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1・2年の復習Lv4_5 6①③解説

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AD:DB=1:4, BE:EC=3:2のとき△ADF:四角形DBEFの面積比を求めよ。 ABCDEF

図の直方体は AB=12cm, BC=5cm, BF=8cm である。BQ=6cm, AP=1cm, CR=5cmである。 面D,P,Q,Rでこの直方体を2つに分けたそれぞれの立体の体積を求めよ。 ABCDEFGHPQR

Eを通り、DCに平行な直線EGを引く。
DC//EG、BE:EC=3:2より、BG:GD=3:2となる。
AD:DB=1:4、BG:GD=3:2より、BD=4に対してDG=85である。
すると、AD:DG=1:85=5:8
DF//GEなので AF:FE=5:8 となる。
ABCDEFG4112855
AD:DB=1:4より 面積比△ADE:△BDE=1:4
AF:FE=5:8より 面積比△ADF:△EDF=5:8
△ADE=△ADF+△EDF =13
△BDEは△ADEの4倍なので △BDE=13×4 =52
四角形DBEF=△BDE+△EDF=52+8=60
よって
△ADF:四角形DBEF=5:60=1:12
ABCDEF415852



立体ABCDPQRを面BQDで切断すると、
台形BQRCを底面とする四角錐DBQRCと
台形ABQPを底面とする四角錐DABQPに分けられる。
ABDEFGHPQRC5651281

四角錐DBQRCの体積
台形BQRCは上底5, 下底6, 高さ5 なので
底面積 = (5+6)×5÷2 = 55/2
四角錐の高さDC=12なので
体積 = 55/2 × 12÷3 =110
BCDQR65512
四角錐DABQPの体積
台形ABQPは上底1, 下底6, 高さ12なので
底面積 = (1+6)×12÷2 =42
四角錐の高さAD=5なので
体積 = 42 × 5÷3=70
56121ABDPQ
よって立体ABCDPQRの体積 = 110+70=180
直方体ABCDEFGHの体積は12×5×8 =480
よって立体PQRDEFGHの体積 = 480-180=300

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