すると
8=4a
a=2
よって 14≦a≦2
A(2,1)B(2,8)xyO
② y=ax2のグラフが点Aを通るときにaは最大になり、
点Bを通るときに最小になる。
点Aの座標(4, -4)をy=ax2に代入すると
-4=16a
a= -14
点Bの座標(4,-8)をy=ax2に代入すると
-8=16a
a=-12
よって -12 ≦a≦ -14
OxyA(4,-4)B(4,-8)
③y=ax2のグラフが点Aを通るときにaは最大になり、
点Bを通るときに最小になる。
点Aの座標(-3,1)をy=ax2に代入すると
1=9a
a= 19
点Bの座標(-3,-9)をy=ax2に代入すると
-9=9a
a=-1
よって-1≦a≦19
OxyA(-3,1)B(-3,-9)

2次方程式 計算 (いろいろな問題)1⑥ 解説

1. 次の2次方程式を解きなさい。
⑥(x-3)2=(3x-7)2

x-3=A, 3x-7=Bと置き換えて、
和と差の積の因数分解を用いる。


(x-3)2=(3x-7)2
(x-3)2 - (3x-7)2 =0
A2 - B2 =0
(A+B)(A-B)=0
{x-3+(3x-7)}{x-3-(3x-7)}=0
(x-3+3x-7)(x-3-3x+7)=0
(4x-10)(-2x+4)=0
x= 52, 2

相似と線分比3 1(1)解説

(1) AB//CD//EF, AC=6cm,CE=2cm,
  AB=3cm,EF=7cmのとき
  CDの長さを求めよ。
ABCDEF

AEに平行な線を点Bを通るようにひく。
AEE'B、ACC'Bはともに平行四辺形なのでAB=CC'=EE'=3
CD=xとするとC'D=x-3
EF=7なのでE'F=4,
BC'=6,C'E'=2
△BC'D∽△BE'Fの相似比は6:8=3:4
よって (x-3):4 = 3:4
4x-12=12
x=6
ABCDEF(A')C'E'4cm6cm2cm(x-3)cm

2次方程式総合問題Lv.2 2(1)解説

2(1)
2次方程式x2+ax+b=0の解の1つがx = -3+72のとき、a, bの値を求めよ。

x= -3+72をx2+ax+b=0の形に変形する。
x= -3+72 ↓両辺に2をかける
2x = -3+7↓-3を左辺に移項
2x+3=7↓両辺を2乗する
(2x+3)2 = 7↓左辺を展開して7を左辺に移項
4x2+12x+9-7=0↓定数項を計算
4x2+12x+2=0↓両辺を4で割る
x2+3x+12 =0
よってa=3, b=12

円と相似 2解説

図で点A、B、C、Dはすべて同一の円周上にある。
ACとBDの交点をEとする。AE=EC、 DE=16cm,
BE=4cm、 AB=10cmのときCDの長さを求めよ。
A B C D E

∠BAE=∠CDE(弧BCの円周角)
∠AEB=∠DEC(対頂角)
より△AEB∽△DEC(2組の角がそれぞれ等しい)

AE=ECなのでこれをxと置く。
AEとDE, BEとCEがそれぞれ対応する辺なので
x:16 = 4:x
x2 = 64
x = ±8
x>0より x=8
CDに対応する辺はABなので
10:CD = 8:16
CD=20
ABCDEE16410xx

2乗に比例する関数 総合問題3 4解説

4. 直線lと放物線mが点AとBで交わっている。
点Aの座標は(-12, 18), Bのx座標は8である。
このとき次の問いに答えよ。

(1) △AOBの面積を求めよ。

(2)放物線上のAからOの間に点Pをとる。
△APBの面積が45となるときの点Pの座標を求めよ。
xylmABO

(1)
放物線mはAを通るので、代入してmの式を出す。
mの式を用いてBの座標を出し, A,B2点から直線lの式を出す。
△AOBをy軸で切断して面積を求める。

放物線mの式を出す
 y=ax2に(-12,18)を代入すると 18=144a
a=18
よって y=18x2

直線lの式を出す
 放物線y=18x2にx=8を代入すると y=8
A(-12,18), B(8,8)を通る直線の式を求めると
変化の割合 18-8-12-8 = -12
y =-12x+bに(8,8)を代入すると  
8=-4+b
b=12
よって y=-12x+12
xylmABO(-12, 18)8


直線lの切片をCとすると OC=12
OCを底辺として△ACOと△BCOの面積を出す。
△ACOの面積
A(-12,18)なので
 OCを底辺としたときの三角形の高さは12
よって面積は 12×12÷2=72


△BCOの面積
B(8,8)なので
 OCを底辺としたときの三角形の高さは8
よって面積は 12×8÷2=48
△AOB = △ACO+△BCO = 72+48=120
xylmABO(-12, 18)C128(8,8)12(0,12)

(2) y軸上に頂点があり、面積45となる三角形をつくり、等積変形で頂点を放物線上に移す。 y軸上のOからCの間に点Qをとり、
△AQB=45となるようにする。
Qの座標を(0,t)とするとCQ=12-t
△AQBの面積は
(12-t)×12÷2 + (12-t)×8÷2 = 120-10t
120-10t =45
-10t = -75
t = 152
xylmABOCQ

