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放物線と直線の変域が一致する8 (8)

(8)a<0の放物線y=ax2とm<0の直線y=mx-32について-4≦x≦16でyの変域が一致する。
aとmの値をそれぞれ求めよ。

a<0の放物線を-4≦x≦16の範囲で描くと図1のようになる。
オレンジの長方形が変域で、yの最大値は0, yの最小値はx=16の点である。
16-40xy図1
同じ変域に傾きが負の直線を描くと図2のようになる。
図から明らかなようにこの直線は
点(-4,0)を通り、
x=16の点は放物線と共通である。
16-40xy図2
y=mx-32に(-4,0)を代入すると
0=-4m-32
4m=-32
m=-8
よって直線はy=-8x-32
これにx=16を代入すると
y=-8×16-32=-160
y=ax2に (16,-160)を代入すると
-160 = a×162
a = -58

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