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2乗に比例する関数 総合問題2 5(1)解説

5.
1辺6cmの正方形ABCDがある。点Pは頂点Aを出発し、
毎秒2cmで辺AB,BC,CD上をQと出会うまで動く。
点Qは頂点AをPと同時に出発し、毎秒1cmで辺AD,DC上を
Pと出会うまで動く。
出発からx秒後の△APQの面積をycm2とする。
(1) xの変域が①〜③のときのxとyの関係をそれぞれ式に表せ。
0≦x≦3
3≦x≦6
6≦x≦8
ABCDPQ

5(1)
xの変域が0≦x≦3のとき、Pは辺AB上、Qは辺AD上にある。
Pは毎秒2cmなのでAP=2x, Qは毎秒1cmなのでAQ=x
面積は 2x×x÷2=x2
y = x2
ABCD2xxPQ
3秒後にPはBに到達し、6秒後にQがDに到達するので
xの変域が 3≦x≦6のときはPは辺BC上、Qは辺AD上にある。
するとAQ=xを底辺とすると高さは一定の6cmとなる。
よって面積はx×6÷2=3x
y = 3x
ABCDPQ高さ6x
6秒後にPはCに、QはDにそれぞれ到達するので
それ以降はP,Qともに辺DC上にある。
図の緑で示した線が出発からQが通った道のりなのでx
赤の線はPが通った道のりなので2xである。
正方形の周 6×4 =24 から 緑(x)と赤(2x)を引くと
PQの長さが出る PQ = 24 -x -2x = 24-3x
PQを底辺としたときの高さは6で変わらないので
面積は (24-3x)×6÷2=72-9x
y = -9x+72
ABCDPQ24-3x

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