放物線と直線の変域が一致する8 (1)解説

(1) a>0の放物線y=ax²とm>0の直線y=mx+132 について-3≦x≦-1でyの変域が一致する。 aとmの値をそれぞれ求めよ。

「直線と放物線のyの変域が一致する」とは 「直線と放物線の最大値が同じで、最小値も同じになる。」ことである。 ただし、同じ点を通るとは限らない。
a>0の放物線y=ax²のグラフにxの変域-3≦x≦-1を描き入れる。
x=-3をy=ax²に代入するとy=9a,
x=-1をy=ax²に代入するとy=aである。
原点は変域に含まれないので
yの最小値はa, yの最大値は9aである。
xの変域が-3≦x≦-1のとき、yの変域がa≦y≦9aとなるように
m>0の直線y=mx+132 のグラフを描き入れる。
傾きがプラスなので (-3, a)と(-1, 9a)を通ることがわかる。
直線の式に(-3, a)を代入すると
a= -3m+132　→ 2a+6m=13…①
(-1, 9a)を代入すると
9a = -m +132 →18a+2m=13…②
①-②×3
2a+6m=13 -)54a+6m=39 -52a =-26 a =12…③
③を①に代入すると
2×12 +6m=13
6m=12
m=2

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