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2乗に比例する関数 変化の割合Lv3 2(3)〜(7)

2. 次の問いに答えよ。
(3) 関数y=ax2でxが-3から7まで増加するときの変化の割合が-2である。この関数についてxの値が-8から-2まで増加するとき変化の割合を求めよ。 (4) 関数y=ax2と1次関数12x+2y-5=0でxが-4から2まで増加するときの変化の割合が等しくなる。aの値を求めよ。 (5) 関数y=ax2でxが-1から9まで増加するときの変化の割合と、関数y=-2x2でxが-6から4まで増加するときの変化の割合と等しい。aの値を求めよ。 (6) xがtから4まで増加するとき、関数y=14x2と1次関数y=-x+12の変化の割合が等しい。tの値を求めよ。 (7) xがpからp+2まで増加するとき、関数y=-16x2と1次関数y=-2x-8の変化の割合が等しい。pの値を求めよ。

(3)
  x=-3のときy=9a
x=7のときy=49a
このときの
xの増加量= 7-(-3)=10
yの増加量=49a-9a=40a

変化の割合=yの増加量xの増加量なので
-2=40a10
4a=-2
a=-12

よって関数の式は y= -12x2
すると
x=-8のときy=-32
x=-2のときy=-2
このときの
xの増加量= -2-(-8)=6
yの増加量=-2-(-32)=30
変化の割合=306 =5

(4)
12x+2y-5=0をyについて解くと
y=-6x+52
よって変化の割合は-6である。
y=ax2でx=-4のときy=16a, x=2のときy=4aなので、変化の割合は 4a-16a2-(-4)
これらの変化の割合が等しいので
4a-16a2-(-4)=-6
-12a = -36
a=3

(5)
y=ax2でx=-1のときy=a, x=9のときy=81aなので 変化の割合は 81a-a9-(-1)
y=-2x2でx=-6のときy=-72, x=4のときy=-32なので 変化の割合は -32-(-72)4-(-6)=4
これらの変化の割合が等しいので
81a-a9-(-1)=4
8a = 4
a=12

(6)
y=14x2で、x=tのときy=14t2、x=4のときy=4 よって 変化の割合は (4-14t2)÷(4-t)となる。
y=-x+12の変化の割合は-1なので
(4-14t2)÷(4-t)=-1
(4-14t2)=-(4-t)
16-t2=-16+4t
16-t2+16-4t=0
-t2-4t+32=0
t2+4t-32=0
(t-4)(t+8)=0
t = 4, -8
t<4より t=-8

(7)
y=-16x2でx=pのとき y=-16p2、x=p+2のときy=-16(p+2)2
よって変化の割合は {-16(p+2)2-(-16p2)}÷(p+2-p) ={-16(p2+4p+4)+16p2}÷2=-13p-13
y=-2x-8の変化の割合は-2なので
-13p-13=-2
-p-1=-6
-p=-5
p=5

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