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放物線と直線の変域が一致する1 (2)解説

(2) a>0の放物線y=ax2と直線y=3x+bについて2≦x≦4でyの変域が一致する。 aとbの値をそれぞれ求めよ。

「直線と放物線のyの変域が一致する」とは 「直線と放物線の最大値が同じで、最小値も同じになる。」ことである。 ただし、同じ点を通るとは限らない。
(2)
a>0の放物線y=ax2のグラフを 2≦x≦4の範囲で描いてみる。
するとx=2のときがyの最小値、x=4のときがyの最大値になっている。
24xyO
y=ax2にx=2を代入すると y=4a
x=4を代入するとy=16aとなるので
yの変域は 4a≦y≦16aである。

xの変域が2≦x≦4のときyの変域が4a≦y≦16aとなるように
y=3x+bのグラフを描き入れると、
点(2,4a),(4,16a)を通ることがわかる。
24xyO4a16a
(2, 4a)と(4,16a)の傾きが3になることからaを出す。
3=16a-4a4-2
3=12a2
3=6a
a=12

(2, 4a) が (2, 2)となるので、これをy=3x+bに代入
2=3×2 +b
b = -4

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