点Q(0, 152 )を通り直線lに平行な直線の式は
y =-12 x+ 152
この直線と放物線mとの交点を求める。
18 x2 = -12 x+ 152
x2 = -4x+60
x2 +4x -60=0
(x-6)(x+10)=0
x=6, -10
-12≦x≦0より x=-10
放物線の式に代入して
y=18(-10)2 = 252
xylmABOCQP

連立方程式 総合問題4 1解説

4x+9y=37 7x+5y=11 92x-83y=5 54x+49y=12 0.4(3x+1)-0.2(2x+y)=-0.4 3(0.4x-0.5)+5(0.3y-1.1)=-2.8 -3x+28-2y-13=138 9x+54-7y+22=32 5x+32-4y+23=-53 2x+1.2y=1.4 23(2x-3y)=14(6x-y)-6 0.12x+0.02y=-0.64


4x+9y=37の両辺に7をかけ、7x+5y=11の両辺に4をかけ、辺々引くと
28x+63y=259-)28x+20y=44 43y=215
両辺を43で割るとy=5
y=5を4x+9y=37に代入すると
4x+45=37
4x=-8
x=-2

92x-83y=5の両辺に6をかけて分母をはらって式を整理すると27x-16y=30
54x+49y=12の両辺に36をかけて分母をはらって式を整理すると45x+16y=18
辺々たすと
27x-16y=30+)45x+16y=18 72x=48
両辺を72で割るとx=23
x=23を27x-16y=30に代入すると
18-16y=30
-16y=12
y=-34

0.4(3x+1)-0.2(2x+y)=-0.4 分配法則でカッコを開き、式を整理すると
0.8x-0.2y=-0.8
両辺に10をかけて小数をなくすと8x-2y=-8
3(0.4x-0.5)+5(0.3y-1.1)=-2.8 分配法則でカッコを開き、式を整理すると
1.2x+1.5y=4.2
両辺に10をかけて小数をなくすと12x+15y=42
8x-2y=-8の両辺に3をかけ、12x+15y=42の両辺に2をかけ、辺々引くと
24x-6y=-24-)24x+30y=84 -36y=-108
両辺を-36で割るとy=3
y=3を8x-2y=-8に代入すると
8x-6=-8
8x=-2
x=-14

-38x+14-23y+13=138の両辺に24をかけて分母をはらって式を整理すると-9x-16y=25
94x+54-72y-1=32の両辺に4をかけて分母をはらって式を整理すると9x-14y=5
辺々たすと
-9x-16y=25+)9x-14y=5 -30y=30
両辺を-30で割るとy=-1
y=-1を-9x-16y=25に代入すると
-9x+16=25
-9x=9
x=-1

52x+32-43y-23=-53の両辺に6をかけて分母をはらって式を整理すると15x-8y=-15
両辺に10をかけて小数をなくすと20x+12y=14
15x-8y=-15の両辺に3をかけ、20x+12y=14の両辺に2をかけ、辺々たすと
45x-24y=-45+)40x+24y=28 85x=-17
両辺を85で割るとx=-15
x=-15を15x-8y=-15に代入すると
-3-8y=-15
-8y=-12
y=32

23(2x-3y)=14(6x-y)-6 分配法則でカッコを開き、式を整理すると
-2x-21y=-72
両辺に100をかけて小数をなくすと12x+2y=-64
-2x-21y=-72の両辺に6をかけ、辺々たすと
-12x-126y=-432+)12x+2y=-64 -124y=-496
両辺を-124で割るとy=4
y=4を-2x-21y=-72に代入すると
-2x-84=-72
-2x=12
x=-6

放物線と直線の変域が一致する1 (6) 解説

(6)
a>0の放物線y=ax2と直線y=92x+bについて-6≦x≦2でyの変域が一致する。
aとbの値をそれぞれ求めよ。

原点が含まれるのでyの最小値はy=0になり、
yの最大値はx=-6のときの点である。
-62Oxy
直線y=92x+b がこの変域と一致するので
x=-6のときに最小値y=0, x=2でyが最大値だとわかる。
直線の式に(-6,0)を代入すると
0=-27+b
b=27
y=92x+27 にx=2を代入すると
y=9+27=36
放物線の式に(-6,36)を代入すると
36=36a
a=1
-62Oxy

連立文章題(個数と代金2) (6)解説

(6)
1本200円のバラと1本160円のカーネーションを合わせて10本買うつもりだったが、バラとカーネーションの本数を取り違えてしまったので予定より80円多く支払った。最初の予定ではバラとカーネーションをそれぞれ何本買うつもりだったか。

予定で買うつもりだったバラをx本、カーネーションをy本とする。
合わせて10本なので x+y=10…①

予定の値段は
200x+160y

xとyを逆にしてしまった実際の値段は
200y+160x

実際の値段は予定より80円高いので
200x + 160y +80 = 160x + 200y…②

②を整理すると
40x -40 y = -80
x -y = -2…②'
①+②'
+x+y=10 +)+x-y=-2 +2x=+8 x=4…③
③を①に代入
4+y=10
y=6

