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放物線と直線の変域が一致する1 (3)解説

(3) a>0の放物線y=ax2と直線y=-8x+bについて-3≦x≦-1でyの変域が一致する。 aとbの値をそれぞれ求めよ。

「直線と放物線のyの変域が一致する」とは 「直線と放物線の最大値が同じで、最小値も同じになる。」ことである。 ただし、同じ点を通るとは限らない。
a>0の放物線y=ax2のグラフを-3≦x≦-1の範囲で描く。
するとx=-3のときにyが最大値に、x=-1のときにyが最小値になっている。
xyO-3-1 y=ax2にx=-3を代入するとy=9a
x=-1を代入するとy=aとなるので
yの変域は a≦y≦9a である。

xの変域が-3≦x≦-1のときにyの変域がa≦y≦9aとなるように
y=-8x+bのグラフを描き入れると
点(-3, 9a)と点(-1, a)を通るとわかる。
xyO-3-1a9a (-3, 9a)と(-1, a)の傾きが-8になることからaを出す。
-8=a-9a-1-(-3)
-8=-8a2
-8 = -4a
a = 2

(-1, a)が (-1, 2)となるので、これをy=-8x+bに代入
2=8+b
b = -6

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