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放物線と直線の変域が一致する5 (2)解説

(2)a>0の放物線y=ax2とm>0の直線y=mx-16について4≦x≦8でyの変域が一致する。 aとmの値をそれぞれ求めよ。


4≦x≦8の範囲でa>0の放物線を描くと
図Ⅰのようになる。
図Ⅰ
48Oxy

xが最小でyも最小、
xが最大でyも最大なので、
yの変域は図Ⅱのようになる。
図Ⅱ
48Oxy

この変域と一致するように
m>0の直線を描くと放物線と同じく、
変域の長方形の左下の点と、右上の点を通る。
48Oxy
よって、x=4を放物線の式に代入した(4, 16a)と直線の式に代入した(4, 4m-16)が等しくなるので、
16a = 4m-16
また、x=8 を放物線の式に代入した(8, 64a)と直線の式に代入した(8, 8m-16)も等しくなるので、
64a = 8m-16
この2つの式を連立方程式として解くと
a=12, m=6

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