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AB=6cm, BC=12cmの長方形ABCDがある。点Pと点Qは頂点Aを同時に出発して、Pは毎秒3cmで、Qは毎秒2cmで長方形の辺上をA→B→C→Dと一周する。点PがCD上、点QがBC上にあり△AQPの面積が24cm2になるのは出発から何秒後か、求めよ。
Pは毎秒3cmなのでx秒で3xcm進む。Cに着くのは出発から6秒後、Dに着くのは8秒後なので
PがCD上にあるのは 6≦x≦8である。
Qは毎秒2cmなのでx秒で2xcm進む。Bに着くのが出発から3秒後、Cに着くのが9秒後なので
QがBC上にあるのは3≦x≦9である。
△ABQでAB+BQ=2xなのでBQ=2x-6、AB=6より
面積は 62(2x-6)
△ADPで、AB+BC+CP = 3xなので DP=24-3x、 AD=12より
面積は 122(24-3x)
△PQCで AB+BC+CP =3x, AB+BC=18 なので PC=3x-18、
AB+BQ=2x,AB+BC=18なので QC=18-2x
面積は 12(3x-18)(18-2x)
長方形の面積は6×12=72
この長方形から3つの三角形を引いた残りが△AQPなので
72
-62(2x-6)
-122(24-3x)
-12(3x-18)(18-2x)
= 24
これを解くと
72-3(2x-6)-6(24-3x)-(9-x)(3x-18)=24
72-6x+18-144+18x+3x2-45x+162=24
3x2-33x+84=0
x2-11x+28=0
(x-4)(x-7)=0
x=4, 7
ところが 6≦x≦8より x=7