方程式 分数3 2⑥途中式


11x-26-5x-78=x+2


11x-26-5x-78=x+2 両辺に24をかけて分母をはらう。
4(11x-2)-3(5x-7)=24(x+2) カッコをひらく
44x-8 -15x+21 = 24x+48 移項
44x-15x-24x = 48+8-21 同類項をまとめる
5x = 35 両辺を5で割る
x=7

連立方程式(速さ3) (3)解説

(3)A町からB町まで峠を越えて往復した。峠の上りは時速3㎞、峠の下りは時速5㎞で歩いたら行きは1時間54分、帰りは2時間6分かかった。A町から峠までと、B町から峠までの道のりを求めなさい。

A町から峠をxkm, 峠からB町をykmとする。
A町B町x kmy km3km/h5km/h 行きA〜峠峠〜B速さ(km/h)35時間(時間)x3y5合計 1910道のり(km)xy 行きはxkmを速さ3km/hで歩いたので,かかる時間がx÷3=x3
ykmを速さ5km/hで歩いたので、かかる時間がy÷5=y5
行きの合計時間が1時間54分→時間に直すと114÷60=1910
よってx3 + y5 = 1910 …①


A町B町x kmy km5km/h3km/h 帰りB〜峠峠〜A速さ(km/h)35時間(時間)y3x5合計 2110道のり(km)yx 帰りはykmを3km/hなので時間はy3、xkmを5km/hなので時間がx5
合計2時間6分なので 126÷60= 2110
よって x5 + y3 = 2110 …②

①の両辺に30をかけて分母をはらうと
10x+6y=57…①'
②の両辺に30をかけて分母を払うと
6x+10y=63…②'
①'×3-②'×5
30x+18y=171 -)30x+50y=315 -32y=-144 y=92…③
③を①'に代入
10x+27=57
10x=30
x=3

中学数学の要点をわかりやすく説明

全く初めて勉強する分野や、習ったけれど忘れてしまったような事柄でも理解できるように基本事項を説明しています。  学校で習ったけれど理解できていない場合や、理解しているつもりでも得点に結びついていないような場合でも基本事項をよく理解した上で問題に取り組むことをおすすめします。

基礎から発展まで多数の問題を掲載

基本事項が理解できたら練習問題をこなしてそれを定着させましょう。「中学校数学学習サイト」には基礎問題から入試にも対応した発展問題まで幅広いレベルの問題が多数掲載されています。レベルに応じて十分な練習が可能です。

リクエストに応じて、問題を解説

特に解き方が難しいと思われる発展問題や応用問題には解説を掲載しています。まだ解説をつけていない問題でもリクエストがあれば解説を作りますのでご連絡ください。

PCやスマホで手軽にできる練習問題

問題をプリントしなくてもパソコンやスマートフォンから入力して答えられる計算問題も多数掲載しています。とくに計算問題は数をこなすことで得意になるものです。空いた時間と文明の利器を上手に使って効率よく勉強しましょう。

更新履歴

7/31
1,2年の復習問題Lv1 1,2年の復習問題Lv2 1,2年の復習問題Lv3 1,2年の復習問題Lv4
4/22
式の計算 総合問題1 式の計算 総合問題2 式の計算 総合問題3 式の計算 総合問題4
4/18
式の計算応用(図形)
4/17
2年文字式計算問題
いろいろな計算(分数)1 いろいろな計算(分数)2 いろいろな計算(分数)3 いろいろな計算(かっこ)1 いろいろな計算(かっこ)2 いろいろな計算(かっこ)3 いろいろな計算(かっこ)4
式の値1式の値2式の値3式の値4
4/11
2年文字式計算問題
同類項をまとめる1 同類項をまとめる2 式の加法減法1 式の加法減法2 式の加法減法3 式の加法減法4 式と数の乗法除法1 式と数の乗法除法2単項式の乗法1 単項式の乗法2 単項式の乗法3 単項式の除法1 単項式の除法2 単項式の除法3 乗法と除法の混じった計算1 乗法と除法の混じった計算2 乗法と除法の混じった計算3 乗法と除法の混じった計算4
4/2
正負の数 総合問題 標準1 正負の数 総合問題 標準2 正負の数 総合問題 標準3 正負の数 総合問題 標準4 正負の数 総合問題 標準5
3/28
正負の数 総合問題 基本1 正負の数 総合問題 基本2 正負の数 総合問題 基本3 正負の数 総合問題 基本4 正負の数 総合問題 基本5
3/4
折り返しの問題 練習の解説
2/15
3年問題
円周角5 円周角6
2/7
3年問題
円周角4
1/23
解説
3年相似と線分比1 2(2)
2年 等積変形の5 式による説明1 (5)

学習アプリ

中1 計算問題アプリ 方程式
中1数学の方程式の計算問題を徹底的に練習

学習 コンテンツ

練習問題 各単元の要点 pcスマホ問題 数学の例題

© 2006- 2019 SyuwaGakuin All Rights Reserved