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2次方程式応用(図形の問題)3 (4)解説

2次方程式をたてて答えよ。
(4) 長さ20cmの線分AB上に点Pをとり、図のように
AB,AP,PBをそれぞれ直径とする半円をつくる。
APを直径とする半円と、PBを直径とする半円の面積の
和が、影をつけた部分の面積に等しいとき、
APの長さを求めよ。
ABP

APの長さをxcmとすると、PBの長さは (20-x)cmとなる。
APを直径とする半円の面積は (x2)2 ×π÷2 = π8x2
PBを直径とする半円の面積は { (20-x)2 }2 ×π÷2 = π8(400-40x+x2) = 50π-5πx+ π8x2

影をつけた部分の面積はABを直径とする半円からPBを直径とする半円を引いたものなので
102×π÷2 - (50π-5πx+ π8x2) = 50π-50π+5πx-π8x2 = 5πx-π8x2

よって π8x2 + 50π-5πx+ π8x2 = 5πx-π8x2
この式を整理すると
( π8 + π8 + π8 )x2 -(5π+5π)x+50π = 0
8 x2 -10πx +50π=0
38 x2 -10x + 50 =0
3x2 -80x +400=0

x = 80±802-4×3×400 6
x = 80±1600 6
x = 80±40 6
x = 20, 203
x < 20 より x=203

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