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2乗に比例する関数 総合問題2 4解説

4. 図のように直線l:y=12x+12と
放物線m:y=14x2が2点A, Bで交わっている。
次の問いに答えよ。

(1)点Aを通り、△AOBの面積を2等分する直線の式を求めよ。

(2)放物線m上のOからBの間に点Pをとり、△AOB=△APBとする。
このときPの座標を求めよ
OABxy

(1)
三角形の頂点と、その対辺の中点を通る直線は三角形の面積を2等分する
A,Bの座標を求める。
点A,Bはy=12x+12とy=14x2の交点なので
12x+12=14x2
2x+48=x2
x2-2x-48=0
(x-8)(x+6)=0
x=-6, 8
よってA(-6, 9), B(8, 16)
OBの中点は (4, 8)になるので
(4,8)とA(-6, 9)の2点を通る直線は
傾き8-94-(-6)=-110
y=-110x+bに(4,8)を代入すると
8=-110×4+b
b=8+25
b=425
よって直線の式はy=-110x+425

(2)
等積変形
底辺YZに平行で頂点Xを通る直線上に点Pをとると
△XYZと△PYZの面積は等しくなる。 XYZP

直線ABに平行で、点Oを通る直線上にPをとると
△AOBと△APBの面積は等しくなる
直線lの傾きは12なので直線ABに平行で
点Oを通る直線はy=12x
点Pは放物線m上の点なので
y=12xとy=14x2の交点がPである。
12x=14x2
2x = x2
x2-2x=0
x(x-2)=0
x=0, 2
0<x<8よりx=2
よってP(2, 1)
OABxyP

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