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放物線と直線の変域が一致する1 1(1)

1.(1)
a>0の放物線y=ax2と直線y=-3x+bについて1≦x≦2でyの変域が一致する。
aとbの値をそれぞれ求めよ。

「直線と放物線のyの変域が一致する」とは 「直線と放物線の最大値が同じで、最小値も同じになる。」ことである。
ただし、同じ点を通るとは限らない。
a>0の放物線y=ax2のグラフにxの変域1≦x≦2を描き入れてみる
x=1をy=ax2に代入するとy=a, x=2を代入するとy=4aとなる。
原点は変域に含まれないので、aがyの最小値、4aが最大値となる。
12(1, a)(2, 4a)
xの変域が1≦x≦2のとき, yの変域がa≦y≦4aとなるように
y=-3x+bのグラフを描き入れてみる。
y=-3x+bは傾きがマイナスなので
(1, 4a)と(2,a)を通ることがわかる。
(1,4a)(2,a)12a4a
(1, 4a)と(2,a)の傾きが-3となることからaを出す。
-3 = a-4a2-1
-3 = -3a
a=1
y = -3x+bに (1,4)を代入すると
4=-3+b
b=7

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