2次方程式総合問題Lv.3 3(2)解説

3(2) 直線l:y=-x+18とm:y=54xがある。
lとx軸との交点をA, lとmの交点をBとする。
直線m上のAからBの間に点Pをとり、
y軸に平行な直線nを引く。
nとlの交点をC, nとx軸の交点をDとする。
△CBPと△PDAの面積が等しくなるときの
Pの座標を求めよ。

△CBPはCPを底辺とすると、BからCPにおろした
垂線が高さである。 CPの長さはCとPのy座標の差で、
BからCPにおろした垂線の長さは
BとPのx座標の差である。

△PDAはPDを底辺とするとDAが高さとなる。
PDはPとDのy座標の差で、
DAはAとDのx座標の差である。

点Aはmとx軸の交点なので
0=-x+18
x=18
よってA(18,0)
点Bはlとmの交点なので
54x = -x+18
94x = 18
x = 8
よってB(8, 10)
Pのx座標をxとすると
Pはm上の点なので　P(x, -x+18)
Cはx座標がPと同じでl上の点なのでC(x, 54x)
Dはx座標がPと同じでx軸上の点なので D(x, 0)

CP = 54x - (-x+18) = 94x-18
△CBPの高さは x-8
よって△CBPの面積は 12(94x-18)(x-8)
PD = -x+18
DA = 18-x
よって△PDAの面積は 12(-x+18)²

△CBPと△PDAの面積が等しいので
12(94x-18)(x-8) = 12(-x+18)²
94x² -36x +144 = x² -36x +324
94x² -x² -36x +36x +144-324=0
54x² -180 =0
x² -144 =0
(x+12)(x-12)=0
x = ±12
x>0よりx=12
よってP(12,6)

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