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放物線と直線の変域が一致する8 (6)(7)(8)

(6) a<0の放物線y=ax2とm>0の直線y=mx-4について-4≦x≦2でyの変域が一致する。
aとmの値をそれぞれ求めよ。
(7) a>0の放物線y=ax2とm<0の直線y=mx+27について-3≦x≦9でyの変域が一致する。
aとmの値をそれぞれ求めよ。
(8)a<0の放物線y=ax2とm<0の直線y=mx-32について-4≦x≦16でyの変域が一致する。
aとmの値をそれぞれ求めよ。

(6) 
xyO-42図1 a<0の放物線を-4≦x≦2の範囲で描くと図1のようになる。
オレンジの長方形が変域で、
yの最大値は0, yの最小値はx=-4のときの点である。

xyO-42図2-4 同じ変域に傾きが正の直線を描いたものが図2である。
図からわかるように、この直線は点(2,0)を通る。

xyO-42図3-4(-4, -12) y=mx-4に(2,0)を代入
0 = 2m-4
m=2
x=-4のとき直線と放物線が交わるので
x=-4を直線の式y=2x-4に代入
y = 2×(-4)-4
= -12

(-4, -12)を y=ax2に代入
-12 = a×(-4)2
a=-34


(7)
xy-39O図1 a>0の放物線を-3≦x≦9の範囲で描くと図1のようになる。
オレンジの長方形が変域で、
yの最小値は0, yの最大値はx=9のときの点である。

xy-39O図2 同じ変域になるように傾きが負の直線を描いたのが図2である。
図から、この直線は(9,0)を通ることがわかる。

xy-39O図3(-3, 36)36(9, 36) y=mx+27に(9,0)を代入
0=9m+27
m=-3
x=-3を直線の式y=-3x+27に代入
y=-3×(-3)+27
=36

これがyの最大値である。
放物線ではx=9のときyが最大値となるので
x=9, y=36を y=ax2に代入
36 = a×92
a=49


(8) 
16-40xy図1 a<0の放物線を-4≦x≦16の範囲で描くと図1のようになる。
オレンジの長方形が変域で、yの最大値は0, yの最小値はx=16の点である。

16-40xy図2 同じ変域に傾きが負の直線を描くと図2のようになる。
図から明らかなようにこの直線は
点(-4,0)を通り、
x=16の点は放物線と共通である。

16-40xy 図3(16, -160) y=mx-32に(-4,0)を代入すると
0=-4m-32
4m=-32
m=-8
よって直線はy=-8x-32
これにx=16を代入すると
y=-8×16-32=-160
y=ax2に (16,-160)を代入すると
-160 = a×162
a = -58

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