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放物線と直線の変域が一致する4 (7)(8)解説

(7) a>0の放物線y=ax2と直線y=-203x+bについて-3≦x≦6でyの変域が一致する。
aとbの値をそれぞれ求めよ。
(8) a<0の放物線y=ax2と直線y=-8x+bについて-4≦x≦16でyの変域が一致する。
aとbの値をそれぞれ求めよ。

(7)
-36Oyの最大値xy a<0の放物線を-3≦x≦6の範囲で描く。
図のようにyの最小値はy=0,
yの最大値は x=6のときのyの値である。

-36Oxy(6,0) 直線y=-203x+b の変域が放物線の変域と一致するが、
直線の傾きは負なので
xが最小値x=-3のときにyが最大となり、
xが最大値x=6のときyが最小値y=0となる。
よって(6,0)を直線の式に代入すると
0 =-203×6+b
b = 40
直線の式は 直線y=-203x+40 となる。

y=-203x+40 にx=-3を代入してyの最大値を出す。
y = -203×(-3)+40
 = 60
放物線は x=6のときy=60なのでy=ax2に代入すると
60 = a×62
a=6036=53


(8)
xyOyの最小値-416 a>0の放物線を-4≦x≦16の範囲で描く。
図のようにyの最小値はx=16のときのyの値、
yの最大値は y=0である。

xyO16-4(-4, 0) 直線y=-8x+bの変域が放物線の変域と一致するが、
直線の傾きが負なので
xが最小値x=-4のときyが最大値y=0となり、
xが最大値x=16のときyが最小値となる。
よって、(-4,0)を直線の式に代入すると
0=-8×(-4)+b
b = -32
直線の式は y=-8x-32となる。

y=-8x-32に x=16を代入してyの最小値を出す。
y =-8×16-32
 = -160
放物線は x=16のときy=-160なのでy=ax2に代入すると
-160=a×162
a = -58

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